精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年高二上学期期末监测数学试题

2024－2025学年第一学期期末监测 高二数学 （考试时间：120分钟总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校，班级，姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 2. 若直线经过点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列第40项是（ ） A. B. C. 11 D. 5 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 5. 如图，在四面体中，是中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 7. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A. B. C. D. 8. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 是递减数列 B. 是等比数列 C. D. 11. 已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（ ） A. B. 最小值为4 C. 准线的方程为 D. 以为直径的圆恒过定点， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点到直线的距离是______. 13. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 14. 已知等差数列，其前项和为，，则_________，_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，. （1）求直线的一般方程； （2）求外接圆的一般方程. 16. 数列满足：，，设. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式及前项和. 17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点． （1）求证：AB⊥A1C； （2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值； 18. 动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线． （1）求动点的轨迹； （2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 19. 已知椭圆离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期期末监测 高二数学 （考试时间：120分钟总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校，班级，姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 若直线经过点，，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 3. 已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（ ） A. B. C. 11 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用观察法求出数列的通项公式，进而求出第40项. 【详解】依题意，所给数列的通项公式为， 所以该数列的第40项. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 5. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 6. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点位置确定，利用关系即可求出结果. 【详解】根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上， 结合椭圆标准方程可得，故. 故选：C. 7. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面法向量，则， 所以，即. 故选：A. 8. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得. 【详解】当时，，所以， 整理得，所以. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 是递减数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用作差法判断即可；对于BCD，利用与的关系求得，从而对选项逐一分析检验即可. 【详解】对于A，因为，所以， 故，则， 所以是递减数列，故A正确； 对于B，当时，， 当时，， 经检验，满足， 所以， 故当时，，所以是等比数列，故B正确； 对于C，由选项B知，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（ ） A. B. 最小值为4 C. 准线的方程为 D. 以为直径的圆恒过定点， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将点代入抛物线方程中可求出的值；对于B，当为通径时，其取最小值；对于C，由于，从而可得准线方程；对于D，设直线的方程为，，，由题意可求出，，从而可得以为直径的圆的方程，整理后可得其过定点 【详解】把点代入曲线可得，∴，故A错误； 抛物线的方程为，把代入可得，∴，可知最小值为4，故B正确； 准线的方程为，故C正确； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，，联立 可得，，，直线的方程为，同理直线的方程为，令，可得，，则以为直径的圆的方程为，整理可得，令，可得或，故圆过定点，．当直线的斜率不存在时，将直线的方程代入抛物线方程可得，，可得，，以点为直径的圆方程，显然过两定点，，选项D正确， 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点到直线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】到直线的距离为， 故答案为： 13. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性，可得，再由双曲线的性质可解. 【详解】根据题意，由双曲线的对称性，可得， ∴，∴，双曲线：. 故答案为： 14. 已知等差数列，其前项和为，，则_________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】在等差数列中，又，所以， 又， 所以. 故答案为：； 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点，，. （1）求直线的一般方程； （2）求外接圆的一般方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【小问1详解】 由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. 【小问2详解】 设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 16. 数列满足：，，设. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式及前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）利用（1）中结论可求出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为，所以，即. 又因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，即，所以， 所以. . 17. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点． （1）求证：AB⊥A1C； （2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先证明底面，从而可证明. （2）取的中,则可得面，过作,垂足为，连结,所以为D﹣CA1﹣A的平面角，然后在直角三角形中求解即可 【小问1详解】 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面,底面,则 又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则,所以 又,所以面 面,所以 【小问2详解】 点D是线段BC的中点．取的中，则,且 由（1）可知面，则面 过作,垂足为，连结, 所以为D﹣CA1﹣A的平面角 由AA1＝AC＝4，则,则为等腰三角形，且, 所以, 直角三角形中, 在直角三角形中, 18. 动点与定点距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线． （1）求动点的轨迹； （2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1）M的轨迹是焦点在轴上，实轴长为2、虚轴长为的双曲线 （2） 【解析】 【分析】（1）设是点到直线的距离，由题意得到，转化成方程即可； （2）联立直线与的方程，通过韦达定理求得中点坐标，代入圆方程即可. 【小问1详解】 解：设是点到直线的距离，则动点的轨迹就是点的集合， 由此得， 两边平方，并化简，得，即， 即点M的轨迹是焦点在轴上，实轴长为2、虚轴长为的双曲线； 【小问2详解】 设曲线与直线的交点分别为，， 则，得， ∴， ∴， ∴线段的中点坐标为， 又∵线段的中点在圆上， ∴，解得. 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到之间的关系，再结合椭圆过点，求出的值，从而得到椭圆的方程. （2） ①利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点的坐标，再根据三点共线得之间的关系；②求得，并利用等比数列的前项和公式求得. 【小问1详解】 因，可得： ①， 又椭圆过点，可得 ②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ②结合①可知，则 ， 因，则数列是首项为9，公比为3等比数列， 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题，属于难题.解题的关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和三点共线，求出点的坐标，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$