精品解析：江苏省常州市第一中学2024-2025学年高三下学期2月期初检测数学试卷

常州市第一中学2025届高三2月期初检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 为偶函数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 当直线平分圆时， D. 当点到直线距离最大时， 10. 已知在直三棱柱中，，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 点到平面的距离为 C. 当点为线段的中点时，平面平面 D. E，F分别为棱上的动点，当取得最小值时， 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则___________． 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式; （2）在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 16. 某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，，求p取最大值时的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与底面所成角的余弦值. 18. 已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）设的极大值为，极小值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学2025届高三2月期初检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由给定数集的范围和交集的定义求解. 【详解】，又， 则. 故选：C. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于0，虚部不等于0，列式求解即可得a，再结合复数的乘法运算以及共轭复数的概念即可得答案. 【详解】复数是纯虚数，且， ，解得， 所以，， 所以， 故选：B. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 4. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项根据空间中直线与平面的位置关系直接判断即可，D选项需要通过画图解释，另外需要结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质进行分析. 【详解】对A，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故A错误； 对B，若，则或a与b异面，故B错误； 对C，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与a不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，即可求出，再由两角和的正切公式展开计算可得. 【详解】因为， 所以， 即， 所以，则，解得. 故选：B 6. 已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，利用点到直线距离公式求得高，即可求解面积. 【详解】由得，设， 由得，则， 所以， 因为到直线的距离为， 则. 故选：C 7. 已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，函数为偶函数，结合为奇函数可求得函数的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，即， 等式两边同时求导得，即， 即①，所以函数为偶函数， 因为为奇函数，则②， 联立①②可得， 当时，，仅当时取等号，所以函数在上为增函数， 由函数为偶函数，由可得，可得， 即，整理得，解得， 因此不等式的解集为. 故选：B. 8. 如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 为偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示的坐标，由线段关系求解参数得，再判定选项即可. 【详解】由题可，则， 有， ， 把代入上式，得，解得(负值舍去)， ，由，解得， 解得， 显然其周期为，故A错误； 当时，，，故B错误； ，故C正确； ，显然是奇函数，故D错误. 故选：C 【点睛】思路点睛：利用三角函数的图象与性质含参表示各点坐标，再根据线段关系解参数求出函数解析式，针对选项利用三角函数性质一一判定即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 当直线平分圆时， D. 当点到直线距离最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断. 【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心、半径为， 点到直线的距离为， 从而， 取，则此时有，故B错误； 对于C，当直线平分圆时，有点在直线上， 也就是说有成立，解得，故C正确； 对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当， 而的斜率为， 所以当等号成立时有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知在直三棱柱中，，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则（ ） A. 直三棱柱的体积为 B. 点到平面的距离为 C. 当点为线段的中点时，平面平面 D. E，F分别为棱上的动点，当取得最小值时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面夹角及棱柱的体积公式可判定A，利用等体积法可判定B，利用线线垂直的判定与性质及线面垂直的性质可判定C，利用多面体的展开图计算最值可判定D. 【详解】 对于A，由直三棱柱的特征可知，直线与底面ABC所成角为， 所以， 因为，所以， 则直三棱柱的体积为，故A错误； 对于B，由上可知平面， 因为平面，所以，则， 设点到平面的距离为， 易知，故B正确； 对于C，取的中点，易知在线上，， 由直三棱柱的特征知， 因为平面， 所以平面，而平面平面 因为平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将三棱柱侧面展开，如下图所示， 显然取得最小值时，，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图像有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，在上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 在上，即，单调递增， 所以是的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由指数式与对数式的互化关系求出，再利用对数运算性质计算即得. 【详解】由，得，所以. 故答案为：3 13. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式求出，再由条件概率公式求解即可. 【详解】由， 解得， 所以， 故答案为： 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解；根据和的展开式相减得到的通项公式. 【详解】根据乘法原理和加法原理得到． 奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，， 根据乘法原理和加法原理得到， 两式相减得到. 故答案为：40；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式; （2）在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由已知可得，然后求数列的通项公式即可； （2）由题意可得项数，然后结合等比数列的求和公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 【小问2详解】 数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 16. 某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，，求p取最大值时的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分类思想及相互独立事件同时发生，即概率乘法公式来求解即可； （2）利用同（1）方法，引入变量，可得三次函数，再用导数来求最值即可. 【小问1详解】 根据，，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为; 【小问2详解】 根据，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为 ， 求导得：， 当时， ，函数在上单调递增； 当时， ，函数在上单调递减； 所以当时，取到最大值，此时， 故取最大值时， 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，. （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线PD与底面所成角的余弦值. 【答案】（1）由，得 因为平面平面ABCD，平面平面平面PBC 所以平面ABCD，又平面ABCD，则， 又，所以， 因为，所以， 过点作交BC于点， 则，所以， 因为， 故，即，又平面PBD， 所以平面PBD； （2） 【解析】 【分析】（1）要证平面，可证且，通过勾股定理可证，通过线面垂直性质可证； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角余弦公式即可求解BP的长度，由（1）知平面，直线与底面所成的角为，则线面角的余弦值可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面平面ABCD，平面平面， 所以平面 故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设， 则. 所以 由题意可知为平面PBC的一个法向量， 设平面PCD的法向量为， 则，即， 令，则，故. 因为二面角的余弦值为， 所以， 解得，即，则， 由（1）可知，平面ABCD，则直线PD与平面ABCD所成的角为， 所以， 故直线PD与平面ABCD所成的角的余弦值为. 18. 已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 利用椭圆的定义，结合椭圆的几何性质知，，则，解出a，b即可得椭圆方程； (2)设的方程为代入椭圆方程，求出M的坐标，可得，用代替k，可得，求出的面积S，可得，解不等式可得k的取值范围． 【小问1详解】 设椭圆的左焦点为，连接， 由对称性知四边形是平行四边形，所以，． 由椭圆定义知，则，． 设椭圆的半焦距为，由椭圆的几何性质知，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 椭圆的标准方程为．则， 所以直线， 如图所示， 设， 联立，消去并整理得，．．． 所以，所以，．． 所以，． 同理可得：，所以， 所以， 由，得， 整理得，得，． 又，所以，所以或． 所以的取值范围为． 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的三角形面积问题，综合性较强，难点在于计算过程相当复杂，计算量较大，并且基本都是有关字母参数的运算，十分容易出错. 19. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）设的极大值为，极小值为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意转化为的最小值小于等于9，二次函数根据轴与区间的关系进行分类讨论，得到答案.（2）利用导数求出的极小值和极大值，并且得到 的关系，以及与 的关系，表示出消去，然后令，将转化成关于的函数，注意的取值范围，从而求出的范围. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小值小于等于9. （i）函数的对称轴为，当，即时， 由，得， 因为，所以； （ii）当，即时， 由，得. 综上，实数的取值范围为. （2）因为，所以. 设，因为， 所以函数有两个不同的零点，不妨设为，，且， 则，. 当时，，函数为单调递减函数； 当时，，函数为单调递增函数； 当时，，函数为单调递减函数. 所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 所以， 又，，所以. 将代入，得， 设，则 ， 所以. 设，，则， 所以函数在上为单调减函数， 从而， 又，当时，，所以， 即. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查二次函数通过分类讨论求最小值，利用导数求函数的极大值和极小值，构造函数求取值范围，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $