第05讲 三元一次方程组及其解法 （3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 三元一次方程组及其解法 （3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①三元一次方程组的概念； ②三元一次方程组的解法； 1.掌握三元一次方程组的概念； 2.掌握三元一次方程组的解法； 知识点1 三元一次方程的概念 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 知识点2 三元一次方程组的概念 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 知识点3 三元一次方程组的解法 （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即学即练1】 1．中，当时，，当时，，当时，，则 ， ， ． 【答案】 3 【分析】此题主要考查三元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意列出方程组． 将，；，；当，代入列出三元一次方程组，然后进行求解． 【详解】解：将，；，；当，代入得： ，解得：， 故答案为：，，3 【即学即练2】 2．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【即学即练3】 3．已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【答案】甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组，进而根据①②确定的取值，作为突破口，致使最终得解． 首先假设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，，根据选手中甲乙两校共16名；乙丙两校共20名；丙丁两校共34名．列出方程组，通过各校选手人数的多少是按甲、乙、丙、丁中学的顺序选派的，得到．进而判断出的取值，根据方程组依次得到、、的值． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四校的选手人数分别为，，，．据题意有， 甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出， ， 由①与得，所以， 由②与得，所以， 于是，所以（因为人数是整数）， 将代入①，②可知，， 再由③有． 答：甲校7人，乙校9人，丙校11人，丁校23人． 【即学即练4】 4．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 【答案】(1) (2) (3)，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的估算，解三元一次方程组以及二元一次方程组的应用．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）结合算术平方根的非负性得到求出m的值，进而求出求m的算术平方根的“麓外区间”即可． （3）根据二元一次方程组的解代入方程，组成新的二元一次方程组，从而求得m，n的值，然后根据“麓外区间”定义写出一个符合题意的无理数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“麓外区间”是， 故答案为：． （2） ∴， 联立得： ∴， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“麓外区间”是 （3）∵是关于 x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴ 又由题意，有， ∴，解得 ∴符合题意的无理数T为（答案不唯一） 题型01 三元一次方程组的定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 2．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 4．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 5．含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 ． 概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元一次方程组的解． 【答案】 三元一次方程组 公共解 【解析】略 题型02 三元一次方程组的解 6．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 7．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法或加减消元法是解题的关键．通过加减消元法即可完成求解． 【详解】解： 得： 得： 得： 解得： 把代入④得： 把，代入①得： 故方程组的解为： 8．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】解： ①③得，④ ①②得，⑤ ④⑤得， 解得：， 将代入④得 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： 9．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题． 【详解】解： 得， 得， ∴， 把代入②，得， ∴， 把，代入①，得， 解得， 所以方程组的解为. 10．解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组后两个方程消元后，与第一个方程联立求出与的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解：， 得：， 由③，代入得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 则方程组的解为． 题型03 构造三元一次方程组解题 11．已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 【答案】(1). (2)15． 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1）将x、y的三组对应值分别代入等式，组成方程组，可求a，b，c的值； （2）把a，b，c的值及代入等式，可求y的值． 【详解】（1）由已知得 解得 即. （2）由(1)得. 当时，. 即y 的值是15． 12．关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)，， (2)16 【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答； （2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：， （2）当时，， ∴的值为16． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键． 13．若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：，互为相反数， ，即， 将代入原方程组， ， 整理可得， ， 得，，即， 将代入②得，． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 14．在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (1)=_______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，1，3，，0，分别代入等式，得到，解三元一次方程组即可； （2）根据（1）中求出的的值，代入计算即可． 【详解】（1）∵当，1，3时的值分别是，0，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 15．关于的二元一次方程组 (1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． (2)当的值互为相反数时，求的值． (3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在，的值为8 (3)代数式的值为定值 【分析】（1）将分别代入两个方程，求出的值再对比即可得出答案； （2）根据题意可知，再和联立，求解即可得出答案； （3）要取定值就要消去a，故由②①得，再化简即可得出答案 【详解】（1）不存在 理由：把代入方程①，得：， 解得的值， 把代入方程②，得：， 解得的值， 因为，所以不存在的值，使方程组的解为． （2）存在，的值为8，理由如下： 由题得， 则可得解得 所以的值为8． （3）代数式的值为定值． 理由：由②①得 整理得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据式子特点选择合适的解题方法是解题的关键． 题型04 根据三元一次方程组解的情况求参数 16．在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值． 【答案】37 【分析】由当与时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y的2对值代入等式，得出关于a，b，c的方程组求解即可． 【详解】解：∵当与时，y的值相等， ∴，即， 把当时，；当时，代入等式得 ， ①-②得：，即， 将代入③得：， 将代入①得：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值． 【答案】 【分析】把与代入，分别使其值为0和1，列出两个关系式，相减即可求出的值． 【详解】解∶由题意得， ②①，得， ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【答案】；解方程组过程见解析；；； 【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可． 【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：， ①+②+③得， 得：， 得：， 得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键． 19．在等式中，当时，；当时，；当时，． (1)求，，的值； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设条件，得到关于，，的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可， （2）结合（1）的结果，得到关于和的等式，把代入，计算求值即可． 【详解】（1）根据题意得：， ①＋②得：④ ③＋②×2得：⑤， ⑤－④得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 方程组的解为：； （2）根据题意得：， 把代入得：， 即的值为． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代入法． 20．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)或或 (2)有，或或或 【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求的值，由于时，的值为负，不符合要求，不需要再求； （2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解． 【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5； 当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3； 当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1， 所以方程x+2y＝5的所有“好解”为或或； （2）解：有． ， ②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y， ①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y， ∵x、y、k为非负整数， ∴6﹣2y≥0，解得y≤3， ∴y＝0、1、2，3， 当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0， ∴关于x，y，k的方程组的“好解”为或或或． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键． 题型05 三元一次方程组的应用 21．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 22．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 【答案】180 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙、丙速度分别为，甲车出发后分钟追上乙，根据题意： 则， 由得， 由得， ， ， 由得， ∴， ∴甲车出发后180分钟追上乙， 故答案为：180． 23．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 【答案】原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 24．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 25．某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 【答案】20张 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，难度较大，对于本题的解答，列示比较简单，难点在与通过加减消元法得到与，与的关系，根据、判定的最小值．首先假设、、三种贺卡售出的张数分别为，，．根据题意列方程组得：然后通过加减消元法得到，根据的取值判定的最小值． 【详解】解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，， 则由题意得组得：， 由①②得，，即， ②①得，，即， 由，得， 由，得， ， 答：该商店3月份出售种贺卡至少20张． 题型06 三元一次方程组的新定义运算 26．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据新定义运算得出，求出，即可求解． 【详解】， ， 由①×2-②，得， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和三元一次方程组，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键． 27．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 28．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5＝15，7△3＝﹣5，求5△4的值 ． 【答案】5 【分析】根据定义列出三元一次方程组，得出a、b、c的关系，再整体求值即可． 【详解】解：∵3△5＝15，7△3＝﹣5， ∴， ①+②，可得：10a+8b+2c＝10， ∴5a+4b+c＝5， ∴5△4＝5a+4b+c＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义运算和三元一次方程组，解题关键是准确理解题意，列出三元一次方程组，利用整体思想求出5△4的值． 29．【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，25 (2)共需36元 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用整体思想是解答的关键． （1）两方程相减可求得，两方程相加求得，进而求解即可； （2）设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元，根据题意，列出方程求得，进而求解即可； （3）根据题中新运算结合已知求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得，则， ∴， 故答案为：，25； （2）解：设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元， 根据题意，得， 得， ∴， 答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元． （3）解：∵，，， ∴， 得， ∴ 30．新定义 对有理数x，y定义新运算x△y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2＝9，(－3)△3＝6，0△1＝2，求(－2)△5的值． 【答案】18. 【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，先解出a，b，c的值再求出（-2）△5的值． 【详解】由题意得解得 所以此新运算为x△y＝2x＋5y－3. 故(－2)△5＝2×(－2)＋5×5－3＝18. 【点睛】解答此题要先根据题意列出三元一次方程组，求出此行运算的公式，再把所求的式子代入公式即可． 1．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：， 得：，即④， 得：， 得：， 得：， 则原方程组的解为：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键． 2．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（    ） A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元 C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元 【答案】C 3．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共元．则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．不能确定 【答案】B 【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意，得出，解之，得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意，可得：， 由，可得：， ∴， ∴购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为元． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在理清题意，正确得出方程组． 4．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答． 【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元， 根据题意可得， 由②①得，， 由②①得，， 由⑤④③得，， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用三元一次不定方程组解实际问题的运用，熟练三元一次方程组的解法是解题的关键． 5．正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 6．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元． 【答案】540 【分析】本题考查了三元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式进行求解． 【详解】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为元，由题意得： ， 得：， （元）， 故答案为：． 7．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设长方体木块长、宽，桌子的高为，根据图①和图②列出方程组求解即可． 【详解】解：设长方体木块长、宽，桌子的高为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度等于， 故答案为：． 8．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答． 【详解】解： 由得出，整理得 把代入，得出 解得 把代入，得出 把代入，得出 ∴方程组的解为 故答案为： 9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：或，且明文互为相反数， ∴，，即， ∴， 解得， 故答案为：． 10．已知每件A奖品售价相同，每件B奖品售价也相同，老师要网购A，B两种奖品共16件．若购买A奖品9件，B奖品7件，则电子钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件，B奖品9件，则电子钱包内的钱会剩余230元．老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则电子钱包内的钱会剩余 元． 【答案】1610 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找出等量关系列出方程组． 设A奖品的售价为元/件，B奖品的售价为元/件，电子钱包内的钱为元．根据两种卖法列出方程组得出和，然后把变形可得答案． 【详解】解：根据题意，得 由，得，即． 由，得，即． 所以， 所以电子钱包内的钱会剩余1610元． 11．解方程组： 【答案】 【详解】解：由①×2＋②，得5x＋8y＝7④ ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组得 把代入①，得3＋3×（－1）＋2x＝2， 解得z＝1 故原方程组的解为 12．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 13．有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 【答案】甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁 【详解】解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁． 依题意，得解得 故甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁． 14．（1）已知二元一次方程组则______，______． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24． 【分析】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键． （1）让两个式子相加即可求出，然后让两个式子相减即可求出； （2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元，根据题意列出方程组求解即可； （3）首先根据已知建立一个关于的方程组，通过对方程变形即可得出答案． 【详解】（1） 得， 得， ； （2）设购买1支铅笔元、1块橡皮元、1本日记本元， 根据题意得 得：， ， 答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元． （3），，， ， 得， 代入得：， ． 15．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，5 (2)； (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，三元一次方程组的应用． （1）利用加减法和即可得出结论； （2）先将方程组中的两个方程相加化简可得，再代入可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得； （3）根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组． 【详解】（1）解：， 由可得， 由可得， ∴． 故答案为：，5； （2）解：， 两个方程相加得：，即， 由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元， 由题意得：， 得：， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三元一次方程组及其解法 （3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①三元一次方程组的概念； ②三元一次方程组的解法； 1.掌握三元一次方程组的概念； 2.掌握三元一次方程组的解法； 知识点1 三元一次方程的概念 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 知识点2 三元一次方程组的概念 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 知识点3 三元一次方程组的解法 （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即学即练1】 1．中，当时，，当时，，当时，，则 ， ， ． 【即学即练2】 2．解方程组：． 【即学即练3】 3．已知全区举办知识竞赛，甲、乙、丙、丁四所学校按照由少至多分别派出若干名选手，已知甲、乙两校共16名，乙、丙两校共20名，丙、丁两校共34名，试求各校派出的选手人数分别是多少？ 【即学即练4】 4．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为， 如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是______； (2)实数x，y，m满足关系式： ，求m的算术平方根的“麓外区间”． (3)若某一个无理数T的“麓外区间”为，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T． 题型01 三元一次方程组的定义 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 5．含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 ． 概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元一次方程组的解． 题型02 三元一次方程组的解 6．解方程组：． 7．解方程组： 8．解方程组： 9．解方程组： 10．解方程组 题型03 构造三元一次方程组解题 11．已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 12．关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35； (1)求a，b，c的值 (2)当时，求代数式的值． 13．若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 14．在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题． (1)=_______； (2)求的值． 15．关于的二元一次方程组 (1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． (2)当的值互为相反数时，求的值． (3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由． 题型04 根据三元一次方程组解的情况求参数 16．在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值． 17．已知多项式，当时，它的值是，当时，它的值是，试求的值． 18．探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 19．在等式中，当时，；当时，；当时，． (1)求，，的值； (2)求当时，的值． 20．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程3x+y＝11的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程x+2y＝5的所有“好解”； (2)关于x，y，k的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 题型05 三元一次方程组的应用 21．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 22．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地，乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后 分钟追上乙车． 23．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 24．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 25．某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 题型06 三元一次方程组的新定义运算 26．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 28．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5＝15，7△3＝﹣5，求5△4的值 ． 29．【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 30．新定义 对有理数x，y定义新运算x△y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知1△2＝9，(－3)△3＝6，0△1＝2，求(－2)△5的值． 1．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（    ） A．一份套餐的价钱必为140元 B．一份套餐的价钱必为120元 C．单点一片鸡排的价钱必为90元 D．单点一片鸡排的价钱必为70元 3．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共元．则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．不能确定 4．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 6．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元． 7．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 8．方程组的解为 ． 9．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 10．已知每件A奖品售价相同，每件B奖品售价也相同，老师要网购A，B两种奖品共16件．若购买A奖品9件，B奖品7件，则电子钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件，B奖品9件，则电子钱包内的钱会剩余230元．老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则电子钱包内的钱会剩余 元． 11．解方程组： 12．解下列三元一次方程组： (1) (2) 13．有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 14．（1）已知二元一次方程组则______，______． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______． 15．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$