精品解析：江苏省南京市玄武外国语学校、科利华中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年江苏省南京市玄武外国语学校、科利华中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解为（    ） A B. C. ， D. ， 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 3. 某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 18 ▂ ▂ 由于表格污损，15岁、16岁的人数不清楚，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 4. 如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（    ） A. B. 5 C. D. 6 6. 在平面直角坐标系中，二次函数，的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 如果，那么______． 8. 已知线段，点是线段的黄金分割点，那么较长线段________． 9. 已知m，n是方程的两根，则的值为______． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 11. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 12. 若点，在二次函数为常数，且的图象上，则a ______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是______． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点．若，则的半径为______． 15. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 m 4 … y … 2 … 若，则a的取值范围为______． 16. 如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①______ ②______ B 72 ③______ 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 19 九华山公园有A、B、C三个入口，甲、乙两人各自随机选择一个入口进入公园游玩． （1）甲选择A入口概率为______； （2）求甲、乙选择相同入口的概率． 20. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 0 3 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为______； （3）将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为______． 21. 如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 22. 如图，古城墙进出口的道闸杆水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离，与另一端点B之间的距离．道闸杆绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点时，测得点到的距离为，此时，点到的距离是多少？ 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 24. 如图，在中，点D在上，，点E，F分别在，上，． （1）求证∽； （2）若，，，，则______． 25. 如图，在中，是边上高，经过点，的与边，，分别交于点，，，连接，，且． （1）求证； （2）若的半径为，，，求的长． 26. 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年江苏省南京市玄武外国语学校、科利华中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解为（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 【详解】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3. 某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 5 18 ▂ ▂ 由于表格污损，15岁、16岁的人数不清楚，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ） A. 平均数、众数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据有40位同学，而13、14岁的共5+18=23位同学，可得众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵共有40位同学，13、14岁的共5+18=23位同学，14岁的占18位同学， ∴14为众数， ∴第20个数和第21个数都是14， ∴数据的中位数为14． 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数与方差，解题的关键是熟知它们的定义． 4. 如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：，， ，，，， ，，， ， ， 故选：. 5. 如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（    ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，作于点F，由直线l与相切于点C，得，可证明四边形是矩形，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， 直线l与相切于点C，于点D， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 的长为6， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数，的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据函数图象的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图象知，，，，， ， ， 函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， 只有选项A符合题意， 故选：A 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， 则 故答案为： 8. 已知线段，点是线段的黄金分割点，那么较长线段________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，解决本题的关键是根据黄金分割的定义找到线段之间的比例关系，根据比例关系求出的长度． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 又 ， ， 故答案为：． 9. 已知m，n是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，判断出，，利用整体代入的思想求解． 【详解】解：，n是方程的两根， ，， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到 故答案为： 11. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12. 若点，在二次函数为常数，且的图象上，则a ______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后比较两个点离对称轴的远近得到a、b的大小关系． 【详解】解：为常数，且 开口向上，对称轴为直线， 点，在二次函数为常数，且的图象上，且， ， 故答案：． 13. 如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点．若，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，连接，设的半径是R，依题意得，则，，进而得，再根据得，由此可求出，则，然后在中，由勾股定理即可求出半径R的长． 【详解】解：连接，设的半径是R，如图所示：   点B是的中点，是的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 即的半径为， 故答案为： 15. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 m 4 … y … 2 … 若，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性与函数表达式的求解，熟练掌握二次函数的对称性质、通过代入点坐标建立方程求解参数是解题的关键．先根据二次函数的对称性确定对称轴，再代入已知点求出函数表达式，结合求解的范围． 【详解】解：∵ 当和时，， ∴ 二次函数的对称轴为， ∵ 对称轴为，时， ∴ 函数表达式可设为 代入，得，即 ①， 代入，得 ②， 得：， 即， ∴， 令， ∵ ， ∴当时，最小值为；当或时，， ∴ ， ∵ ，为负， ∴ ，即， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，． 18. 为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①______ ②______ B 72 ③______ 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）款，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数、方差的定义． （1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， 则其众数72， 方差为， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为， 故填空如下： 平均数 中位数 众数 方差 A 70 ①72 ②17.8 B 72 ③71 69 14 【小问2详解】 解：B款无人机运行时间更有优势， 款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， 款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 19. 九华山公园有A、B、C三个入口，甲、乙两人各自随机选择一个入口进入公园游玩． （1）甲选择A入口的概率为______； （2）求甲、乙选择相同入口的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择A入口的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙选择相同入口的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择A入口的结果有1种， 甲选择A入口的概率为 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙选择相同入口的结果有3种， 甲、乙选择相同入口的概率为 20. 已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 0 3 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为______； （3）将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）利用抛物线解析式求出开口方向和对称轴，再根据函数的增减性解答即可； （3）将该函数图象沿x轴翻折，只是改变了开口方向，抛物线的形状和开口大小没有改变，即可得到翻折后的解析式． 本题考查了二次函数图象性质与几何变换，待定系数法求出抛物线解析式，熟练掌握二次函数性质是关键． 【小问1详解】 解：依题意，将表格中三组数据代入， 得， 解得， 二次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：由二次函数的表达式为， 可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，时，， 当时，； 当时，， 当时，y的取值范围为 故答案为： 【小问3详解】 解：依题意，， 将该函数图象沿x轴翻折， 所得新图象的函数表达式为， 即 故答案为： 21. 如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理进行解答即可． 【详解】证明：连接， 是弦，C是的中点， ，， ， ， 是的切线， ， ， 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理，掌握切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 22. 如图，古城墙进出口的道闸杆水平放置时，与地面l平行．支撑点O与端点A之间的距离，与另一端点B之间的距离．道闸杆绕着支撑点O旋转，当点A旋转到点时，测得点到的距离为，此时，点到的距离是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意得，，，，再根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，于点M，于点N， 根据题意得，，，， ，， ， ， ， 即， ， 即点到的距离是 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，不等式的解法，掌握一元二次方程的根与抛物线与x轴交点的关系是解题的关键． （1）证明便可； （2）把，两点代入，然后整理、化简，最后解不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点； 【小问2详解】 解：把，两点代入得： ， ， ， ， ∴， ∴或 解得：或 故答案为：或． 24. 如图，中，点D在上，，点E，F分别在，上，． （1）求证∽； （2）若，，，，则______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过证明∽，可得，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 又 ； 【小问2详解】 解：∵， ， ，，， ， ，， ， ∵ ， ， ， ∴， 故答案为： 25. 如图，在中，是边上的高，经过点，的与边，，分别交于点，，，连接，，且． （1）求证； （2）若的半径为，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由是边上的高，得，则，，由，得，所以，由，，得，即可证明∽； （2）连接，则是的直径，所以，因为的半径为5，，，所以，，再证明，得，求得，所以，，则，由，求得，则 【小问1详解】 证明：是边上的高， 于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ， 是的直径， ， 的半径为，，， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是 26. 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用n表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式． （1）易得缆索所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）①把点A、D的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得b和c的值； ②两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，用n表示出w，进而根据二次函数的性质可得n为何值时w最小． 【小问1详解】 解：根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①缆索所在抛物线经过点和， ∴， 解得：； ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，w最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析，② 【解析】 【分析】（1）作，与交于点E，点E即所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， 解：①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间的距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $