2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义《第18讲 等腰三角形》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第四单元　三角形 《第18讲 等腰三角形》 【知识梳理】 1.等腰三角形的概念和性质 (1)定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形. (2)性质: ①等腰三角形是　轴对称　图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.  ②等腰三角形的两个底角相等.这个定理也可以说成在同一个三角形中，　等边对等角　.  ③等腰三角形的顶角　平分线　、底边上的　中线　和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.  (3)拓展: ①等腰三角形两腰上的高线　相等　.  ②等腰三角形两腰上的中线　相等　.  ③等腰三角形两底角的平分线　相等　.  ④等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的　一半　.  ⑤等腰三角形顶角的外角平分线与底边　平行　.  ⑥等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线长. ⑦等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线长. 2.等腰三角形的判定 (1)判定定理:如果一个三角形有　两　个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单地说成:在同一个三角形中，　等角对等边　.  (2)拓展: ①一边上的高线与该边上的中线　重合　的三角形是等腰三角形.  ②一边上的高线与该边所对角的平分线　重合　的三角形是等腰三角形.  ③一边上的中线与该边所对角的平分线　重合　的三角形是等腰三角形.  3.等边三角形的概念和性质 (1)定义:三边都　相等　的三角形叫做等边三角形.  (2)性质:等边三角形的各内角都等于　60　°.  4.等边三角形的判定 判定定理: ①三个角都　相等　的三角形是等边三角形.  ②有一个角是60°的　等腰　三角形是等边三角形.  5.线段的垂直平分线 (1)定义:垂直于一条线段，并且　平分　这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.  (2)性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离　相等　.  性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的　垂直平分线　上.  【考题探究】 类型一　等腰三角形的性质 【例1】[2024·内江]如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为　100　°.  例1图 【解析】 ∵AC＝AE，BC＝BD，∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，则∠A＝(180－2x)°，∠B＝(180－2y)°. ∵∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，∠BDC＋∠AEC＋∠DCE＝180°， ∴∠ACB＋(180－2x)°＋(180－2y)°＝180°，180°－(x＋y)°＝∠DCE， ∴∠ACB＋360°－2(x＋y)°＝180°，∴∠ACB＋2∠DCE＝180°. ∵∠DCE＝40°，∴∠ACB＝100°. 变式1 如图，已知在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积为(　B　) 变式1图 A.12 B.9 C.6 D.3 【解析】 ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC. 在Rt△EBD中，∠EBD＝45°， ∴ED＝BD＝3， ∴S△EBC＝BC·ED＝×6×3＝9. 类型二　等腰三角形的判定 【例2】如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D.求证:△DOC是等腰三角形. 例2图 证明:∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC. ∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC， ∴∠AOC＝∠DCO， ∴OD＝CD，∴△DOC是等腰三角形. 变式2－1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，图中等腰三角形的个数是(　D　) 变式2－1图 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】 ∵AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF， ∴△EBD，△DBC，△FDC是等腰三角形. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC是等腰三角形. ∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC， ∴△AEF是等腰三角形. 所以共有△EBD，△DBC，△FDC，△ABC，△AEF 5个等腰三角形. 变式2－2 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证:∠EBD＝∠EDB. (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 变式2－2图 解:(1)∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB. (2)CD＝ED.理由如下: ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE. 由(1)，得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE， ∴CD＝ED. 变式2－3 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O. (1)求证:△ABD≌△ACE. (2)判断△BOC的形状，并说明理由. 　变式2－3图 解:(1)∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)△BOC是等腰三角形.理由如下: ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE， 即∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC，即△BOC是等腰三角形. 类型三　线段的垂直平分线 【例3】[2023·丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是　4　.  例3图 变式3－1 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为(　B　) 变式3－1图 A.50° B.70° C.75° D.80° 变式3－2 [2024·广西]如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC. (1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E.(要求:保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)在(1)所作的图中，连结BE，若AB＝8，求BE的长. 变式3－2图 变式3－2答图 解:(1)作图如答图所示. (2)∵DE垂直平分线段AB， ∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝45°， ∴∠BEA＝90°. ∵BD＝DA，∴DE＝DB＝DA＝AB＝4， ∴BE＝BD＝4. 类型四　等边三角形的性质与判定 【例4】[2023·荆州]如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连结DE.求证:CD＝CE. 典例4图 证明:∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，∠DBC＝∠ABC＝30°. 又∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°. 又∵∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE. 变式4 [2023·台州]如图，点C，D在线段AB上(点C在点A，D之间)，分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b.CF与DE相交于点H，延长AE，BF相交于点G，AG长为c. 　变式4图 (1)若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为　5a＋5b＝7c　.  (2)若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为　a2＋b2＝c2　.  【解析】 (1)∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴∠A＝∠FCD＝60°，∠B＝∠EDC＝60°， ∴AG∥CF，DE∥BG，△CDH和△ABG都是等边三角形， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴HF＝EG＝c－a，EH＝GF＝c－b， ∴C四边形EHFG＝2(c－a＋c－b)＝4c－2a－2b. 易知CD＝a＋b－c，C△CDH＝3(a＋b－c)， ∴4c－2a－2b＝3(a＋b－c)，∴5a＋5b＝7c. (2)由图形，得S△ADE＋S△CBF－S△CDH＋S四边形EHFG＝S△ABG. 又∵S△CDH＝S四边形EHFG，∴S△ADE＋S△CBF＝S△ABG， ∴a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝c2. 类型五　等腰三角形的探究 【例5】[2024·滨州][问题背景] 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现: ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C. ②某同学顺势提出一个问题:既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD.若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗? 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明:分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明:∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形. 根据勾股定理，得…… [问题解决] (1)完成①的证明. (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 　　 备用图 典例5图 解:(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△ADB和△ADC中，∵ ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠C. (2)小军的证明过程: 分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，如答图. 典例5答图 ∵AB＋BD＝AC＋CD，∴BE＋BD＝CF＋CD， ∴DE＝DF. ∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°. 在△ADE和△ADF中，∵ ∴△ADE≌△ADF(SAS)，∴∠E＝∠F. ∵BE＝BA，CF＝CA，∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF. 又∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝2∠E，∠ACB＝∠F＋∠CAF＝2∠F， ∴∠ABC＝∠ACB. 小民的证明过程: ∵AD⊥BC，∴△ADB 与△ADC均为直角三角形. 根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2， ∴AB2－BD2＝AC2－CD2，∴(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD). 又∵AB＋BD＝AC＋CD①，∴AB－BD＝AC－CD②， 两式相加，得2AB＝2AC， ∴AB＝AC，∴∠B＝∠C. 【课后作业】 1.若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长为(　D　) A.8 cm B.13 cm C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm 2.[2024·凉山州]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　C　) 第2题图 A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 【解析】 ∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB. ∵△ACD的周长为50 cm， 即AC＋AD＋CD＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC＝50 cm. 3.[2023·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连结BE，CD.下列命题中，假命题是(　A　) 第3题图 A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE 【解析】 由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝CB，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC(ASA)，故CD＝BE，BD＝CE，B，D是真命题. 根据BC＝CB，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC(SAS)，故∠DCB＝∠EBC，C是真命题. 不能通过CD＝BE，CB＝BC，∠ABC＝∠ACB证明△BCD≌△CBE，从而推出∠DCB＝∠EBC，A是假命题. 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　D　) 第4题图 A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB. ∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠ECB＝∠NEC， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC， ∴BM＝ME，CN＝EN， ∴MN＝ME＋EN＝BM＋CN＝9. 5.[2024·湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　100　°.  6.[2024·绥化]如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝　66　°.  第6题图 【解析】 ∵OC＝OE，∠C＝33°， ∴∠E＝∠C＝33°， ∴∠DOE＝∠E＋∠C＝66°. ∵AB∥CD，∴∠A＝∠DOE＝66°. 7.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件　∠A＝60°(答案不唯一)　.  第7题图 8.[2024·重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为　2　.  第8题图 【解析】 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝180°－∠C－∠CBD＝180°－72°－36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC＝2. ∵∠A＝36°，∠ABD＝36°，∴∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD＝2. 9.如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O.求证:∠OBC＝∠OCB. 第9题图 证明:在△AOB和△DOC中， ∵ ∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB. 10.[2024·自贡]如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. (1)求证:∠BDF＝∠A. (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 第10题图 解:(1)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED. ∵∠EDF＝∠C，∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A. (2)∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°. ∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC，∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 11.[2024·自贡]如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用钢(　D　) 第11题图 A.(24－12)m B.(24－8)m C.(24－6)m D.(24－4)m 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12 m，BD＝6 m，∴CD＝6 m. ∵∠BED＝60°，∴DE＝2 m，BE＝AE， ∴减少用钢(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝(24－4)m，故选D. 12.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰AB的长为　6　.  【解析】 ∵等腰三角形ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2×3＝6或AB＝×3＝1.5. 若AB＝6，则△ABC的三边长分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6; 若AB＝1.5，则△ABC的三边长分别是1.5，1.5，3. 又∵1.5＋1.5＝3，∴此时不能构成三角形，∴这种情况不存在. 综上所述，腰AB的长为6. 13.[2024·绍兴模拟]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AC交AC于点E，连结CD，∠CDE＝∠B. 【特例探索】(1)如图1，若∠A＝60°，求∠ACD的度数. 【类比迁移】(2)如图2，若∠A＝α，求∠ACD的度数(用含α的代数式表示). 【拓展提升】(3)在图2中，猜想BD与AE的数量关系，并给出证明. 图1　 图2 第13题图 解:(1)∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°. ∵∠CDE＝∠B＝60°， ∴∠ACD＝90°－60°＝30°. (2)∵AB＝AC，∠A＝α， ∴∠B＝∠ACB＝＝90°－. ∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°. ∵∠CDE＝∠B＝90°－， ∴∠ACD＝90°－(90°－)＝. (3)BD＝2AE.证明如下: 如答图，在EC上截EF＝AE，连结DF，则∠DFA＝∠A＝α. 第13题答图 由(2)知∠ACD＝， ∴∠FDC＝∠FCD＝， ∴CF＝DF＝AD. 又∵AB＝AC， ∴BD＝AF＝2AE. 14.如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在直线BC上，且DE＝EC.探究AE与DB长度的大小关系. 第14题图 (1)特殊情况，探索结论: 当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB长度的大小关系，请你直接写出结论:AE　＝　DB(填“＞”“＜”或“＝”).  (2)特例启发，解答题目: 解:题目中，AE与DB长度的大小关系:AE　＝　DB(填“＞”“＜”或“＝”).  理由:如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F……(请你补充完成解答过程). (3)拓展结论，设计新题: 若△ABC的边长为10，AE＝2，求CD的长. 解:(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 又∵E为AB的中点， ∴∠BCE＝∠ACB＝30°，AE＝BE. 又∵DE＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°. ∵∠ABC＝∠D＋∠BED， ∴∠BED＝30°＝∠D， ∴BE＝DB，∴AE＝DB. (2)补充解答过程如下: ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠DBE＝120°. ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠DCE， ∴△AEF是等边三角形，∠EFC＝120°＝∠DBE， ∴AE＝EF＝AF，∴BE＝CF. ∵DE＝EC，∴∠D＝∠DCE， ∴∠FEC＝∠D. 在△EFC和△DBE中， ∵ ∴△EFC≌△DBE(AAS)，∴EF＝DB， ∴AE＝DB. (3)∵△ABC的边长为10，AE＝2， ∴BC＝10，DB＝AE＝2， ∴CD＝DB＋BC＝12. 学科网（北京）股份有限公司 $$