第03讲 解二元一次方程组 （2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 解二元一次方程组 （2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①代入消元法解二元一次方程组； ②加减消元法解二元一次方程组； 1.掌握代入消元法解二元一次方程组； 2.掌握加减消元法解二元一次方程组； 知识点1 代入消元法 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． 【即学即练1】 1．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．解方程组： 知识点2 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 【即学即练3】 3．解方程组：． 【即学即练4】 4．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 题型01 代入消元法 1．将代入可得（    ） A． B． C． D． 2．解二元一次方程组：． 3．解二元一次方程组： 4．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 5．解方程组： 题型02 加减消元法 6．解下列方程组： (1) (2) 7．解方程： 8．解方程组： (1)； (2)． 9．【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 10．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型03 二元一次方程组的特殊解法 11．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 12．已知方程组，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 13．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 14．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 15．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的平方根． 题型04 方程组相同解问题 16．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 17．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C． D． 18．已知方程组与方程组的解相同．则的值为 ． 19．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 20．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 题型05 二元一次方程组的错解复原问题 21．甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值． 22．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 23．在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？ 24．甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 25．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 题型06 构造二元一次方程组求解 26．若，求的值． 27．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 28．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 29．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 30．在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数 31．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （     ） A． B．3 C．2 D． 32．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 33．已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 34．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 35．若关于，的方程组的解满足，求的平方根． 题型08 二元一次方程组的新定义解法 36．对于有理数a、b，定义关于“※”的一种运算：，例如 (1)求的值； (2)若，，求的值 37．对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 38．对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 39．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 40．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 1．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（    ） A． B． C． D． 2．已知方程，则可用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知：，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 5．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在方程中，用含x的代数式表示y为 ． 7．已知，满足方程组，则的值为 ． 8．已知关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是 ． 9．三个同学对问题“若方程组的解是．求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该 ． 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于m，n的二元一次方程有且仅有3组整数解； ④若对任意有理数x，y都成立且，则． 其中结论正确的为 ．（填序号） 11．解下列方程组 (1) (2) 12．解方程组： (1)； (2) 13．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 14．解关于，的方程组时，由于看错了系数得到的解为 (1)求代数式的值． (2)若正确的解是求的算术平方根． 15．阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解二元一次方程组 （2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①代入消元法解二元一次方程组； ②加减消元法解二元一次方程组； 1.掌握代入消元法解二元一次方程组； 2.掌握加减消元法解二元一次方程组； 知识点1 代入消元法 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． 【即学即练1】 1．二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组．利用代入法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：将代入中，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为， 故选：D． 【即学即练2】 2．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了代入法解二元一次方程组，首先根据②，用x表示出y，然后把它代入①，求出方程组的解是多少即可，熟练掌握代入法解二元一次方程组的方法是解决此题的关键． 【详解】由②得：③， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为． 知识点2 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 【即学即练3】 3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 故方程组的解为：． 【即学即练4】 4．已知关于的二元一次方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法． 先解，求出，然后代入得，求出a， b，即可求出的平方根． 【详解】解：根据题意重新联立方程组，得 ①，得③， ②+③，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 方程组的解为， 方程组和的解相同， 将代入得 ④+⑤，得， 解得， 将代入④，得， 解得， ， 的平方根为． 题型01 代入消元法 1．将代入可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代入消元法的运用，掌握代入消元法的计算是解题的关键． 根据题意，代入计算即可． 【详解】解：将代入可得，， ∴， 故选：B ． 2．解二元一次方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得③， 将③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 原方程组的解是． 3．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法或代入消元法解方程组即可． 【详解】解法一：， 由②得：③， 把③代入①得：， ∴，解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为： 解法二：， 得：③ 得： 解得：，把代入②得：， ∴方程组的解为：． 4．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可． 【详解】解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 5．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了用代入消元的方法求解二元一次方程组，属于简单题，熟悉代入消元的一般步骤是解题关键． 用代入消元的方法，把①代入②中，进行消元，化成关于y的一元一次方程，即可进行求解． 【详解】解：， 把①代入②得，解得． 把代入①，得． 则方程组的解为． 题型02 加减消元法 6．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：，代入②中， 解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ①②得：， 解得：，代入②中， 解得：， 则方程组的解为． 7．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先由原方程组整理得，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：由整理得： 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴这个方程组的解为． 8．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得到，， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ （2） 得到，， 解得， 把代入②得 解得 ∴ 9．【观察思考】 第1个方程组为解为第2个方程组为解为 第3个方程组为解为第4个方程组为解为 …… 【规律发现】 (1)按照以上规律，写出第5个方程组为________，解为________． (2)写出你猜想的第个方程组和它的解并说明理由． 【答案】(1)， (2)第个方程组为，它的解为，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组，平方差公式． （1）根据前4个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第5个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解． 【详解】（1）解：按照以上规律，写出第5个方程组为，解为 （2）解：每个方程组的第1个方程都为， 第2个方程的中的系数为1，的系数为，等号右边的数为， 方程组的解，， ∴第个方程组为，它的解为 检验： 得，，即， 解得：， 代入①可得，， ∴方程组的解为：． 10．已知关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）将代入得出，解方程组，再将的值代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得： ∴这两个方程组的相同解为； （2）解：将代入 ∴ 得，， 解得： 将代入得 解得： ∴ 题型03 二元一次方程组的特殊解法 11．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 12．已知方程组，则的值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组．直接利用两方程相减得出的值． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 13．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据关于，的方程组的解为，列出中，的方程，解方程即可，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的定义是使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：关于，的方程组的解为， 关于x，y的方程组中，可得， 解得：， 关于，的方程组的解为， 故选：B． 14．已知方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据题意可把新方程中的看作整体，相当于方程组中的x和y，对应值是3和2，构造新方程组即可． 【详解】解：根据已知可得： ， 解得：， 故答案为：． 15．先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方根等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）得，得，再将代入得，即可求出方程组的解； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， 将代入得：， ∴方程组的解为：； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 题型04 方程组相同解问题 16．若关于x，y 的方程组和有相同的解，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得方程的解，联立含有含a、b的两个方程，把方程的解代入，两方程相加可求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】∵和有相同的解， ∴可以把四个二元一次方程重新组合成方程组， ∵解方程组，得， ∴的解也为， 把代入， 得：， 两个方程相加，得， 整理，得， ∴ 故选：C. 17．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．13 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】先解方程组求出该方程组的解，然后把这个解分别代入与即可求出a、b的值，进一步即可求出答案． 【详解】解方程组， 得， 把代入， 得， 解得：a=2， 把代入， 得， 解得：b=﹣11， ∴a－b=2－（﹣11）=13． 故选：A． 【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 18．已知方程组与方程组的解相同．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，解二元一次方程组，根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解，再把和的值代入求出和的值即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：由题意得：，解得：， 把代入方程得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 【答案】 【分析】把，-y看作整体，则，从而得到方程组的解． 【详解】根据题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，运用整体思想解二元一次方程组是解题的关键． 20．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 题型05 二元一次方程组的错解复原问题 21．甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的概念是解题的关键． 根据甲同学看错了系数，把代入可求得的值，乙同学看错了系数，把代入可求出的值． 【详解】解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ， 是方程的解， ∴， ∴； ∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是， 是方程的解， ∴， ∴． 22．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 23．在解方程组时，由于粗心，小丽看错了方程组中的，解得，小美看错了方程组中的b，解得求原方程组正确的解？ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，将方程组的解代入未看错的方程中，求出的值，再解方程组即可． 【详解】解：由题意，得：满足方程，满足方程， ∴， ∴， ∴原方程组为：， ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 24．甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答： (1)求，的值； (2)求该二元一次方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组， （1）根据题意得出是方程①的解，代入得出，同理解得 （2）由题可知，原方程组可变为，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知， 甲看错了②中的 是方程①的解 ，解得 ∵乙看错了①中的 ∴是方程②的解 ∴ 解得 综上：，. （2）由题可知，原方程组可变为 ，得 解得 把代入①解得 原方程组的解为. 25．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)原方程组中的和各是多少？ (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可； （2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：原方程组为， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型06 构造二元一次方程组求解 26．若，求的值． 【答案】 【分析】首先根据绝对值的非负性、平方的非负性和：，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式中求解． 【详解】解：， ，， ， 解得 ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、解二元一次方程组、立方根．解决本题的关键是根据绝对值和平方的非负性求出、的值． 27．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值． （2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答． 【详解】（1）将时，； 时，分别代入得： 解得：， （2）由（1）得， 将代入得： ． 28．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值． 【详解】解：， ①②，可得：， 解得， 把代入①式得： ， 解得：， ∴原方程组的解是 29．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 30．在等式（k、b是常数）中，当时，；时，． (1)求k、b的值； (2)当时，x的值取多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，将两组值代入求出等式是解题的关键． （1）分别将，；，分别代入等式，得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可； （2）把代入，求出y值即可． 【详解】（1）解：将，；，分别代入等式，可得： ， 解得； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 解得． 题型07 已知二元一次方程组解的情况求参数 31．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （     ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确求出、的值是解题的关键． 先求出方程组的解，然后代入方程中即可求出的值． 【详解】解：， ②①得，，即， 把代入①得，， 把、的值代入中，得， 解得：． 故选：C． 32．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选： B． 33．已知关于，的方程组，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，得，即 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：2． 34．已知关于x，y的方程组的解为整数，则满足条件的a的所有整数值的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，利用加减消元法得到，再根据x、y都是整数，得到a是整数，即是整数，据此求出符合题意的整数a，再求和即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， ∵x、y都是整数， ∴a是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或， ∴满足条件的a的所有整数值的和为， 故答案为：8． 35．若关于，的方程组的解满足，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组及方程的解、平方根，根据题意，由，②①得：，继而解得，即可得解．解题的关键是两个方程求差，求出的值． 【详解】解：∵， ②①得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的平方根是． 题型08 二元一次方程组的新定义解法 36．对于有理数a、b，定义关于“※”的一种运算：，例如 (1)求的值； (2)若，，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）依据关于“※”的一种运算：，即可得到的值； （2）依据题意可得方程组，解方程组即可得到x，y的值，带入得到的值． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：由题可得：， 解得， ∴． 37．对于，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，例如：． (1)___________(用含有，的代数式表示)． (2)已知，且． ①求，的值； ②直接写出的值为___________． 【答案】(1) (2)①的值为1，的值为1；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据定义公式代入运算即可； （2）①按照定义代入计算得出方程组，解方程组即可求出，的值； ②将a、b的值代入化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ，， 整理得：， 解得：， 的值为1，的值为1； ②的值为1，的值为1 ∴ ∴， 故答案为：． 38．对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 39．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， （2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解， ， 解得， ，． 40．定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（均为常数，）． 例如，当时，． (1)当时，__________； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程时，总有，求、的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． （1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 所以． （2）解：因为， 所以，两式相加得， 解得． 把代入得， 解得． （3）解：因为，所以． 又因为， 所以， 将代入得， 由得， 因为， 所以； 由得， 因为， 所以． 联立，两式相加得，， 解得． 把代入得， 解得． 1．下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．利用加减消元法求出方程组的解，即可作出判断． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 故选：C． 2．已知方程，则可用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为1等，然后合并同类项，系数化1就可用含x的式子表示y． 本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：把方程4移项得，， 方程左右两边同时除以得，． 故选：A． 3．已知：，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到是解题的关键． 由题意得，继而由非负性得到，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 4．已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得， 由①+②可得， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①+②得 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①+②得 ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①+②得， 当方程组的解满足时， 解得，代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 5．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解，求参数的值，把代入方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， ∴； 故选D． 6．在方程中，用含x的代数式表示y为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程，将x看作已知数，求出y即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．已知，满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据方程组的特点得，，即可求解． 【详解】解： 得， ∴， 故答案为：． 8．已知关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据根据二元一次方程组的解的定义可得的解为，进而得出答案，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组即的解为， ∴， 故答案为：． 9．三个同学对问题“若方程组的解是．求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键． 所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：设， ∵方程组的解是， ∴ 的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：．已知，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于m，n的二元一次方程有且仅有3组整数解； ④若对任意有理数x，y都成立且，则． 其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定①正确；由已知得到，求出m即可确定②正确；根据，，，可求m、n的值，从而确定③错误；由题意列出方程，得到，由对任意有理数x、y都成立，则，即可 确定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 解得，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为， ∴m、n有且仅有6组整数解，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数x、y都成立， ∴，故④正确． 综上：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 11．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）直接用加减消元法解答即可； （2）直接用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 可得：， 解得： 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解： 原方程可化为：， 可得：， 将代入②可得：，解得：， 所以该方程组的解为：． 12．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 由②得，③ 得， 解得： 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为： （2）解： 由①得③ ③+②得， 解得：， 将代入③得， 解得： ∴原方程组的解为：． 13．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组， （1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答； （2）利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）甲同学：，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 14．解关于，的方程组时，由于看错了系数得到的解为 (1)求代数式的值． (2)若正确的解是求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求一个数的算术平方根； （1）依题意，，整体代入进行计算即可求解； （2）根据题意可得由②可得，由（1）可得③，联立①③，加减消元法解二元一次方程组，得出，，进而得出的值，再求算术平方根，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， （2）解：是程组的解 ∴， 由②可得， 由（1）可得③， 得，，解得：， 将代入③得，解得：， ∴，， ∴的算术平方根为． 15．阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 【答案】乙同学，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．选择乙同学的解题思路，①②得出，求出，即可求出答案，再评价即可． 【详解】解：我最欣赏乙同学的解题思路． 方程组 由，得， ∴． ∵， ∴， 解得． 评价：甲同学是直接根据方程组的解的概念先解方程组，得到用含k的式子表示x的关系式，再代入得到关于k的方程，没有经过更多的观察和思考，解法比较繁琐，计算量大；乙同学观察到了方程组中未知数x的系数，以及与中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小；丙同学将三个方程作为一个整体，看成关于x，y，k的三元一次方程组，并且选择先解其中只含有两个未知数x，y的二元一次方程组，相对计算量较小，但不如乙同学的简洁、灵活． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$