精品解析：新疆乌鲁木齐市实验学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

乌鲁木齐市实验学校2024-2025学年度高一数学期末考试卷 数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 第一部分（选择题58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共45分） 1. 若集合或，则（ ） A B. C. 或 D. 或 2. 设，，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. （ ） A. B. C. D. 6. 给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 7. 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若xB，则xB C. 已知R，则“”是“”充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 11. 已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数为增函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象过定点__________. 13. 已知，，则______． 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知，且有意义． （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 16 计算求值： （1）； （2）已知幂函数（）的图象关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 18. 已知函数,的解集为, （1）求的解析式; （2）时，的最大值; （3）若不等式的解集为A，且，求实数的取值范围. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的函数有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌鲁木齐市实验学校2024-2025学年度高一数学期末考试卷 数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 第一部分（选择题58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共45分） 1. 若集合或，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得. 【详解】由或可知， . 故选：C 2. 设，，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断A、D，举反例可判断B、C，进而可得正确选项. 【详解】对于A：当时，由可得，故选项A不正确； 对于B：取，满足，但，故选项B不正确； 对于C：取，满足，但，故选项C不正确； 对于D：由可得，故选项D正确； 故选：D 3. 已知，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质来求值即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】； ； 原式 . 故选：C 6. 给定数集，，，满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC选项，可举出反例；D选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】对于A: 对，当时，，无实数解， 即不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故A不正确； 对于B: 对，不妨设，则，解得， 不满足唯一的实数与对应，不符合函数定义，故B不正确； 对于C: 对，当时，由得， 即在中不存在确定的实数与对应，不符合函数定义，故C不正确； 对于D:由得，对，都有唯一确定的与之对应， 符合函数定义，可知D正确. 故选：D. 7. 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案. 【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则．，弓形的周长为． 故选：A 8. 已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为分段函数在上单调递增求参数的取值范围问题求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若xB，则xB C. 已知R，则“”是“”的充要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】AB 【解析】 【分析】逐项判断即可得出结果． 【详解】解：对于A：集合N中包括0，故，故A正确； 对于B：若，说明集合A和B中均包括元素x，则，故B正确； 对于C：已知R，当时，成立，而，所以“”是“”的充要条件为假命题，故C错误； 对于D：由全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“，”的否定是“，”，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后结合正弦函数性质判断各选项． 【详解】由图可知，，，又， 解得，，， ∴. 对于选项A，当时，，∴在区间上单调递增，故正确； 对于选项B，为其最小值，∴为图象的一条对称轴，故正确； 对于选项C，，∴点为图象的一个对称中心，故正确； 对于选项D，当时，，当即时，，当即时，，即在区间上的值域为，故错误. 故选：ABC． 11. 已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数为增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D. 【详解】对于A，令，则，结合， 可得， 令，则，即， 而，故，A正确； 对于C，令，则， 即，该函数为奇函数，C正确； 对于B，结合C的分析，令，则，B错误； 对于D，由于，用代换x，可得， 该函数为减函数，D错误， 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象过定点__________. 【答案】（-1，3） 【解析】 【分析】令幂指数等于零，求得x的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【详解】令x+1＝0，求得x＝-1，y＝3， 可得函数的图象过定点（-1，3）， 故答案为（-1，3）． 点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，令指数等于0是基本方法，属于基础题． 13. 已知，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由，可得，结合即可解出. 【详解】由，，所以，即， 又， 所以，解得或（舍去）， 故答案为：. 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果. 【详解】 定义域为 且 在上单调递增 在上单调递减 ， 且是方程的两根 即 在上有两个不等实根 即在上有两个不等实根 ，解得： 的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解. 四、解答题（共5小题，共77分） 15 已知，且有意义． （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值． 【答案】（1）第四象限 （2）， 【解析】 【分析】（1）由条件可分别判断的正负，即可判断所在的象限； （2）由可得，再由是第四象限角可判断，即可求出，根据定义可求出． 【小问1详解】 ∵，∴，① 由有意义，∴，②， 由①②得，角在第四象限； 【小问2详解】 ∵点在单位圆上， ∴，解得， 又是第四象限角，即， ∴ ， 由三角函数定义知． 16. 计算求值： （1）； （2）已知幂函数（）的图象关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质及换底公式计算得解. （2）利用幂函数的定义及性质列式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由是幂函数，得，解得， 由，的图象关于y轴对称且在上是严格增函数， 得，且是偶数，则，且是偶数，因此. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【解析】 【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； （2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故的最小正周期； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 18. 已知函数,的解集为, （1）求的解析式; （2）时，的最大值; （3）若不等式的解集为A，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由二次不等式的解集可得到与之对应的二次方程的根，由根与系数的关系可求得值，从而确定函数解析式； （2）将函数式变形，设，转化为用表示，借助于不等式性质求解最值； （3）首先求解集合A，由可得到两集合边界值的大小关系，从而解关于k的不等式，求解其取值范围 【小问1详解】 由题可知是的两个实数根，且， 故，解得 则； 【小问2详解】 由（1）得， 令，则 当且仅当取等号，此时，即， 则最大值为； 【小问3详解】 由题可知，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，当时，, 则在上单调第减，在上单调递增， ，即， 故 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求得参数值，再验证符合题意即可； （2）根据单调性的定义证明； （3）令，结合的单调性得到，参变分离可得，依题意可得关于的方程有解，令，则与有交点，利用换元法求出的值域，即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 当时，，满足，是奇函数， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 设任意两个实数满足， 则， ∵，∴，，∴，即， 所以在上为单调递增； 【小问3详解】 令，则， 又是定义在上的奇函数且单调递增，所以， 则， 则， 因为关于的函数有零点， 所以关于的方程有解，令， 则与有交点， 令，则，令，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，则，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$