精品解析：广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

潮阳区2024-2025学年度第一学期高二级教学质量监测试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2. 已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 3. 在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，进而求出其夹角. 【详解】双曲线的渐近线方程为，显然直线与互相垂直， 所以所求夹角大小为. 故选：B 4. 已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解. 【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以， 所以，所以. 故选：C． 5. 两条平行线：，：之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线：，即，而与直线：平行， 所以所求距离. 故选：A 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 13 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 7. 设为图所示的数阵中前n行所有数之和，则满足的n的最大值为（ ） 第1行 1 第2行 1 2 第3行 1 2 …… 第n行 1 2 …… A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求利用等比数列前n和公式求得第n行所有数之和，再利用分组求和法求得数阵中前行所有数之和，进而求得满足不等式的的最大值. 【详解】图中第n行各数依次构成首项为1公比为2的等比数列， 其所有数之和为， 则数阵中前行所有数之和 ， 由，可得，即 当时，，不成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立. 所以满足的的最大值为8. 故选：C 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，，设．则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件可得，判定为等比数列，从而得出其通项公式.一一可判定各选项. 【详解】解：由条件可得，即，又， 所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误； 可得，所以，故D正确； 则，，可知A正确，C错误； 故选：AD． 10. 如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误. 故选：CD 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设与已知椭圆焦点相同的椭圆的方程，将已知点的坐标代入，可得参数的值，求出椭圆的方程． 【详解】解：由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 13. 如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____ 【答案】 【解析】 【详解】设球半径为，则．故答案为． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 14. 在数列中，，，对所有的正整数n都有，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列周期，进而求出. 【详解】数列中，由，得，则， 因此，数列是周期数列，周期为6， 所以. 故答案为：24 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足，数列是等比数列，公比，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，，其中，求数列的前2025项和． 【答案】（1），； （2）8153. 【解析】 【分析】（1）利用求出，再求出的公比，进而求出通项. （2）根据给定数列，确定前2025项中1的个数及数列中的项数，再分组求和. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，，解得， 而，解得满足上式，所以； ，又，则，而，解得， 所以. 【小问2详解】 依题意，而， 因此数列的前2025项中，有数列的前10项，其余项都为1， 所以. 16. 已知在中，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点D在AB边上，且，若，求的面积． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角，然后利用和角的正弦求出角即可. （2）由（1）的信息，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得，而，解得， ，于是， 又，则，所以是直角三角形. 【小问2详解】 令，由（1）知，，由，得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在满足条件的点．且或 【解析】 【分析】（1）根据长度关系证明线线垂直，即可根据线面垂直求证面面垂直， （2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解. 【小问1详解】 由于故， 又平面，故平面， 平面，所以平面平面， 【小问2详解】 由四边形为正方形，且，分别为，的中点， 设的中点为，连接，， 因为是正三角形，故， 而平面平面，平面平面，平面， 故平面，而平面，故， 又，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,0,,, , , , 设, 则， ， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 假设直线上存在点，使得直线与平面所成角为， 所以， 整理可得，解得或，故存在满足条件的点． 且或 18. 已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点. （1）证明：当时，与抛物线相切； （2）当时，求. 【答案】（1）由题意得， 设直线为，， 由，得，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，，得， 所以直线为， 则， 此时直线关于对称，，， 所以为，直线为， 由，得，， 所以方程组只有一组解， 所以直线与抛物线相切， 由，得，， 所以方程组只有一组解， 所以直线与抛物线相切， 综上，当时，与抛物线相切； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可求出，从而可求出的坐标，则可求出直线方程，分别与抛物线方程联立可证得结论； （2）由（1）可得平分，则，利用三角函数恒等变换公式可求出，从而得，，两式相乘化简可求得，再利用弦长公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以， 所以平分， 因为，所以， 因为， 所以，， 所以， ， ， 所以， ，得， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线与直线的位置关系，考查根与系数的关系的应用，考查弦长公式的应用，考查抛物线的焦点弦问题，解题的关键是将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合斜率公式得到平分，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题. 19. “出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． （1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． （2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 【答案】（1）（i）2；（ii）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按与之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可. （2）设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【小问1详解】 （i），则. （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. 【小问2详解】 设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳区2024-2025学年度第一学期高二级教学质量监测试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 2. 已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. 两条平行线：，：之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 13 D. 7. 设为图所示的数阵中前n行所有数之和，则满足的n的最大值为（ ） 第1行 1 第2行 1 2 第3行 1 2 …… 第n行 1 2 …… A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足，，设．则下列结论正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 10. 如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 向量与夹角是 D. 向量与所成角的余弦值为 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是______． 13. 如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____ 14. 在数列中，，，对所有的正整数n都有，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足，数列是等比数列，公比，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，，其中，求数列的前2025项和． 16. 已知在中，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若点D在AB边上，且，若，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点. （1）证明：当时，与抛物线相切； （2）当时，求. 19. “出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． （1）在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． （2）在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $