精品解析：广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024学年第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的混合运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】命题的否定是. 故选：B. 3. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数变换即可求解. 【详解】. 故选：D. 4. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ） A. 160000元 B. 179200元 C. 198400元 D. 297600元 【答案】C 【解析】 【分析】设池底的长为x，宽为y，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，计算出建造这个水池的总造价是，结合基本不等关系求得最小值. 【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即 因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面， 建造这个水池的总造价是 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 5. 已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数解析式结合题意可得，代入解一元二次不等式即可. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 因为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用初等基本函数的单调性得到的单调性，再利用零点存在定理，结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，则，即， 所以，， 所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是. 故选：D. 7. 已知则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解. 【详解】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算与换底公式比较，利用中间数，分别作差比较，从而得解. 【详解】因为，， 又因为，，所以， 又因为， 因，，故，所以，即， 又，因，，故， 所以，即，所以， 故 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列结论中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦函数与余弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项，从而得解. 【详解】A选项，令，得，解得，即为零点， 令，得，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，易得，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，对于，令，得， 对于，令，得， 所以的对称轴为，的对称轴为， 显然图象的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC. 10. 使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得. 综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，，故A正确； 又因，则，故B正确； ，， ，， ，， ，， ，， ，，故D正确； 但没有足够条件判断C的正误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②一个函数______． 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【解析】 【分析】对于①：可得；对于②：结合指数函数单调性解得，即可得结果. 【详解】对于①：因为，即，可得； 对于②：当时，，显然， 若，可得，即， 当时，恒成立，可得，此时显然不恒成立，不合题意； 若，可得，即， 则，解得； 综上所述：，例如，此时. 故答案为：（答案不唯一，满足，即可）. 14. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． 【答案】10 【解析】 【详解】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系计算结合二倍角正弦公式即可求值； （2）求解，再求解方程组，可得，最后应用两角和的正切公式即可求值. 【小问1详解】 因为， 得，所以. 【小问2详解】 因为且，所以， ，因为， 所以， 得，解得：，， 所以， 所以． 16. 已知函数． （1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）判断函数的单调性，并加以证明． 【答案】（1）存在，， （2）在定义域为内单调递减，证明见详解 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值； （2）利用定义法证明函数的单调性即可. 【小问1详解】 存在，，理由如下： 因为的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即，整理可得，解得， 所以. 【小问2详解】 在定义域为内单调递减，证明如下： 因为的定义域为， 对任意，，设， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以在定义域为内单调递减. 17. 已知函数（且）的最大值为2． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据的最大值求得. （2）利用整体代入法求得单调递增区间. 【小问1详解】 ， 的最大值为，所以， 若，则； 若，则. 综上所述，的值为或. 【小问2详解】 若，则， 由，， 解得，， 即的单调递增区间为. 若，则， 由，， 解得，， 即的单调递增区间为. 18. 已知函数. （1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； （2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； （3）设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1）图象见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先函数去绝对值，写成分段函数的形式，再画图； （2）根据（1）的图象，结合的定义，即可求解； （3），首先讨论去绝对值，再讨论的取值，求函数的最小值，再求分段函数的最小值. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 又，所以的图象大致如图， 【小问2详解】 因为，， 结合（1）中图象，可知当时，， 当或时，， 所以， 即. 【小问3详解】 因为， 所以， 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 当时，， 则的图象开口向上，对称轴为， 若，则在处取得最小值， 若，则在处取得最小值； 综上，当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 当时，，此时在时取得最小值； 当时，， 又，所以， 此时在时取得最小值； 综上，的最小值为. 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义． 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有 将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数； （2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值； （3）设为大于或等于1的实数，证明：． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义分析证明即可； （2）根据上凸函数的定义结合分析求解即可； （3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化为证明在上为下凸函数， 【小问1详解】 因为的定义域为， 任取， 则 ， 即，所以为上的下凸函数. 【小问2详解】 因为为上的上凸函数，且，， 则，即， 例如时，， 所以的最大值为. 【小问3详解】 设，因为，所以， 要证，只需证， 下证：在上为下凸函数. 设，则， 下证，即证， 即证， 化简得， 即证 又式显然成立， 所以成立，在上为下凸函数， 则得证. 【点睛】方法点睛：本题属于新概念题，根据题目下凸和上凸函数的概念，利用转化和化归的数学思想对复杂函数进行简单化，据函数的单调性解不等式以及对数恒等式的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ） A. 160000元 B. 179200元 C. 198400元 D. 297600元 5. 已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A B. C. D. 7. 已知则（ ） A B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数和，下列结论中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角终边与单位圆的交点为，则______． 13. 已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②的一个函数______． 14. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）判断函数的单调性，并加以证明． 17. 已知函数（且）的最大值为2． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间． 18. 已知函数. （1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象； （2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式； （3）设，记的最小值为，求的最小值. 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义． 定义1：设函数在区间上有定义，称为上下凸函数，当且仅当，有 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有 将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数； （2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值； （3）设为大于或等于1的实数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $