精品解析：山东省枣庄市山亭区2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024－2025学年第一学期12月核心素养评价 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 4. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 7. 如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点，若两正方形的面积差为12，则的值为　　 A. 12 B. 6 C. D. 8 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分．把答案填在题中的横线上） 11. 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是_____． 12. 在锐角中，若，则的余弦值是______． 13. 小明沿着坡比为的斜山坡向上走了300m，则他升高了______m． 14. 如图个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则______． 15. 如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为________． 16. 已知一次函数，反比例函数（a，b，k是常数，且），若其中一部分x，y的对应值如表：则不等式的解集是______． x 1 2 3 4 3 2 1 0 2 3 6 三、解答题：（共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2） 18. 如图，、为两盏高度相等的路灯，它们之间的距离米，欣欣（用图中表示）站在两路灯之间的点处，她在路灯的光源下的影子末端恰好落在点处，测得米，欣欣的身高米，、，，点、、在一条直线上． （1）请在图中画出欣欣在路灯的光源下的影子； （2）根据已测得的数据，计算影子的长． 19. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 20. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 21. 【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． （1）求，，的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 23. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期12月核心素养评价 九年级数学 （满分：120分时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2. 如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（    ） A. 一直都在变短 B. 先变短后变长 C. 一直都在变长 D. 先变长后变短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴图象在第一、三象限，故本选项错误； B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误； D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误； 故选：B． 4. 如图，工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可． 【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线， ∴主视图为：， 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长． 【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图 ∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝4， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴，即 ∴A′B′＝8， 故选择：D． 【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键． 6. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2， ∵AB=m，AB边上的高是n． ∴S△ABC=mn=×2=1． 故选A． 【点睛】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 7. 如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点，若两正方形的面积差为12，则的值为　　 A. 12 B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a-b），F（a+b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以=a-b，则a2-b2=k，然后利用正方形的面积公式易得k=12． 【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b， 则D（a，a-b），F（a+b，a）， ∴E（a+b，）， ∴=a-b， ∴（a+b）（a-b）=k， ∴a2-b2=k， ∵两正方形的面积差为12， ∴k=12． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征分别代入，求出、、的值，比较即可得答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， 解得：，，， ∴， 故选：A． 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为，然后根据中线的性质分别用含有的代数式表示点和点的坐标，然后计算的面积即可． 【详解】解：设点 ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴ ∵点、在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的面积问题，能够运用中线的性质表示点的坐标并代入运算是解决本题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分．把答案填在题中的横线上） 11. 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据函数是反比例函数，可得出，在结合当x＜0时，y随着x的增大而增大，可得出，解一元二次方程及一元一次不等式即可得出结论. 【详解】解：根据题意得： ， 解得：m＝﹣3． 故答案是：﹣3． 【点睛】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求． 12. 在锐角中，若，则的余弦值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出及的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ，为锐角， ，， ， 的余弦值是． 故答案为：． 13. 小明沿着坡比为的斜山坡向上走了300m，则他升高了______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于铅直距离与水平距离得比是解题的关键． 根据坡比等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了，则水平距离为，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：设升高了，根据坡比为，可得水平距离为， ∴由勾股定理得， 解得． 故答案为：． 14. 如图个大小相同的小正方形，恰好放置在三角形中，若小正方形的边长为1，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，根据题意，得，，且，根据正切定义解答即可． 本题考查了正方形的性质，正切定义，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，理解1米高的竹杆的影长为是解答关键． 延长交的延长线于，根据1米高的竹杆的影长为求出，利用锐角三角函数值的求出得到，进而得到，再利用来求解． 【详解】解：延长交的延长线于，如图 米的杆影恰好为米， ． 四边形是矩形， （米），． 在中 ，（米），， （米）， （米）， （米），（米）， （米）． 故答案为：． 16. 已知一次函数，反比例函数（a，b，k是常数，且），若其中一部分x，y的对应值如表：则不等式的解集是______． x 1 2 3 4 3 2 1 0 2 3 6 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，从图象上直接得出某个函数值大于或小于另一个函数值时自变量的取值范围，是识图的一种能力． 根据表格中数据，可以得出两个函数的图象的交点坐标，从而确定函数图象所在的位置，根据函数的增减性和图象，可直接得出一次函数的值小于反比例函数值时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据得，一次函数，反比例函数都经过， ∴反比例函数图像位于第二、四象限，一次函数图象经过第二、三、四象限， 可画大致图象为： 由图象可得不等式的解集是：或， 故答案为：或． 三、解答题：（共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，、为两盏高度相等的路灯，它们之间的距离米，欣欣（用图中表示）站在两路灯之间的点处，她在路灯的光源下的影子末端恰好落在点处，测得米，欣欣的身高米，、，，点、、在一条直线上． （1）请在图中画出欣欣在路灯的光源下的影子； （2）根据已测得的数据，计算影子的长． 【答案】（1） 影子如图所示． （2）米 【解析】 【分析】本题考查投影作图和相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接并延长交于点G，则即为影子； （2）先根据得到，求出路灯的高度，然后根据求出影子的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ，即， 解得米， 米， ，， ， ， ，即， 解得， 即影子的长为米． 19. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． （1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； （2）若栅栏总长度为122米，求的长； （3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】（1） （2） （3）花圃至少需要围栏米． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； 【小问3详解】 解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 20. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【小问1详解】 解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示： 此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 21. 【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． （1）求，，的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】（1）；； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可； （2）先求出三个内角，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ； 【小问2详解】 解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根， ∴， 当，则、， ∴，解得：； 当，则、， 不满足，故舍； 当，则、， 不满足，故舍， 综上所述：，． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米 （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 【解析】 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； 【小问2详解】 略 23. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形． 【构建联系】 若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，请直接写出 P点坐标和的值． 【答案】（1）（2）9（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式； （2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解； （3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的纵坐标为3． ∴， 把代入， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 即， ∵点D在反比例函数图象上， 把代入， 得， 解得， ∴， ∴； （3） 解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点， ∴联立方程组得，， 即， 设、， ∴， ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为， 把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得； 把代入，得， 解得， ∴直线与x、y轴交于点、， ∴，， ∴， ∴， 过点O作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $