第01讲 幂的运算（3个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第01讲 幂的运算 目录 题型归纳 1 题型01 同底数幂相乘 3 题型02 同底数幂乘法的逆用 4 题型03幂的乘方运算 6 题型04 幂的乘方的逆用 8 题型05 积的乘方运算 9 题型06 积的乘方的逆用 11 题型07 同底数幂的除法运算 13 题型08 同底数幂除法的逆用 14 题型09 幂的混合运算 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 31 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 题型01同底数幂相乘 1．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）若，，，则用a，b的代数式表示c为 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）先化简，再求值：．其中，． 题型02同底数幂乘法的逆用 4．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，，则 ． 6．（22-23七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 题型03幂的乘方运算 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，请用含的代数式表示 ． 9．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求m的值； （2）已知，求的值． 题型04幂的乘方的逆用 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，则m，n的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 11．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知，则、、的大小关系为 (用“”号连接)． 12．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）（）已知，求的值； （）已知，，则用含的代数式表示． 题型05积的乘方运算 13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果是（ 　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·江苏镇江·期中） ． 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06积的乘方的逆用 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）(     ) A．1 B． C． D． 17．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： ． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，求的值． 题型07同底数幂的除法运算 19．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）． A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 21．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 题型08同底数幂除法的逆用 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（  ） A． B．4 C．8 D．16 23．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）已知，，则 ． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 若a，b两数满足，则称x为b的“对数”，记作，如，所以． 请根据以上规定，回答下列问题： (1)根据上述规定要求，请完成填空： ， ，（， ）． (2)计算． 题型09幂的混合运算 25．（22-23七年级下·江苏·单元测试）可以表示为(    ) A． B． C． D． 26．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则满足条件的x值为 ． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 夯实基础 一、单选题 1．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（　　） A．10 B．20 C．40 D．144 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 7．等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，则 ． 9．计算： ． 10．已知，则 ． 11．已知，则的值为 ． 12．若，，则 ． 13．若，，则 ． 三、解答题 14．已知，则和的值． 15．已知，，求的值． 16．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 17．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 18．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：． (3)拓展运用：计算． 19．阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 能力提升 一、单选题 20．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 22．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．若，，则的值为 ． 24．已知，，用含字母的代数式表示，则 三、解答题 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72． (1)求（5a）2的值． (2)求5a﹣b+c的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 幂的运算 目录 题型归纳 1 题型01 同底数幂相乘 3 题型02 同底数幂乘法的逆用 4 题型03幂的乘方运算 6 题型04 幂的乘方的逆用 8 题型05 积的乘方运算 9 题型06 积的乘方的逆用 11 题型07 同底数幂的除法运算 13 题型08 同底数幂除法的逆用 14 题型09 幂的混合运算 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 31 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 题型01同底数幂相乘 1．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）若，，，则用a，b的代数式表示c为 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据，结合同底数幂的乘法公式，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查的是整式的化简求值．将原式变形为，将看成一个整体，利用同底数幂的乘法计算，再计算加减，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 题型02同底数幂乘法的逆用 4．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，，则 ． 【答案】6 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 6．（22-23七年级下·江苏宿迁·阶段练习）下面是小明完成的一道作业题．小明的作业： 计算： 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①1 ②，知识拓展： 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】(1)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． (2)根据同底数幂的乘法的逆运算，再按照分数乘法计算即可． (3)根据同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可． 【详解】①， ②， 知识拓展：， ． 【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟悉同底数幂的乘法． 题型03幂的乘方运算 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数相乘．根据幂的乘方法则变为同底数的幂比较即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选B． 8．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，请用含的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】根据幂的乘方将转化为，把代入即可表示． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是关键． 9．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求m的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】（1）利用“同底数幂乘法”、“幂的乘方”分别将等式的左右两边化简成底数为3的指数幂形式，得出m的方程，即可求得m的值． （2）将变形为底数为2的指数幂形式，再结合已知条件即可求解． 【详解】（1） ∵， ∴， 即， ∴． 解得：． （2）∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等运算，解题的关键是将指数幂化为相同的底数． 题型04幂的乘方的逆用 10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，，则m，n的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则，能灵活运用法则是解题关键． 逆用幂的乘方运算法则化为同指数的幂进行比较可得． 【详解】解：∵，， ∵， ∴， 故选：A． 11．（23-24七年级下·江苏南京·期中）已知，则、、的大小关系为 (用“”号连接)． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，把它们化为底数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）（）已知，求的值； （）已知，，则用含的代数式表示． 【答案】（）；（）． 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】（）利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可； （）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（）原式， ， ∵， ∴原式； （）∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了幂的乘方，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型05积的乘方运算 13．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算的结果是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方乘法运算法则直接求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查整式乘法运算法则，熟记积的乘方乘法运算法则是解决问题的关键． 14．（23-24七年级下·江苏镇江·期中） ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可； （3）根据积的乘方的运算法则计算即可； （4）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型06积的乘方的逆用 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）(     ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 根据积的乘方的逆运算求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 17．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： ． 【答案】1 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了逆用积的乘方，有理数的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 将转化为即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 18．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆用； 逆用积的乘方求出，再结合已知计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 题型07同底数幂的除法运算 19．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 20．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 【答案】/0.75 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 21．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）先计算积的乘方、再计算同底数幂的乘法，合并同类项即可求解； （2）先计算同底数幂的乘除法，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键． 题型08同底数幂除法的逆用 22．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（  ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂除法的运算法则，先变形得，再根据同底数幂除法的运算法则即可解答．掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 23．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂除法法则计算即可； 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料： 若a，b两数满足，则称x为b的“对数”，记作，如，所以． 请根据以上规定，回答下列问题： (1)根据上述规定要求，请完成填空： ， ，（， ）． (2)计算． 【答案】(1)3，4， (2)1 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及同底数幂除法的逆用，熟练掌握有理数的乘方运算及同底数幂除法的逆用是解题的关键； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算及同底数幂除法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为3；4；； （2）解：设，则有， ∴， ∴， ∴． 题型09幂的混合运算 25．（22-23七年级下·江苏·单元测试）可以表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得． 【详解】解：A、不能表示为，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则． 26．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则满足条件的x值为 ． 【答案】或2 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 27．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 夯实基础 一、单选题 1．计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键． 2．已知，则等于（　　） A．10 B．20 C．40 D．144 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】先运用幂的乘方法则计算，再运用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题的关键． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】逆用幂的乘方法则，同底数幂乘除法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方法则，同底数幂乘除法法则的逆用，正确对所求的式子进行变形是解题的关键． 5．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的除法法则可判断选项C． 【详解】解：A．，选项A不符合题意； B．，选项B不符合题意； C．，选项C不符合题意； D．，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 6．若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴==3÷8=， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 7．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法计算即可． 【详解】 故选：D． 【点睛】本题综合考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算，解题的关键是把4写成． 二、填空题 8．已知，则 ． 【答案】4 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方逆运算法则，直接利用幂的乘方逆运算法则将原式变形，进而得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：4． 9．计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂除法运算的逆运用，掌握其运算法则是解题的关键． 根据题意可得，，将原式变形得，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 11．已知，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】先根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则进行变形，得出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算和一元一次方程的应用，根据题意将变形为是解题的关键． 12．若，，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂除法、逆用幂的乘方运算等知识点，灵活逆用相关运算法则是解题的关键． 先逆用底数幂除法、逆用幂的乘方运算法则化简，然后再将、整体代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 13．若，，则 ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】根据积的乘方的法则，进行计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方，掌握公式的逆用，整体代入的思想是解决问题的关键． 三、解答题 14．已知，则和的值． 【答案】6； 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，分别计算即可． 【详解】解： ，， ； ． 15．已知，，求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】根据得到，结合同底数幂乘除及幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 【点睛】本题考查同底数幂乘除法法则及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握，，． 16．在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？ 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据路程速度时间即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 我们行驶的路程为， 答：我们行驶的路程为． 【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键． 17．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【答案】(1)64；64； (2)①；② 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】（1）根据乘方运算法则求解，，从而得到猜想； （2）由（1）中猜想，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 小浦猜想会有如下规律：（用，，表示）； 故答案为：64；64；； （2）解：①∵， ∴； ②∵，，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键． 18．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：． (3)拓展运用：计算． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可； （2）仿照上面的材料，进行证明即可； （3）结合对数式的性质进行求解即可． 【详解】（1）43=64转化为对数式为：3=log464， 故答案为：； （2）证明：设，则， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴， 即 (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)． （3） = =1． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 19．阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【详解】解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 能力提升 一、单选题 20．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方．根据相关法则计算，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：C． 21．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方法则，解题的关键是熟练掌握法则．根据法则逐个计算后判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，故A错误不符合题意； ，故B错误不符合题意； ，故C错误不符合题意； ，正确符合题意； 故选：D． 22．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 二、填空题 23．若，，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】直接利用同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方的运算法则计算得出答案． 【详解】解：，， ， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 24．已知，，用含字母的代数式表示，则 【答案】/ 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】先根据题意求出，接着变形，将整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟知幂的乘方的逆运算是解题的关键． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可得； （2）根据幂的乘方法则计算即可得； （3）根据幂的乘方法则计算即可得； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 26．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72． (1)求（5a）2的值． (2)求5a﹣b+c的值． 【答案】(1)9 (2)27 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）由已知条件直接代入计算即可； （2）利用同底数幂的乘除法法则解答． 【详解】（1）解：∵5a＝3， ∴（5a）2＝32＝9； （2）∵5a＝3，5b＝8，5c＝72， ∴5a﹣b+c＝＝＝27 【点睛】本题考点同底数幂的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$