第一章 有理数 课件2024-2025学年人教版数学七年级上学期

第一章 有理数 1.1 正数和负数 学习目标 1.了解正数与负数是从实际需要中产生的. 2.理解正数、 负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法. 3.会用正数、负数表示具有相反意义的量. 由分物、测量，产生分数 1, 由表示“没有”“空位”,产生数0 由记数、排序，产生数1,2,3, … 探究新知 【思考】根据实际生活的需要，人们引进了另一种数，你知道是 什么数吗?结合你在实际生活中接触到的数，试举例. 探究新知 正数、负数的定义 知识点1 电梯楼层按钮 3 2 5 4 1 -1 探究新知 新闻报道：某年，我国花生产量比上年增长1.8%,油菜籽 产量比上年增长-2.7%. 探究新知 问题1: 说一说上面用到的各数的含义. (1)天气预报中的3,电梯按钮中的1～5,新闻报道中的 1.8% ; (2)天气预报中的-3,电梯按钮中的-1,新闻报道中的 -2.7%. 问题2: 上面这两类数，分别属于什么数? 探究新知 像1、2、3、1.8%等这样大于0的数叫做正数。 像-3,-1,-2.7%等这样在正数前面加上符号-” (负号)的数叫做负数。 探究新知 有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也 加上“+” (正)号，如+3,+1.8%,+0.5.…. 一般情况下我们省略“+”不写. 0既不是正数，也不是负数. 探究新知 素养考点 正数和负数的识别 例 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里： 11, 6 。 +73 -2.7 -3,4.8+ 7 -11, -2.7, -3 正数 负数 -1, 2.5, 十 120, -1.732, 读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数. 巩固练习 0, -3.14 4 3 【想一想】 1 .正数有什么特点? 2.负数有什么特点? 探究新知 探究新知 知识点2 用正数、负数表示具有相反意义的量 你会用正数、负数来 表示它们吗? 蔬菜店购进黄瓜50kg, 蔬菜店售出 黄瓜2kg. 它们都表示相反的意义. 例1 一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正数、 负数表示它们的运动. (1)如果向东运动4m记作+4m, 那么向西运动5m记作 -5m_ . (2)如果-7m表示物体向西运动7m, 那么+6m表明物 利用正数、负数表示相反意义的量 探究新知 体向东运动6m . 巩固练习 完成下列各题： (1)如果零上5°C 记作+5°C, 那么零下3°C 记作什么? 记作-3°C. (2 )东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西 运动4米，那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么? +2米表示一个物体向东运动2米； 物体原地不动记为0米. 探究新知 例2 (1) 一个月内，小明体重增加2kg, 小华体重减少1kg, 小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值； 解 ：这个月小明体重增长2kg, 小华体重增长-1kg , 小强体重增长0kg. 探究新知 例2 ( 2)某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况 是： 美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%, 意大利增长0.2%,中国增长7.5%. 写出这些国家该年商品进出口总额的增长率. 解：六个国家该年商品出口总额的增长率： 美国 -6.4% , 德国 1.3% , 法国-2.4% , 英国 -3.5% , 意 大 利 0.2% , 中 国 7.5%. 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的 量具有 相反 的意义. 探究新知 归纳总结 探究新知 归纳总结 根据相反意义合理使用正数、负数对实际问题进 行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增 加、收 入等规定为正，把它们的相反意义规定为负 . 某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨，那么运出3.8吨应 记作什么? 记作-3.8吨 . 巩固练习 探究新知 下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平 面的高度关系吗?它的含义是什么? 记为±8848.86m _ _ 8848.86m 高度看作0米 155m 海平面 吐鲁番盆地 记为-155 m 珠穆朗玛峰 探究新知 知识点3 0的意义及用正负数表示相对基准量 0可以用来表示基准， 一般地， 高于基准的量用正数表示， 低于基准的量用负数表示. 【思考】0只表示没有吗? 探究新知 0是正负数的分界点.它不再简简单单地只表示没有，它 具有丰富的意义，如： 1.空罐中的金币数量； 2.温度中的0℃; 3.标准水位； 4.身高比较的基准； ●●●●●● 探究新知 素养考点 利用基准数解决实际问题 例 里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187公分， 如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为 负数，有5名队员分别记为+10,-5,0,+7,-2,则她们的实 际身高应是 197公分、182公分、187公分、194公分、185公分. 方法总结：解题时一定要先弄清“基准”,再还原数据. 巩固练习 下列语句正确的是 ( C ) A.0℃ 表示没有温度 B.0 表示什么也没有 C.0是非正数 D.0 既可以看作是正数又可 以看作是负数 解释图中的正数和负数的含义 10℃表示白天温度为零上10℃ -5℃表示晚上温度为零下5℃ 它们以什么为基准? 0℃ 10℃ 20 10 0- -18 -5℃ SVlr AIA * 巩固练习 昂界叫 -0 10 名古 巩固练习 下面是某存折中记录的支出、存入信息，试着说说其中 “支出或存入”那一栏的数字表示什么含义. 存折中的正数表示存入， 反之，负数表示支出. 1.下列说法，正确的是 ( C ) A. 加正号的数是正数，加负号的数是负数 B.0 是最小的正数 C. 字母a既可是正数，也可是负数，也可是0 D.任意一个数，不是正数就是负数 当堂训练 2.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是 ( D ) A.运进货物3吨与运出货物2吨 B.升温3℃与降温3℃ C.增加货物100吨与减少货物2000吨 D.胜3局与亏本400元 当堂训练 当堂训练 3.如果向东走2m记为+2m, 则向西走3m可记为 ( C ) A.+3m B.+2m C. -3m D. -2m 4.如果温度上升10℃记作+10℃,那么温度下降5℃记作 ( D) A.+10℃ B. -10℃ C.+5℃ D. -5℃ 某银行一天内接待了四笔大业务，存款40000元，取款25000 元，存款30万元，取款7万元.若存款为正，请你用正、 负数 表示这四笔款项. +40000元，-25000元，+300000元， -70000元。 当堂训练 正数和负数的定义 0的意义不仅是表示“没有”,还是正 数和负数的分界. 课堂小结 概念 正 数 、 在具体的问题情境中，明确正数和负数代表的实 际 意义. 正数和负数表示实际问题中的具有相反意义的量. 0、 负数 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的概念 学习目标 1.了 解有理数的定义. 2.会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数. 3.知道有理数的两种分类方法. 的最高气温为6℃,最低气温达到-10℃,平均气温是0℃,而 同一天北京的气温为-3℃~7℃. 问题1: 这里面出现的数是什么数? 6,7是正数； -10,-3是负数； 某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地 0既不是正数也不是负数. 探究新知 知识点1 有理数的概念 探究新知 问题2: 目前我们所学的小数有哪几类? 有限小数，无限循环小数，无限不循环小数. 问题3: 0 .1,-0.5,5.32,-15,0.2,0.3又是什么数? 小学：小数 初中：统归为分数 它们都可以化为分数： 0. 探究新知 我们以前学过的数，像1,2,3… . …称为正整数； 35 ……称为正分数 . - 1,-2,-3 … .称为负整数； 3, … 称 为负分数 . 特别提示：零既不是正数，也不是负数. 有理数 分数 整数 0 整数 分数 正数 负数 有理数 2017 √ √ √ 4 一 3 √ √ √ -4.9 √ √ √ 0 √ √ -12 √ √ √ 探究新知 判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“ √ ”. 探究新知 知识点2 有理数的分类 你能根据有理数的定义对有理数分类吗? 探究新知 有理数 正整数 零 负整数 整数 分数 正分数 负分数 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数. 无限不循环小数 (如π)不是分数，就不是有理数. 学了有理数的分类后，有没有一些数不是有理数呢? 探究新知 探究总结 质疑探索 探究新知 有理数分类的几点注意： 1. 如 ,200 能约分成整数的数丕 能(填“能”或“不能”) 算做分数； 2.无限不循环小数不是有理数，如π; 3.整数中除了正整数和负整数，还有 0 . 有理数还有其他的分类方法吗? 探究新知 有理数按符号(正、负)分类如下： 正整数 正分数 负整数 负分数 正有理数 零 负有理数 有理数 注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 探究新知 探究新知 填一填 (1)既是分数又是负数的数是_ 负分数 ； (2)非负数包括__ 正数__和__ 0__; (3)非正数包括__ 负数__和__ 0 ___; 探究新知 填一填 (4)非负整数包括_ 正整数 _和_ 0__; 又称为 自 然 数 ; (5)非负分数包括_ _ 整数 _ 和 _正 分 数； (6)非正分数包括__ 整数__ 和_负 分 数。 探究新知 素养考点1 有理数分类的能力 例1下列说法： ①0是整数； ②~是负分数； ③4.2不是正数； ④自然数一定是正数； ⑤负分数一定是负有理数. 其中正确的有 ( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 如果一个数不是负数，那么这数可能是 正数或零 . 如果一个数不是正数，那么这个数可能是_负数或零 . B.是整数，但不是自然数 D.不是整数，但是有理数 A. 是正数，也是有理数 C.不是正数，但是自然数 下面关于“O”的说法正确的是 ( C ) 巩固练习 探究新知 归纳总结 ◆小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“ 一 ” 号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正 数、负数的界限. ◆有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成 两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类. 探究新知 素 养 考点 ② 把有理数按要求分类 例2把下列各数填在相应的集合中： 正数 负数集合：{ 分数集合：{ 整数集合：{ 4,π,+2.12,+300%, -3, -0.65, -0.6 … 马 +2.120-0.65+300%-0.60". -3,0,4,+300%… · }; }; }; , 例2把下列各数填在相应的集合中： ,4马+2.120-0.65p+300%1. 非负有理数集合： ,0,4,+2.12 有理数集合：{-3,,0,4,+2.12,- d 探究新知 素 养 考 点② 把有理数按要求分类 易错提醒 像+300%这种可以 先化简成整数的数是 整数不是分数； 2. π大于0是正数不是 正有理数. 巩固练习 ① 0__ 是 __整数，0___是__ 有理数； ② -5 _ 是_ _整数， -5_是_ _有理数； ③ -0.3_是 负分数，-0.3_是_ 有理数。 基础巩固 题 1.下列说法中，正确的是 ( B ) A. 正整数、负整数统称为整数 B. 正分数、负分数统称为分数 C. 零既可以是正整数，也可以是负整数 D. 一个有理数不是正数就是负数 当堂训练 当堂训练 2.下列各数： -2, ,0.63,0,7,-0.05,-6,9, ,5. 其中正数有 6 个，负数有 4 个，正分数有 3个， 负分数有 2 个， 自然数有 4 个，整数有 6 个 . 当堂训练 3.判 断 ： (1)0是整数 . ( √ ) (2)自然数一定是整数. ( √ ) (3)0一定是正整数. ( × ) (4)整数一定是自然数. ( × ) 当堂训练 4. 填空： (1)有理数中，是整数而不是正数的是 负整数和0 ; 是负数而不是分数的是 负 整 数 (2)零是 有理数 , 还 是 整数 ,但不是 正数，也不 是负 数 . ● 某中学对九年级男生进行引体向上的测试，以能做10个为标 准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中 8名男生的成绩如下：+2,-5,0,-2,+4,-1,-1,+3. (1)达到标准的男生占百分之几? (2)他们共做了多少个引体向上? 当堂训练 当堂训练 解： (1) ,达到标准的男生占50% . (2)2 - 5+0 - 2+4 - 1 - 1+3+8×10=80(个),他们 共做了80个引体向上. 课堂小结 1.到现在为止，我们学过的数(π除外)都是有理数. 2.有理数的分类 3.注意0的特殊性，分类时不要遗漏0 . 正整数 0 负整数 正分数 负分数 整数 分数 正整数 正分数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 有理数 有理数 0 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 数轴 学习目标 1. 掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系 . 2.会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数. 3.会利用数轴比较有理数的大小，了解数形结合的思想. 导入新课 请读出下面温度计所表示的温度： 5 一支温度计能够主观地读出温度的大小，其温度值有 正数、0、负数，那么从外观上看，温度计具有哪些不 可缺少的特征呢? 导入新课 问题1: 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东 3m 和7.5m 处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西侧3m 和4.8m 处分 别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 4.8 3 3 7.5 探究新知 知识点1 数轴的概念 探究新知 干 4.8 3 0 图中没有表示 出来东西方向， 那我们怎样表示 出东西方向呢? 3 7.5 东西方向可以用前面 我们学过的相反意义的 量来表示. 探究新知 【思考】怎样简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对 位置关系(方向、距离)? 为了使表达更清楚，我们规定向东为正，把汽车站牌左右两边的 数分别用负数和正数表示. 这样，我们就用负 数、0 、正数表示出了一条直线上的点. 探究新知 问题2: 观察右图的温度计，回答下列问题： (1)点A表示多少摄氏度?点B呢 ? 点C呢? (2)温度计刻度的正负是怎样规定的?以什么 为基准? (3)每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么 特点? 活动：把温度计平放，我们能从中发现什么? 台 。 吉 8 口 古 留 5 山 U 六 心 古 零下 0 零上 分刻度 【思考】你能借鉴温度计，用一条直线上的点表示有理数吗? 探究新知 画一条水平直线，在直线上取一点表示0,并把这个点 叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向 右的方向为正方向，就得到下面的数轴. 类比归纳 探究新知 探究新知 数轴的画法： 1.画一条水平直线，定原点(如图),原点表示0. 2.规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左) 则为负方向. 3.选择适当的长度为单位长度. 四单位 上 -3 -2 -1 三方向 0 一画 0 二 定 0 1 2 3 ② ③ ① 探究新知 【试 一试】判断下面所画数轴是否正确，并说明理由. ① 1 错 2. -1 ① 立 错 3. -2-112 错 4. ① 错 5. -1 ① 1 2 错 6. - 立 1 2错 7.主 1 - 2错 8. i2 对 原点、正方向、单位长度一个也不能少. 画数轴注意事项： (1)原 点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示， 一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 探究新知 归纳总结 巩固练习 下列各图表示的数轴是否正确?为什么? LLLL -1-2 -3-4 -5 0 1 2 3 45 6 L L L L L -300 -200 -100 0 100 200 LLLLL LLLLL LL -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) (2) (3) (A) 4) L L LL -4 -3-2 -1 0 1 X √ L 3 X L 2 4 1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的 右边，由此你有什么发现? 2.每个数到原点的距离是多少?由此你又有什么发现? 3.如何用数轴上的点来表示分数或小数，如1.5,3……? 在数轴上表示有理数 探究新知 知识点2 【 思考 】 0 探究新知 素 养 考点① 对给出的有理数在数轴上指出其所对应的点 例1 在所给数轴上画出表示下列各数的点. 解： 注意：①在数轴上用实心圆点表示所要表示的数； ②把点标在线上； ③把数标在点的上方，以便观看. 探究新知 1.5,-2,2,-2.5,9,-3,0. -2.5-2 4 0 1.52 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 巩固练习 画出数轴并表示下列有理数： 5 9 2 探究新知 归纳总结 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的 右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a的点在原点的 左 边，与原点的距离是 a 个单位长 度.数轴上与原点的距离是a 个单位长度的点，简称为 数轴上与原点的距离是a的点. 探究新知 素 养 考点② 指出数轴上的点表示的数 例2 在下面数轴上， A 、B 、C 、D 各点分别表示什么数? D C B A 2 解：( 1)A点表示2; (2) B 点表示0.25; (3)C 点表示-0.75; (4)D 点表示-1.5 2 巩固练习 请写出数轴上点A 、B 、C 、D 、E 所表示的数： 解 ：点A表 示 0 ; 点B 表示 -2 ; 点C 表示1 ; 点 D 表示 2.5; 点E 表 示 -3 . 巩固练习 数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是 一个_ 负__数；如果表示数的点在原点的右边， 那么是一个_正 _ 数 . 探究新知 素 养 考点③ 指出数轴上的点移动后表示的数 例3从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B , 则点B 表示的数是 -3 ,再向右移动5个单位长度到达点C, 则 点C表示的数是 2 . 探究新知 解析：如图， B.左移2个 -3 210 12 右移5个 3 巩固练习 点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位 长度到点B 时，点B 所表示的数为( C ) A.2 B.-6 C.2或-6 D. 不同于以上 分析：点A 可能向左移，也可能向右移，所以需分情况讨论. 1. 下列说法中正确的是( C ) A. 在数轴上的点表示的数不是正数就是负数 B.数轴的长度是有限的 C. 一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点 D. 所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定 能找到表示它的点 当堂训练 2.与原点距离是2.5个单位长度的点所表示的有理数是( C ) A.2.5 B.-2.5 C.±2.5 D. 这个数无法确定 3. 在数轴上表示数6的点在原点 右 侧， 到原点的距离是 6 个单位长度，表示数-8的点在原点的 左 侧，到原点 的距离是8 个单位长度.表示数6的点 到表示数-8的点的距离是 14 个单位长度. 当堂训练 4.在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为 -10或6 5. 如图，写出数轴上点A 、B 、C 、D 、E 表示的数. 解：点A、B、C、D、E 表示的数分别是0,-2,1, 2.5,-3. 当堂训练 ● 如图，已知A 、B两点在数轴上，点A表示的数为- 10,OB=3OA, 点 M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动 . 点N以每秒2个单位长度 的速度从点O 向右运动(点M、 点N 同时出发) A 0 B (1)数轴上点B对应的数是 30 ● -10 0 (2)经过几秒，点M 、点N分别到原点O的距离相等? 当堂训练 解：(1)∵ OB=3OA=30, ∴B 对应的数是30. (2)设经过x秒，点M 、点N分别到原点O的距离相等，此时点M对 应的数为3x-10, 点N对应的数为2x. ①当点M 、点N在点O两侧时，则10-3x=2x, 解得x=2; ②当点M、 点N 重合时，则3x-10=2x, 解得x=10. 所以经过2秒或10秒，点M、 点N 分别到原点O的距离相等. 当堂训练 一般地，在数学中人们用画图把数“直观化”, 用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴； 有理数 数轴上的点 转 化 (数) (形) 原点、正方向、单位长度； 对应的关系； 数轴的三要素 数与形的关系 课堂小结 概念 数学思想 数形结合的思想. 数轴 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.3 相反数 学习目标 1.掌握相反数的概念，理解它所包含的两种含义. 2.会求一个数的相反数，理解互为相反数的两个数在 数轴上的位置关系. 3.理解和掌握双重符号的化简规律. 导入新课 成语故事“南辕北辙”讲了一个人 ….. … 如果点0表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，假设楚 国与魏国相距30 km, 以魏国为原点0,我们规定向南为正方 向，而此人从魏国出发向北到点B 也走了30 km, 请同学们把 这3个点在数轴上表示出来. 现在的位置 魏国 B 0 -30-20-10 0 10 20 楚国 A 30 导入新课 两位同学背靠背站好(分左右),规定向右为正，以 两位同学未走时的位置为原点，两人各自向前走3步，则： 位置，记作+3 位置，记作 -3 . -1 0 1 2 3 4 你还能说出具备这些 特征的成对的数吗? 对照数轴，说出-3与+3两数的相同点和不同点. 探究新知 知识点1 相反数 5 探究一 相反数的概念 活动1: 观察下列一组数+1和-1,+2.5和-2.5,+4 和-4,并把它们在数轴上表示出来. 2.请写出一组具有上述特点的数. 3.表示各对数的点在数轴上有什么位置关系? 【思考】1 .上述各对数之间有什么特点? 探究新知 探究新知 活动2: 请观察下面这两个数，它们有什么异同点? 你还能列举两个这样的数吗? 符号不同 +2.5 2.5 数字相同 2. 一般地，a 和-a互为相反数.特别地，0的 相反数是0,这里， a表示任意一个数，可 以是正数、负 数，也可以是0. 1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 归纳总结 探究新知 探究新知 素 养 考点① 指出有理数的相反数 例1写出下列各数的相反数. 1 9, -0.3, -2, -9 0.3 山 2 4 1 3 判断题： (1)-5是5的相反数；( √) (2)-5是相反数； ( × ) 反数是成对出现的，不能单独存 (3)-5与互为相反数； ( ×) 勿将相反数与倒数相混淆 (4)-5和5互为相反数；( √ ) (5)相反数等于它本身的数只有0;( √ ) (6)符号不同的两个数互为相反数. (×) 缺少“只有” 在 相 巩固练习 巩固练习 结合数轴考虑： 0的相反数是 0 _ . 一个正数的相反数是一个 负 数。 一个负数的相反数是一个 正 数. 探究新知 探究二 相反数的几何意义 【思考】在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观察 这两个点具有怎样的特征. -5 -a -10 1 a 5 位于原点两侧，且与原点的距离相等. 探究新知 【思考】数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什么特点? 借助数轴填一填： 1.数轴上与原点距离是2的点有两 个 ， 这些点表示的数是 2 和-2 ; 2.与原点的距离是5的点有 两 个， 这些点表示的数是 5和-5 -5 -2 0 2 . 5 1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等. 3. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距 离是a的点有两个，它们分别在原点的左右，表 示a和-a, 我们说这两点关于原点对称. 探究新知 归纳总结 探究新知 素 养 考点② 相反数的意义 例2 分别写出 ,, 2.5的相反数，并在数轴上标出各数及 它们的相反数，说明各对数在数轴上的位置特点. 分析：在所求数的前面添上“-”号，即得原数的相反数→ 在数轴上表示出各数 →观察各对数在数轴上的位置 → 结论. 探究新知 解： 2的相反数是. 的相反数是 的相反数是 ; -2.5的相反数是2.5 .把这些数及它们的相反数表示在数 轴上为 2和 2,和 ,- 2.5和2.5,各对数在数轴上分别位于 原点两侧，且到原点的距离相等，即在数轴上表示每对数的点都 关于原点对称. 方法总结 求相反数的方法 1.在原数的前面加“-”号后，再进行符号化简. 2.复杂的数在求相反数前，可先进行符号化简， 然后再变号. 探究新知 如果a=-a, 那么表示a的点在数轴上的位置是 在( D ) A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点上或原点右侧 D.原点上 解析：a =-a 表示a与它的相反数-a相等，因为只有0的相反 数等于它本身. 巩固练习 探究新知 知识点2 多重符号的化简 问题1: a的相反数是什么? a的相反数是-a,a 可表示任意有理数. 问题2: 如何求一个数的相反数? 在这个数前加一个“ ”号. 探究新知 问题3: 若把a分别换成+5,- 7,0时，这些数的 相反数怎样表示? -(+1.1)表示什么?-(-7)呢?-(-9.8)呢? -1.1 7 9.8 -a=-(+5) -a=-(-7) -a =0 a =+5, a =-7, a =0, 探究新知 归纳总结 1.在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数. 2.若a 与b互为相反数，则a+b=0(或a=-b); 反之，若 a+b=0(或a=-b), 则a与b互为相反数. 【思考】如果在一个数前面加上“+”号所得到的结果 是什么呢? 素养考点 多重符号的化简问题 例化简下列各数(先读后写)。 (1)-(+10) (2)+(-0.15) O (3)+(+3) (4)-(-12) (5)+[-(-1.1)] (6)-[+(-7)] (2)+(-0.15)=-0.15; (4)-(-12)=12; (6)-[+(-7)]=-(-7)=7. 解：(1)-(+10)=-10; (3)+(+3)=3; 探究新知 (5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1; 由内向外依 次去括号. 1.式子中含偶数个“-”号时，结果正； 含奇数个“-”号时，结果为负. 2.凡是“+”都去掉. 方法总结 “一查二定” 探究新知 (1)-(+4)是_+4 的相反数， - (+4)= -4 (2) 的相反数 (3)-(-7.1)是_-7.1 _ 的相反数，{7 . 1]= 7 .1 _ _. (4)-(-100)是_-100 _ 的相反数， - (-100)=_100 _。 巩固练习 填一填： 1. -1.6是 1.6 的相反数，-0.3 的相反数是0.3. 2. 下列几对数中互为相反数的一对为 ( C ) A.+(-8) 和-(+8) B.-(+8) 与+(-8) C.-(-8) 与-(+8) 3. 5的相反数是 -5 ;a 的相反数是 -a ; 当堂训练 4. 若a=-13, 则-a= 13 _;若-a=-6, 则a= 6 5. 若a 是负数，则-a 是 正 数；若-a 是负数，则 a是 正 数 . 6. 的相反数是 ,-3x 的相反数是3x 2 — 当堂训练 X ● 当堂训练 (1)若a=3.2, 则 -a= -3.2 (2)若-a=2, 则a= -2 ; (3)若-(-a)=3, 则-a= -3 (4)-(a-b)=b-a ● 若2x+1是-9的相反数，求x的值. 解：由相反数的意义，得 2x+1=9 2x=8 x=4 当堂训练 课堂小结 通过本课时的学习，需要我们掌握： 只有符号不同的两个数叫做互为 相反数；特别地，0的相反数是0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点， 位于原点两侧，且到原点距离相等. 在数轴上 字母表示 -a 表示a的相反数. 概念 相反数 代数意义 几何意义 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.4 绝对值 学习目标 1.理解绝对值的概念及其几何意义. 2.会求一个数(不涉及字母)的绝对值. 3.会求绝对值已知的数. 4.了解绝对值的非负性，并能用其非负性解决相关问题. 导入新课 两辆汽车从同一处0出发分别向东、西方向行驶10km, 到 (2)它们行驶路程的距离(线段OA 、OB的长度)相同吗? (1)它们的行驶路线的方向相同吗? 不 相 同 达A、B两处. 相同 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向 东行驶的里程数为正，两辆出租车都从O地出发，甲车向 东行驶10km到达A处，记作+10km, 乙车向西行驶10km 到达B处，记做-10km. 绝对值的概念及求法 探究新知 知识点1 探究新知 以O 为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴 上标出A 、B 的位置，则A 、B 两点与原点距离分别是多 少?它们的实际意义是什么? B -10 A 10 0 0 探究新知 绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离 叫做数a 的 绝 对 值， 记 作 “la|”。 0到原点的距离是0,所以 0的绝对值是0,记作 10I=0. I+4|=4 4到原点的距离是4,所 以4的绝对值是4,记作 |4|=4 例如，下图所示： -5到原点的距离是5, 所以-5的绝对值是5, 记作|-5|=5. |-5|=5 -1 探究新知 探究新知 【试一试】利用数轴上点到原点的距离回答： 0 0 L -3 0 -4.5 0 01 5|= 3.5|= -3|= -4.5|= 0|= 5 3.5 3 4.5 0 | | | | | 3.5 5 |5|=5 |100|=100 |-10|=10 |-3|=3 |3.5|=3.5 |50|=50 |-4.5|=4.5 |-5000|=5000 |0|=0 观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点? 探究新知 知识点2 绝对值的性质 探究新知 【思考】 一个正数的绝对值是什么? 一个负数的绝对值是什么? 0的绝对值是什么? 结论1: 一个正数的绝对值是正数. 一个负数的绝对值是正数. 0的绝对值是0. 任何一个有理数的绝对值都是非负数! 结论2: 一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. a|≥0 探究新知 探究新知 【思考】字母a 表示一个有理数，你知道a的绝对值等于 什么吗? (1)当a是正数时， Ial=_ (2)当a是负 数时 ，Ia l=- (3)当a= 0时 ，Ia|= 0 a ; a ; . 探究新知 绝对值的判断法则： 探究新知 【思考】相反数、绝对值的联系是什么? 互为相反数的两个数的绝对值相等. 绝对值相等 l+5l=5 1-51=5 互为相反数，符号相反 绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 探究新知 素 养 考点① 求已知数的绝对值 例1求下列各数的绝对值。 12, -7.5, 0. 解： |12|=12; 正数的绝对值等于它本身. |-7.5|=7.5; |0|=0. 负数的绝对值等于它的相反数. 0的绝对值是0. 判断该数是正数、负数还是0 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值 是它的相反数，0的绝对值是0 方法总结 求一个数的绝对值的步骤 判断 依据 结论 探究新知 求解确定答案 判断下列说法是否正确。 (1)一个数的绝对值是4,则这数是-4. X 漏了4 (2) |3|>0. (3) |-1.3|>0. (4)有理数的绝对值一定是正数. X 0的绝对值是0 (5)若a=-b, 则|a|=|b|. √ (6)若|a|=|b|, 则a=b. X -b也可能互为相反数，即 (7)若|a|=-a, 则a 必为负数. X a也可能是0 (8)互为相反数的两个数的绝对值相等. 巩固练习 巩固练习 求下列各数的绝对值： -18, 0, 7.2, 解： -18|18 |0|, |7.2|=7.2, 4 9 4 9 · 1 2 十 2 素 养 考点② 已知绝对值求原数 填一填： (1)绝对值等于0的数是0 , (2)绝对值等于5.25的正数是 5.25, (3)绝对值等于5.25的负数是 -5.25 , (4)绝对值等于2的数是 2 或 - 2. 探究新知 例2 易错提醒：注意绝对值等于某个正数的数有两个，它们互为 相反数，解题时不要遗漏负值. 探究新知 绝对值的性质 (1)任何有理数都有绝对值，且只有一个. (2)由绝对值的几何定义可知，数的绝对值是两点间的距离，因此，任 何一个数的绝对值都是非负数；在数轴上，一个数离原点的越近，绝 对值越小，离原点越远，绝对值越大. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等 . (4)绝对值相等的两个数相等或互为相反数. 探究新知 归纳总结 解析：|x|=5, 即数x到原点的距离是5,而到原点 的距离是5的数有5和-5,所以x的值是5和-5. 若|x|=5, 则x 的值是( C ) A.5 B.-5 C.±5 巩固练习 口 探究新知 素 养 考点③ 利用绝对值求字母的值 例3 已知|x-4|+ly-3|=0,求x+y的值. 分析：一个数的绝对值总是大于或等于0,即为非负数， 如果两个非负数的和为0,那么这两个数同时为0. 探究新知 素养考点③ 利用绝对值求字母的值 例 3 已知 |x-4I+lv-3|=0,求x+y 的值。 解：根据题意可知 x-4=0 , y-3=0 , 所以x=4,y=3, 故x+y=7 . 归纳总结： 几个非负数的和为0,则这几个数都为0. 解：由绝对值的非负性得|x-6|≥0,ly-3|≥0, 所以|x-6|=0,ly-3|=0, 已知 |x-6l+ly-3|=0,求 巩固练习 的值 . 1.判断并改错： (1)一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数. (× ) (2)一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数.( X ) (3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等. ( × ) (4)如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值一定不等. (× ) (5)有理数的绝对值一定是非负数. ( √ ) 当堂训练 2. 0_ 的相反数是它本身， 非负数 的绝对值是它本身， 非正数 的绝对值是它的相反数. 3. 相反数 若|a■2, 则 4.求下列各数的绝对值：3,3.14, ,-2.8. 解： 3|=3;3.14|=3.14; |-2.8|=2.8. 当 堂 训 练 答：第五个排球的质量好一些，因为它的绝对值最小，也就是离标准重 量的克数最近. 记 作 贝 数 ， 检 宣 结 禾 如 下 ： 指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明. 当堂训练 +5 -3.5 +0.7 -2.5 -0.6 课堂小结 定义 绝对值 性质 绝对值的性质 (1)|a≥0: t (a>0) (aS0) (a●0) · (2) 一般地，数轴上表示数a的点与 原点的距离叫做数α的绝对值. 第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2.5 有理数的大小比较 学习目标 1.通过探究得出有理数大小的比较方法. 2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数 的 大 小。 右图是未来一周天 气预报图，你能将这 一周的每 一 天的最低 温度按从低到高的顺 序排列吗? 来一周 C 天气预报 周二 1~7 ℃ 周六 导入新课 周三 - 1~6C 周四 周五 -4~3℃ 周一 0~8℃ 周 日 2~9℃ 下图表示某一天我国5个城市的最低气温，你能将 上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗? 武汉5℃ 北京-10℃ 上海0℃ 广州10℃ 哈尔滨-20℃ 借助数轴比较有理数的大小 探究新知 知识点1 探究新知 解 ： 哈尔滨 北京 上海 武汉 广州 -20℃ <-10℃ <0℃<5℃<10℃ 探究新知 哈尔滨 北京 上海 武汉 广州 -20℃ < -10℃ < 0℃ < 5℃ < 10 ℃ 【思 考】 这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什 么关系? 越 来 越 大 -20 -10 0 5 10 在数轴上表示的两个数， 右 边的数总比左 边的 数大. 小 大 记住了吗? -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 【想一想】 有没有最大的有理数?有没有最小的有理数? 为什么? 探究新知 有理数大小的比较方法1: 数轴比较法 探究新知 素养考点 借助数轴比较数的大小 例 在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小，将它 们按从小到大的顺序用“<”号连接. 解：-3,-5, 4,0在数轴上表示如下图所示， 将它们按从小到大的顺序排列为 -5<-3<0<4 巩固练习 如图，数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别为a 、b、 c, 则它们的大小关系是( D ) A.a>b>c B.b>c>a C A B -1 0 1 C.c>a>b D.b>a>c 【思考】 对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小 关系?两个负数之间如何比较大小? 结论：(1)正数大于0,负数小于0,正数大于负数； (2)两个负数之间，绝对值大的反而小. 例如，1≥0,0 ≥-1,1 ≥-1,-1 ≥-2. 运用法则比较有理数的大小 探究新知 知识点2 探究新知 素养考点 利用比较有理数大小的法则比较有理数大小 例 比较下列各数的大小。 (1)-(-3)和-(+2); 解 ：先化简， -(-3)=3,-(+2)=-2, ∵正数大于负数， ∴3>-2, 即-(-3)>-(+2). 异号两数比较要 考虑它们的正负. 探究新知 (2)-35 和 5 ; 两负数相比较，绝对值大的反而小. 解：两个负数做比较，先求它们的绝对值. 同号两数比较要 考虑它们的绝对值. · 。 ? 探究新知 (3) 和-(-0.83). 解 ：先化简， 探究新知 总结：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号 两数比较大小，要考虑它们的绝对值. A. 若a>b, 则|a|>|b| B. 若|al>|b|, 则a>b C. 若a<b<0, 则|a|<|b| D. 若a>b>0, 则|al>|b| 巩固练习 下列判断，正确的是( D ) × 如a=1,b=-2 × 如a=-3,b=2 × 如a=-3,b=-2 1.在有理数0,I-(-3)|,-1+1000| ,-(-5)中最大的数是( B ) A.0 B.-(-5) C.-|+1000| D.|-(-3)| 当堂训练 当堂训练 2.比较下面各对数的大小： (1)-(-1)_> -(+2); 2 (3) (4)-l-2| ≤ -(-2). 4. 有理数a,b 在数轴上的位置如下图所示，则下列各 式正确的是 ( B ) A.a>0>-b B.|b|>|a| C.|b|<1 D.|a|>|b| 0,-3, |5|,-(-4),-1-5|. 解：-1-5|<-3<0<-(-4)<|5|. 3.将下列这些数用“<”连接. 当堂训练 城市 阜阳 安庆 淮北 合肥 芜湖 最高气温 /℃ -5 2 -3 -1 4 (1)在数轴上表示这些城市最高气温的值； (2)用“<”连接这些城市的最高气温. 下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温： 当堂训练 当堂训练 分析：(1)画出数轴，然后根据数轴表示数的方法画出-5,2, (2)-3,-1,4所表示的点； (2)根据“数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的 数要小”可得到它们的大小关系. 当堂训练 解 ：(1)如图： (2)-5℃<-3℃<-1℃<2℃<4℃. 数轴上表示的两个数，右边的总 比左边的大. 正数大于0,0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小. 方法1 有理 数大 小的 比较 方法2 课堂小结 $$