专题05 （特殊）平行四边形中的折叠或旋转（八大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题05 （特殊）平行四边形中的折叠或旋转 目录 压轴题型讲练 1 类型一、平行四边形中的折叠问题 1 类型二、平行四边形中的旋转问题 3 类型三、矩形中的折叠问题 4 类型四、矩形中的旋转问题 6 类型五、菱形中的折叠问题 8 类型六、菱形中的旋转问题 9 类型七、正方形中的折叠问题 10 类型八、正方形中的旋转问题 12 压轴能力测评 14 类型一、平行四边形中的折叠问题 【例1】如图，在中，，现将折叠成如图所示的形状，使点B与点D 重合，为折痕，点C的对应点为，则的度数为 【例2】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法． (1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______； (2)按小明的想法写出证明过程； (3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长． 【变式1-1】将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，，，将△ABC沿AC折得到，交AD于点E，，则EC的长度为 ． 【变式1-3】已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 类型二、平行四边形中的旋转问题 【例3】如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【变式2-1】如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【变式2-2】如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 【变式2-3】如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 类型三、矩形中的折叠问题 【例5】如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 【例6】如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 【变式3-1】如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【变式3-2】如图，四边形是矩形，为的中点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．若，求的面积． 【变式3-3】如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 类型四、矩形中的旋转问题 【例7】如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【例8】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点. (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【变式4-1】如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，若，则 °．    【变式4-2】如图，矩形中，，，P为边中点，，绕点P旋转，其中点E，F在矩形的边上．在旋转过程中，请探究：    (1)矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？ (2)矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？ 【变式4-3】如图1，两个全等的矩形和中，，，矩形绕C点旋转，点E在直线的上方，与相交于点H，    (1)求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)当与直线所成锐角为时，直接写出点F到的距离． 类型五、菱形中的折叠问题 【例9】如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【例10】如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图1，当折痕的另一端点在边上时， ①求线段的长； ②的面积为________； (2)如图2，当折痕的另一端点在边上时，，折痕的长为________． 【变式5-1】如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【变式5-2】如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【变式5-3】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ． 类型六、菱形中的旋转问题 【例11】我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时边旋转度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例12】如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式6-2】如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【变式6-3】如图，在中，，，将绕点B旋转得，设交于点D，则点D到的距离是 ． 类型七、正方形中的折叠问题 【例13】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【例14】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【变式7-1】（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【变式7-2】如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式7-3】把正方形对折，得到折痕（如图①），展开后把正方形沿折叠，使点落在上的点处，连接（如图②）．试求及的度数． 类型八、正方形中的旋转问题 【例15】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，的长为 ． 【例16】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并证明你的判断； (2)如图①，若，证明：； (3)如图②，若，请直接写出的周长. 【变式8-1】喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ． 【变式8-2】如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【变式8-3】综合与探究 如图是一个正方形纸片，如果将正方形纸片绕点逆时针旋转角度，得到正方形，交于点，的延长线交于点，连接、． （1）求证：平分； （2）直接写出线段、、之间的数量关系； （3）连接，，，，试探究在旋转过程中，四边形能否成为矩形？请说明理由． 1．如图，长方形的两边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，点的坐标为，点，分别在边，上，且，将沿直线折叠，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形中，，，，，将边绕点逆时针方向旋转90°至，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 5．如图，已知点I，J在长方形的边上，点E，F在边上，将长方形沿，折叠，使点B，C落在点G处．折叠后点A的对应点为点，点D的对应点为点，连接，，，，则和的长分别为 ． 6．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ； (2)如图（1），已知格点(小正方形的顶点) ，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结，若．四边形是勾股四边形吗？为什么？ 7．如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 8．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 9．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 10．如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 11．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 12．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 1 / 18学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 （特殊）平行四边形中的折叠或旋转 目录 压轴题型讲练 1 类型一、平行四边形中的折叠问题 1 类型二、平行四边形中的旋转问题 7 类型三、矩形中的折叠问题 10 类型四、矩形中的旋转问题 15 类型五、菱形中的折叠问题 22 类型六、菱形中的旋转问题 27 类型七、正方形中的折叠问题 32 类型八、正方形中的旋转问题 37 压轴能力测评 44 类型一、平行四边形中的折叠问题 【例1】如图，在中，，现将折叠成如图所示的形状，使点B与点D 重合，为折痕，点C的对应点为，则的度数为 【答案】/度 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：如图，是平行四边形的对角 线，， 将沿折叠，使A 点落在上的点G 处，将边沿折 叠，使点C 落在上的点H 处，求证：四边形是平行四边形．小丽选择了先证明，再证明， 进而得到四边形是平行四边形，小明向老师提出 了另一种证明方法． (1)小丽证明四边形是平行四边形的依据是______； (2)按小明的想法写出证明过程； (3)当学生们完成了证明后，老师又提出如下问题，连接，，若，，试求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意知：在平行四边形中，，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在平行四边形中，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， 同理， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长为． 【变式1-1】将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， ，    ∵四边形是平行四边形 ∴， ， 在中 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【变式1-2】如图，在平行四边形ABCD中，，，将△ABC沿AC折得到，交AD于点E，，则EC的长度为 ． 【答案】/ 【详解】解：由折叠知：∠BCA=∠，AB=，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BCA=∠DAC， ∴∠DAC=∠， ∴EA=EC， 过点作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∴， Rt△中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与折叠的性质，涉及到了等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程求出AF和EF． 【变式1-3】已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， 翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点O，连接， 点F与D关于对称， ， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，， ， ， ， ， 即， 翻折得到， ， 点D、C、F在同一条直线上． 类型二、平行四边形中的旋转问题 【例3】如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 【例4】如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2-2】如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 【答案】9 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式2-3】如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 【答案】52 【详解】∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为， 故答案为：52． 类型三、矩形中的折叠问题 【例5】如图，在长方形中，点E是的中点，将沿着折叠得到，延长交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 在长方形中，点E是的中点， ，， 将沿着折叠得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【例6】如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点落在的延长线上时，，理由见解析 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， 由折叠得，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）当点落在的延长线上时，，理由如下： 当点落在的延长线上时， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，折叠性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-1】如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【答案】10 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式3-2】如图，四边形是矩形，为的中点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．若，求的面积． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于点． 将沿折叠得到， ，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 由题可知， 在中，由勾股定理，得 ， ． 【变式3-3】如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，若点在线段上时，过点作， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， 四边形是矩形， ∵把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上 ； 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求得，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 类型四、矩形中的旋转问题 【例7】如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则 °； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 【例8】如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点. (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质，得：，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的度数为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键． 【变式4-1】如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，若，则 °．    【答案】 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 由旋转性质可知，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 【变式4-2】如图，矩形中，，，P为边中点，，绕点P旋转，其中点E，F在矩形的边上．在旋转过程中，请探究：    (1)矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？ (2)矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？ 【答案】(1)矩形的边落在内部的线段长的和不变，理由见解析 (2)矩形与重叠部分的面积不变，理由见解析 【详解】（1）解：矩形的边落在内部的线段长的和不变，理由如下：         ①如图1，当点E在边上，点F在边上时 作于点H 在矩形中，，， ∴，                     ∵P为边中点   ∴ ∴                         ∵， 即 ∴ ∴                             ∴矩形的边落在内部的线段长的和是            ②如图2，当点E在边上，点F在边上时 同理可得，矩形的边落在内部的线段长的和也是4         ∴矩形的边落在内部的线段长的和总等于4    （2）解：矩形与重叠部分的面积不变                 ①如图1，当点E在边上，点F在边上时， 由（1）得 ∴ ∴重叠部分的面积              ②如图2，当点E在边上，点F在边上时， 同理可得，矩形与重叠部分的面积也是4             ∴矩形与重叠部分的面积总等于4 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 【变式4-3】如图1，两个全等的矩形和中，，，矩形绕C点旋转，点E在直线的上方，与相交于点H，    (1)求证：； (2)如图2，当时，求证：； (3)当与直线所成锐角为时，直接写出点F到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或1 【详解】（1）证明：如图1，    连接， ∵矩形和全等，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，    当在的上方时， 作于T，作于W，交于R， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 如图3， 当在的下方时， 由上知：， ∴， 即F到的距离为：1， 综上所述：点F到的距离为：或1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等，熟练掌握知识点，并能够运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 类型五、菱形中的折叠问题 【例9】如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 【例10】如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图1，当折痕的另一端点在边上时， ①求线段的长； ②的面积为________； (2)如图2，当折痕的另一端点在边上时，，折痕的长为________． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①如图1过作，则四边形是矩形，则 设，则， 在中，，又 解得： ， ②，， 设，则 在中， ∴ 解得： ∴， 故的面积为：； 故答案为：． （2）如图2，过作于，连接， 四边形是矩形 ， ∴， 四边形是平行四边形 由折叠性质知，，，， ∴， ∴， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式5-1】如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】2 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】如图，菱形纸片的边长为2，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：作于， 由折叠的性质可知，， 四边形是菱形， ，， 为等边三角形， ， 设，则， 在中，，， 在中，，，即， 解得，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 类型六、菱形中的旋转问题 【例11】我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时边旋转度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在图1中， ∵正五边形 ∴ 在图2中，连接． ∵正五边形， ， ∵， ∴， ， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边的性质，多边形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，菱的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【例12】如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故选：C． 【变式6-1】如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 【变式6-2】如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． (1)如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，证明见解析； 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 在和中， （）， . （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式6-3】如图，在中，，，将绕点B旋转得，设交于点D，则点D到的距离是 ． 【答案】1或/1或 【详解】解：当顺时针旋转时，，如图所示： ，， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， 四边形为菱形， ， 过点D作与点E，则； 当逆时针旋转时，如图所示： 同理得四边形为菱形， ， ，， 是等腰三角形， 过点作， ， 过点D作与点F，则， 故答案为：1或． 类型七、正方形中的折叠问题 【例13】如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则，由折叠的性质知， ∵点落在边的中点处， ∴， 在中，由勾股定理可知， 即，整理得， 解得，， ∴线段的长为， 故选：A． 【例14】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由正方形，折叠可知，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则． 由勾股定理，得，即， 解得，， ∴． （3）解：由（2）可知，，， ∴，即， 解得，． 【变式7-1】（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式7-2】如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 【变式7-3】把正方形对折，得到折痕（如图①），展开后把正方形沿折叠，使点落在上的点处，连接（如图②）．试求及的度数． 【答案】， 【详解】解：连接，如图． 由折叠可得，垂直平分， ∴ 是等边三角形， ， ∵在正方形中，，， ，． ， ， ． 类型八、正方形中的旋转问题 【例15】如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，的长为 ． 【答案】 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 【例16】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并证明你的判断； (2)如图①，若，证明：； (3)如图②，若，请直接写出的周长. 【答案】(1)四边形是正方形．理由见解析 (2)见解析 (3)的周长为36 【详解】（1）结论：四边形是正方形．理由如下： 如图①中， ∵是由绕点B按顺时针方向旋转得到的， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形，. 由旋转可知 ， ∴四边形是正方形． （2）如图①中，过点D作于点H，则， ∵， ∴ ∵四边形是正方形，    ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由旋转可知， 由（1）可知四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． （3）的周长为36 如图②，连接． ∵四边形是正方形 ∴ 在 中 ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴的周长 ∵ ∴的周长是36． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式8-1】喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， 过点P作于点G，过点B作交于点Q， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点D，    ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式8-2】如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． (1)试判定四边形的形状，并说明理由； (2)已知，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)23 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【变式8-3】综合与探究 如图是一个正方形纸片，如果将正方形纸片绕点逆时针旋转角度，得到正方形，交于点，的延长线交于点，连接、． （1）求证：平分； （2）直接写出线段、、之间的数量关系； （3）连接，，，，试探究在旋转过程中，四边形能否成为矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）能，当点为中点时，四边形为矩形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵正方形绕点旋转得到正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 即平分． （2），理由如下： ， ． ∵正方形绕点旋转得到正方形， ∴，， ， 在和中， ∴， ∴． ， ． （3）能，当点为中点时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ∵点为中点． ∴． ∵，由（1）知， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质是解题的关键． 1．如图，长方形的两边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，点的坐标为，点，分别在边，上，且，将沿直线折叠，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵沿直线折叠，点落在点处， ∴，，，， ∴， ∵点的坐标为， 点的坐标为， 即， 故选：A ． 2．如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设折痕与平行四边形交点为，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 根据折叠可得， ． 故选：B． 3．如图，四边形中，，，，，将边绕点逆时针方向旋转90°至，连接，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：作于点G，作交的延长线于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 4．如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点共线， ∴， ． 故答案为： 5．如图，已知点I，J在长方形的边上，点E，F在边上，将长方形沿，折叠，使点B，C落在点G处．折叠后点A的对应点为点，点D的对应点为点，连接，，，，则和的长分别为 ． 【答案】， 【详解】解：∵四边形沿，折叠，， ∴，，，， ∵， ∴，即点、F、G三点共线， 同理可得：点、G、E三点共线， ∴， ∵， ∴， 在中，， 同理可得， 则，， 故答案为：，． 6．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ； (2)如图（1），已知格点(小正方形的顶点) ，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； (3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连结，若．四边形是勾股四边形吗？为什么？ 【答案】(1)矩形，正方形 (2)见详解 (3)四边形是勾股四边形， 理由见详解． 【详解】（1）解：学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形； 故答案为：矩形，正方形； （2）解：如图， （3）解：四边形是勾股四边形． 证明：如图2，连接， 由旋转得：， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是勾股四边形． 7．如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如答图，连接． 四边形是菱形，， 是等边三角形． 是的中点， ，即， ， 即是直角三角形． （2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点． ． 在中，由勾股定理可得 翻折至， ． 设，则． 在中，， 即， 解得， 即． 8．如图，将平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段为的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②线段的长为2或18或或5． 【详解】（1）证明：∵平行四边形沿折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的定义是解决问题的关键． 9．如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， 【详解】（1）证明：连接 ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； （2）解：能， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， 故当互相平分时，四边形为矩形， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则，， 由（1）知， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 11．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 12．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【详解】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 2 / 59学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$