数学（北京卷01）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】全集， 故选：D. 2．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可. 【详解】， 的虚部是 故选：C 3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，即可得到答案. 【详解】抛物线的焦点为F的坐标为，准线为：， 由点P到的距离为3，可知到轴的距离是2. 故选：A 4．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别由与确定x的值，据此可判断选项正误. 【详解】当时，， 当时，. 当时，； 当时，与不垂直. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 则. 故选：C. 6．在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【详解】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 8．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，根据水体积和容器容积关系得到，再逐项检验即可． 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为， 则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时， 有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近. 故选：D． 9．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据已知条件列不等式，由此quiet正确答案. 【详解】设经过年后，人数翻一倍， 则， 两边取以为底的对数得， 所以， 所以至少经过年后，该景区的旅游人数翻一倍. 故选：B 10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知的最大值为，且，求得，结合图像即可得结果. 【详解】当时，在内单调递减， 则，且； 若在上的值域为， 则在上的最值点在内， 可知的最大值为，且，可得， 令，解得或， 结合的图像可知实数的取值范围是. 故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程. 【详解】由双曲线，可得， 所以双曲线的焦点在轴上的渐近线方程为：. 故答案为：. 12．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 13．在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】令，可得出所有项的系数之和；利用二项展开式通项可求得展开式中含的项的系数. 【详解】在的展开式中，所有项的系数之和为， 展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：；. 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 15．已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是（   ） ①．数列0，0，1，1，，是包容数列 ②．任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 ③．若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5 ④．由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0 【答案】①③④ 【分析】根据包容数列的定义和性质可判断ABD的正误，利用枚举法可判断C的正误. 【详解】对于A，当时，不存在使， 所以数列0，0，1，1，，不是包容数列，故A错误； 对于②，当为包容数列， 则或或， 即或或，故②正确； 对于④，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容数列，故④错误； 对于③，可为任意数， 考虑前2项，或，得或， 所以包容数列的前2项中必有1个数为0， 设包容数列的前2项为m，0或0，m， 考虑前3项，由B项知的前3项中必有2项互为相反数， 则的前3项为m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m， 同理可知的前n项中必有项之和为0， 的前4项为m，0，0，0①或m，0，0，②或0，m，0，0③或0，m，0，④或m，0，，n⑤或0，m，，n⑥， 从第5项开始： 对于①， 对于②， 对于③，； 对于④，； 对于⑤， 对于⑥， 综上所述，中要么会有一个0，要么会有一组相反数， 所以不可能全为正，故③错误. 故选：①③④. 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . (1)证明: (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由平面平面，，根据面面垂直性质定理证明平面，由此证明，结合，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面，， 所以平面，平面， 所以，.......................4分 （2）由（1）平面， 如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，，，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量，.......................9分 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值；.......................13分 17．（满分14分）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为2； 条件③：函数的最小正周期为. (1)的解析式，若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为2得出，进而求出的解析式；选择①②：无法确定．然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案； （2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答. 【详解】（1）由题可知， 选择①③： 因为，所以， 又因为，所以． 所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为函数的最大值为，所以． 所以， 选择①②：无法确定 因为， 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为........................8分 （2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：， 再将其向右平移，可得：， 即函数，.......................10分 因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是， 再由函数有且仅有4个零点，则满足， 解得，所以实数的取值范围........................14分 18．（满分13分）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析 【分析】（1）计算出亩产量是的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，计算出增产的会产生增加的收益，与比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为， 亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为， 估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为.......................4分 （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， ，， ， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ........................11分 （3）解：建议农科所推广该项技术改良， 设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知， 所以，增产的会产生增加的收益为， 故建议农科所推广该项技术改良........................13分 19．（满分15分）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知易求得，易求得椭圆方程与离心率； （2）设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，联立方程组，结合韦达定理可得，表示出直线AD的方程为：，令得：计算可求得定点. 【详解】（1）因为椭圆E过点，所以， 又因为长轴长为4，所以，所以， 所以. 椭圆E的方程为：，离心率........................5分 （2）由得：，.......................7分 由得：或， 设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标， ，    由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：， 令得： ，.......................14分 所以直线AD过定点........................15分 20．（满分15分）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值； （2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间； （3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值........................4分 （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为......................8分 （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为........................15分 21．（满分15分）给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. (1)求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; (2)证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 (3)已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)508 【分析】（1）根据定义直接写出即可; （2）从充分性和必要性两方面求证即可; （3）求出数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列，仅除4之外的两项均减小24，得数列经过次“变换”后得到数列6，10，4，接下来经过“变换”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，0，0，2，2，至此数列各项之和最小值为4，即可求K的最小值. 【详解】（1）由题知：数列 A4，4，2，9经过次“变换”后得到的数列依次为： ........................4分 （2）充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束， 必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 设数列，，，数列，，，数列，0，0，且， 由充分性易知：数列 E只能为非零常数列， 不妨设 为了变换得到数列E的前两项，数列D只有如下四种可能： ，，，，，，，，， 那么数列E的第三项只能是0或者 即不存在数列D，使其经过一次“变换”后变为非零常数列， 故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 必要性得证........................9分 （3）数列，2，2028经过一次“变换”后得到数列，2026， 其结构为a，，4，且远大于， 那么其经过次“变换”后得到数列依次为： 4，a，，4，，，，，，4，，，4 所以数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列， 仅除4之外的两项均减小24， 因为， 所以数列经过次“变换”后得到数列6，10，4， 接下来经过“变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2， 至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为.......................15分 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A A C B B D B C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13． 14． / 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【答案】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面，， 所以平面，平面， 所以，.......................4分 （2）由（1）平面， 如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，，，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量，.......................9分 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值；.......................13分 17．（满分14分） 【答案】（1）由题可知， 选择①③： 因为，所以， 又因为，所以． 所以． 选择②③： 因为，所以， 又因为函数的最大值为，所以． 所以， 选择①②：无法确定 因为， 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为........................8分 （2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：， 再将其向右平移，可得：， 即函数，.......................10分 因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是， 再由函数有且仅有4个零点，则满足， 解得，所以实数的取值范围........................14分 18．（满分13分） 【答案】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为， 亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为， 估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为.......................4分 （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， ，， ， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ........................11分 （3）解：建议农科所推广该项技术改良， 设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则， 设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知， 所以，增产的会产生增加的收益为， 故建议农科所推广该项技术改良........................13分 19．（满分15分） 【答案】（1）因为椭圆E过点，所以， 又因为长轴长为4，所以，所以， 所以. 椭圆E的方程为：，离心率........................5分 （2）由得：，.......................7分 由得：或， 设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标， ，    由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：， 令得： ，.......................14分 所以直线AD过定点........................15分 20．（满分15分） 【答案】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值........................4分 （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为......................8分 （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为减函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为........................15分 21．（满分15分） 【答案】（1）由题知：数列 A4，4，2，9经过次“变换”后得到的数列依次为： ........................4分 （2）充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束， 必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 设数列，，，数列，，，数列，0，0，且， 由充分性易知：数列 E只能为非零常数列， 不妨设 为了变换得到数列E的前两项，数列D只有如下四种可能： ，，，，，，，，， 那么数列E的第三项只能是0或者 即不存在数列D，使其经过一次“变换”后变为非零常数列， 故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 必要性得证........................9分 （3）数列，2，2028经过一次“变换”后得到数列，2026， 其结构为a，，4，且远大于， 那么其经过次“变换”后得到数列依次为： 4，a，，4，，，，，，4，，，4 所以数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列， 仅除4之外的两项均减小24， 因为， 所以数列经过次“变换”后得到数列6，10，4， 接下来经过“变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2， 至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为.......................15分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 6．在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 8．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（    ） A． B． C． D． 9．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 12．在中，，，，则 ． 13．在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答） 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 15．已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的有 ①．数列0，0，1，1，，是包容数列 ②．任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 ③．若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5 ④．由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . (1)证明: (2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．（满分14分）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为2； 条件③：函数的最小正周期为. (1)的解析式，若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 18．（满分13分）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 明年冬小麦统一收购价格（单位：元） 概率 表1 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 19．（满分15分）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 20．（满分15分）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 21．（满分15分）给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. (1)求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; (2)证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 (3)已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第二次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，则到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 6．在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 7．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 8．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（    ） A． B． C． D． 9．随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区的旅游人数大约每年以的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据：，）（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．双曲线的渐近线方程为 . 12．在中，，，，则 ． 13．在的展开式中，所有项的系数之和为 ，含的项的系数是 .（用数字作答） 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 15．已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的有 ①．数列0，0，1，1，，是包容数列 ②．任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 ③．若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5 ④．由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . (1)证明: (2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．（满分14分）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的最大值为2； 条件③：函数的最小正周期为. (1)的解析式，若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 18．（满分13分）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）. 假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. (1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率； (2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望； (3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由. 19．（满分15分）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 20．（满分15分）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 21．（满分15分）给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. (1)求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; (2)证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 (3)已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$