精品解析：四川省成都市新津中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度高三上期10月月考 数学试题 命总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程与不等式求得集合，进而可求. 【详解】由，可得或，又，所以，所以； 由，可得，解得，所以， 所以. 故选：D. 3. 定义在上的函数关于对称，且满足：对任意、，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性以及函数在上的单调性，即可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数关于对称，则， 即，所以，函数为偶函数， 对任意、，且，都有， 不妨设，则，即函数在上为增函数， 所以，，即. 故选：B. 4. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出，由确定为周期函数且，最后由周期得出. 【详解】由，得，所以，解得， 所以当时，．由，得， 即函数为周期函数且， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由求出函数为周期函数，进而由周期性得出. 5. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】当为奇函数时，结合奇函数的性质可得，由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称， 有，即，即， 即，故有，解得， 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 6. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】， ， ， . 故选：C. 7. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为当时，和当时，的解的个数问题，作出函数和的图象，结合图象和导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意知， 要使得恰有2个零点，即有两个实数根， 当时，， 当时，， 令，当时，可得，即； 当时，，即， 在同一坐标系下，作出函数和的图象，如图所示， 由函数，可得，可得且， 所以函数在的切线方程为， 又由函数，可得，可得且， 所以函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有1个零点， 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1. 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2. 分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3. 数形结合法，利用函数与方程思想先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 8. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围. 【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数. 由，得，即， 从而，即 故选：D 【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是偶函数，则也为偶函数 B. 若满足，则是区间上的增函数 C. 若均为R上的增函数，则也是R上的增函数 D. 已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】 由偶函数定义可判断A，由特例可判断B不正确，由单调性的定义可判断C，由可判断D. 【详解】对于A，若是偶函数，则，所以，即也为偶函数，A正确； 对于B，由不能说明是区间上是增函数，例如，B不正确； 对于C，若均为R上的增函数，则也是R上的增函数，因为对于任意的，，C正确； 对于D，函数是R上的增函数， 则，解得，D不正确. 故选：AC. 10. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当时，是偶函数，当时，为减函数，此时对应图象可能是C； 当时，，令得，为非奇非偶函数，且， 令其对应方程的，设其对应方程的两根分别为，，， 所以，，，，，， 即函数在和上单调递减，在上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B； 当时，为非奇非偶函数，在处无定义， 取时且单增， 时且单增，时单增， 此时对应图象可能是D； 对于A，由于图象无间断点，故，但此时在上不可能恒正， 故选：BCD. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B、C，由，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D. 【详解】因为，，， 对于A：，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：，当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C：， 又，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：， 设，则， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号，故D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题本：题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数（i为虚数单位）的共轭复数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由复数乘法以及共轭复数的概念即可得解. 【详解】，其共轭复数是. 故答案为：. 13. 已知直线与曲线相切，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，代入可得，即可求解. 【详解】，设切点横坐标为， 曲线在处的切线方程为， 将代入，得，解得，则. 故答案为：2 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数的单调性以及利用数形结合方法，说明零点的个数问题，即可得答案. 【详解】当时，，无零点； 当时，在上单增，至多一个零点，不合题意； 设，， 当时，与的图象大致如图1所示， 时，，二者无交点， 当时，在单调递增，， 则在上单增，，故至多一个零点，不合题意； 当时，与的图象大致如图2所示，此时显然有两个交点， 故有两个零点；综上，， 故答案为： 【点睛】方法点睛：结合题意采用分类讨论参数的取值范围，进而数形结合，确定函数零点个数，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：原式. 【小问2详解】 由题意可得：原式. 16. 已知四面体ABCD中，，，是边长为2的正三角形． 是AD上除D外任意一点，若，求AC的长； 若，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】由，，得平面ABD，从而，由此能求出AC； 记BD中点为O，设二面角的平面角为，则，由此能求出二面角的正弦值． 【详解】四面体ABCD中，，，． ， 平面ABD， 平面ABD， ， ，， ． 记BD中点为O， 是边长为2的正三角形，， ， 设二面角的平面角为， 则， ， 解得， ． 二面角的正弦值为． 【点睛】本题考查线段长、二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 17. 随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元．现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如下： 点餐价格（单位：元） 20 30 40 60 80 点餐份数 15 30 30 20 5 如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率． （1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数； （2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动．规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为80%，30元红包获奖率为15%，60元红包获奖率为5%． （i）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐．求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率． （ii）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为X，求X的期望． 【答案】（1）1000份；（2）（i）；（ii）8.5元. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表，计算出卖出一份套餐的收入的期望，进而求得平台一天用户的点餐分数； （2）（i）分两种情况：红包为30元且点餐为30元以内，红包为60元且点餐为60元以内，由概率公式，即可求解； （ii）由期望公式可得每订一份套餐所得红包的期望，该平台不开展促销活动卖出一份套餐利润的期望为，即可求解. 【详解】（1）设卖出一份套餐所得收入为W元， 根据表格中的数据，可得． 总收入为40000元，平台一天用户的点餐份数为份． （2）（i）吃免费套餐的时间为A，情形有两类：红包为30元且点餐为30元以内； 红包为60元且点餐为60元以内，故． （ii）每订一份套餐所得红包期望为， 由（1）知该平台平时卖出一份套餐收入期望为40元， 所以元． 【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值； 2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望； 4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，且，对实数分情况讨论，得出单调性； （2）将所求的转化为，结合函数的单调性求最值即可求解 【小问1详解】 函数，定义域为， 求导， ①若，，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②若，令，得，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. ③若，，在上单调递增. ④若，令，得，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，故， ，解得，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故 ，即，，解得，； 综上所述，的取值范围是 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质计算即可； （2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，解得，双曲线方程为. 【小问2详解】 因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知， 设，联立，得， 则，且， （i） ； （ii）由题可得：. 联立可得：，即，同理. ， 故， 且， . 【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高三上期10月月考 数学试题 命总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 定义在上的函数关于对称，且满足：对任意、，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 若是偶函数，则也为偶函数 B. 若满足，则是区间上的增函数 C. 若均为R上的增函数，则也是R上的增函数 D. 已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是 10. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题本：题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数（i为虚数单位）的共轭复数为______． 13. 已知直线与曲线相切，则______. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算各式的值： （1）； （2）. 16. 已知四面体ABCD中，，，是边长为2的正三角形． 是AD上除D外任意一点，若，求AC的长； 若，求二面角的正弦值． 17. 随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元．现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如下： 点餐价格（单位：元） 20 30 40 60 80 点餐份数 15 30 30 20 5 如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率． （1）若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数； （2）该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动．规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为80%，30元红包获奖率为15%，60元红包获奖率为5%． （i）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐．求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率． （ii）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为X，求X的期望． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $