精品解析：河南省周口市项城市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

秘密★启用前 普通高中2024-2025学年（上）高三年级期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积等于0即可求解. 【详解】因为，所以，解得 . 故选：C. 2. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法分别判断既不充分条件及不必要条件即可. 【详解】因为集合，， 所以但，故充分性不成立； 但 ，故必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合共轭复数的性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由复数在复平面上对应点的坐标为， 可得， 而为的共轭复数，故， 则，由复数模的公式得，故B正确. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的和角公式与诱导公式即可得到结果. 【详解】因为，故， 故. 故选：D. 5. 已知 ，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得，进而根据基本不等式求解最值. 【详解】由，可得，故， 故， 当且仅当 ，时取等号，故的最小值为 . 故选:C. 6. 甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数分别计算求解总的抽法和有且仅有2道代数题的抽法，再应用古典概型计算即可. 【详解】甲、乙二人从各自的10道题中各自独立地随机抽取2道题，不同的抽法共有（种）， 其中有且仅有2道代数题的抽法共有（种）， 所以甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为. 故选：C. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是 上不同于长轴顶点的一点，当最大时，为等边三角形.记的外接圆为圆，当时，圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当最大时，即点是 的上、下顶点时，得到，再利用等边三角形的条件与正弦定理即可得到结果. 【详解】当点是 的上、下顶点时，最大，此时为等边三角形， 则，即，故椭圆 的离心率为. 当时，设圆的半径为，由正弦定理可知， 又，故圆的面积为. 故选：A. 8. 如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为 ，则圆台侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由半球的体积为 可得，进而根据线面关系得到，，进而得，设，由导数求最值即可. 【详解】设半球的半径为，所以，解得. 设圆台的上底面半径为，高为，母线为， 则，， 圆台的侧面积，. 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有最大值，即侧面积的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 有且仅有两个零点 B. 的图象关于点对称 C. 与的图象关于点对称 D. 若，则有最大值2 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，再根据函数的平移及奇偶性判断零点个数即可判断A，B，根据函数奇偶性得出对称中心判断C，最后根据函数的单调性即可计算判断D. 【详解】，则的图象向左平移1个单位长度后所得图象对应的函数为， 而，所以单调递增，为奇函数且对称中心为，则其有且仅有一个零点， 故可知有且仅有一个零点，且的图象关于点对称，故A错误，B正确； 因为，，的图象分别关于原点和对称， 故与的图象关于原点和的中点对称，故C正确； 若，又，单调递增，则，故D错误. 故选：BC. 10. 设随机变量，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得到正态分布曲线关于对称，再结合题意得到，再对四个选项中的目标式合理变形，逐个判断即可. 【详解】因为，所以该正态曲线关于对称， 不妨记，则， 因为，所以， 由，可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数在点处的切线与圆相切于点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先设公切线，再根据直线和圆相切得出，进而得，判断A，B,应用基本不等式计算判断C，D. 【详解】设公切线为，得，所以公切线， 又因为与圆相切，切点为，所以公切线， 故，联立得，故A正确； 因为，所以由式子得，故B错误； 由A可知，又因为 ，所以， 当且仅当时取等号，此时 ，该情况下公切线不存在，所以，故C正确； 因为，且，所以，故D正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知递增等差数列的前 项和为，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由得，进而可得，进而可得. 【详解】设的公差为，首项为， 由，得，解得， 故，故 ，故， 故答案为： 13. 若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出，再由单调性得出不等式即可解出. 【详解】由题可知，且，解得， 又的图象在上单调，且，可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为： 14. 过抛物线焦点的直线与交于 ，两点，已知，若点 在直线的垂直平分线上，则直线 的斜率为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用中间坐标公式以及抛物线方程求出点M的坐标，即可求出结果. 【详解】易得，由点 在直线的垂直平分线上，可得点 的横坐标为， 代入抛物线方程可得，解得，故直线 的斜率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击 次. （1）求和的值； （2）求 的所有可能取值； （3）求 的分布列. 【答案】（1）， （2）1，，，， （3） 的分布列为 1 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解概率即可. （2）结合题意求出所有符合条件的取值即可. （3）先求出所有情况下的概率，再求解分布列即可. 【小问1详解】 由题意可得，， . 【小问2详解】 由题意可得 的所有可能取值为1，，，，. 【小问3详解】 ， ， ， 故 的分布列为 1 2 3 4 5 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理计算化简证明； （2）应用（1）结合基本不等式即可证明； （3）结合（1）应用三角形三边的关系及不等式的性质证明即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得， 化简得， 整理得； 【小问2详解】 由（1）得， 当且仅当 时取得等号，与题意不符. 故，即. 【小问3详解】 由（1）知， 又， 则， 解得， 故 解得， 所以. 17. 如图，在四棱锥 中，平面平面，，，，且 为正三角形，，点 为的中点，点为棱上一点，且，. （1）证明： 平面 ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，进而可得，根据等边三角形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，即可根据向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 证明：因为 为正三角形，点 为的中点，所以. 因为平面平面，平面 平面，，平面， 所以 平面 . 又 平面 ，所以. 因为 ，， 平面 ， 所以 平面 . 【小问2详解】 如图，取的中点，的中点，连接， . 易知 ，，则，平面 ， 又平面 ，所以， 故以为原点，， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知，则，，，， ，， 则， 故. 由（1）可知是平面 的一个法向量， 故由题可知，又， 解得. 18. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条射线分别与的左支和轴的正半轴交于，两点，过作与平行的直线，与在第一象限交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）探究的值是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）利用给定条件推理得到，再求出点坐标，利用斜率公式求解斜率即可. （2）先将目标式合理转化，再将目标式用根与系数的关系表示出来，结合韦达定理得到，代入运算求解定值即可. 【小问1详解】 设，，故的斜率为， 由题意可得，，则，， 因为，所以， 则，即，故， 将代入的方程可得， 解得，则，所以直线的斜率为. 【小问2详解】 如图，设，点关于原点的对称点记为， 则，，因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以，，三点共线，且有. 设直线，联立 得，则 ，， 则，，由，得 ， 且， 故，得到， 设的倾斜角为，则，， 所以，同理可得， 所以， 故为定值. 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用韦达定理得到，然后表示出和，再运算得到所要求的定值即可． 19. 已知函数，点 均为曲线图象上的点，且 ， ，. （1）当 时，证明：是等比数列； （2）求的取值范围； （3）证明：直线的斜率随 的增大而增大. 【答案】（1）证明如下： 由 ，得 ，又 ，即 ， 所以数列是以 为首项，为公比的等比数列. （2） ； （3）证明如下： 直线的斜率. 任取 ，设函数，求导得 令函数 ，求导得 ， 当时，；当时，， 函数在 上单调递减，在 上单调递增， 则当时， ，，函数在 和 上都单调递增， 而数列 单调递增，取，而，则， 取，而，则， 所以，即直线 的斜率随 单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并结合等比数列定义判断即得. （2）由递推公式分别求出，将等价转化求出范围，进而求出的范围. （3）直线的斜率为，构造函数，利用导数确定函数的单调性，并推理证得，再由，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 ，得 ，则 ， 因此数列 与 分别是以与为首项，6为公差的等差数列， ，由 ， ，得，. 等价于对于任意成立，即 ， 即，即，解得 ， 由点 均为图象上的点，且，得 ， 所以的取值范围是 . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用斜率坐标公式求出，再构造函数并探讨单调性是证明的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 普通高中2024-2025学年（上）高三年级期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的10道题中（这20道题均不相同）各自独立地随机抽取2道题现场回答，已知在每人的10道题中，均有5道是代数题，5道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的4道题目中有且仅有2道代数题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是 上不同于长轴顶点的一点，当最大时，为等边三角形.记的外接圆为圆，当时，圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为 ，则圆台侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 有且仅有两个零点 B. 的图象关于点对称 C. 与的图象关于点对称 D. 若，则有最大值2 10. 设随机变量，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在点处的切线与圆相切于点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知递增等差数列的前项和为，且，则______________. 13. 若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为__________________. 14. 过抛物线焦点的直线与交于， 两点，已知，若点在直线的垂直平分线上，则直线 的斜率为__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. （1）求和的值； （2）求的所有可能取值； （3）求的分布列. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，. （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：. 17. 如图，在四棱锥 中，平面平面，，，，且 为正三角形，，点为的中点，点 为棱上一点，且，. （1）证明： 平面 ； （2）若直线与平面 所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条射线分别与的左支和轴的正半轴交于，两点，过作与平行的直线，与在第一象限交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）探究的值是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 19. 已知函数，点 均为曲线图象上的点，且 ， ，. （1）当 时，证明：是等比数列； （2）求的取值范围； （3）证明：直线的斜率随的增大而增大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $