第1讲 简易方程（十二大考点）-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（苏教版）

第1讲 简易方程 学习目标： 1、理解等式和方程的意义，体会方程与等式之间的关系。 2、会用方程表示简单情境中的等量关系。 3、根据天平平衡的原理，初步理解等式的性质(一)和（二）。 4、利用等式的性质(一)和（二），会解只含有加、减法运算的方程，养成自觉检验的习惯。 5、经历列方程解决实际问题的学习过程，掌握列方程解决简单的实际问题的一般步骤和方法，会列方程解决一些实际问题。 6、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如x±a=b，ax±b=c，ax÷b=c，ax±bx=c等方程的解法。 7、理解列方程与用算术方法解决实际问题时不同的思考过程。 重点难点： 1、理解并掌握方程的含义，会列方程表示简单的数量关系。（重点） 2、用方程表示题中的数量关系。（难点） 3、理解等式的性质(一)和（二），并根据等式的性质(一)和（二）解简单的方程。 4、掌握解方程的方法。 5、能够列方程解决一步计算及形如ax±bx-c的方程的实际问题。（重点) 6、掌握列方程解决一步计算及形如ax±bx-c的实际问题的方法。（难点) 知识点一等式的含义。 1、等式。 表示相等关系的式子叫作等式。形式上看，含有“=”的式子就是等式。 知识点二方程的含义。 1、方程。 含有未知数的等式是方程。 知识点三等式与方程的关系。 等式包括方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。 知识点四等式的性质（一） 1、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则a+c=b+c或a-c=b-c。 知识点五利用等式的性质（一）解方程 1、方程的解及解方程：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。 2、解形如x+a=b或x-a=b的方程，可根据等式的性质(一)，在方程两边同时减去或加上α，使方程左边只剩下未知数x，方程右边的数b-a或b+a就是x的值。 3、检验方法：将所求未知数的值分别代入方程的左边和右边，看方程两边是否相 等，若相等，所求未知数的值就是方程的解。 知识点六等式的性质（二） 1、等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则ac=bc或a÷c=b÷c(c≠0)。 知识点七利用等式的性质（二）解方程 1、解形如ax=b或x÷a=b(a≠0)的方程，可根据等式的性质(二)，在方程的两边同时除以或乘“，使方程左边只剩未知数，这时方程右边的数b÷a或bxa就是x的值。 知识点八列方程解决简单的实际问题 1、列方程解决简单的实际问题的一般步骤：①弄清题意，设未知数x；②找出相等关系列方程；③解方程；④检验，写答语。 知识点九用形如 ax±b=c的方程解决实际问题 1、解形如ax±b=c的方程，先根据等式的性质(一)在方程两边同时减去(或加上)b，得到ax=c∓b，再根据等式的性质(二)在方程两边同时除以。，使方程左边只剩下未知数x，这样就可求出x的值了。 知识点十用形如 ax±bx=c的方程解决实际问题 1、解形如ax±bx=c的方程，要先根据加法的意义将方程左边化简为(a±b)x，得到(a±b)x=c，再根据等式的性质(二)在方程两边同时除以(a±b)，使方程左边只剩下未知数x，这样就可求出x的值了。 考点01 等式的认识及列等量关系式 1．把下面的数量关系补充完整。 （1）（ ）×时间＝路程。 （2）平行四边形的面积＝底×（ ）。 （3）小明的身高比小军高0.2米。（ ）＋0.2＝（ ）。 【分析】（1）根据速度、时间和路程之间的关系填写； （2）根据平行四边形的面积公式填写； （3）小明的身高比小军高0.2米，也就是小明的身高＝小军的身高＋0.2米。 【解答】（1）速度×时间＝路程 （2）平行四边形的面积＝底×高 （3）小明的身高比小军高0.2米。小军的身高＋0.2＝小明的身高 2．列出下列情境中的等量关系。 李明买了4支铅笔，他付给售货员20元，找回8元。（ ） 【分析】根据题意可知：花的钱数＋找回的钱数＝小明付给售货员的钱数，而花的钱数＝铅笔的单价×支数，据此找出等量关系。 【解答】由分析可知李明买了4支铅笔，他付给售货员20元，找回8元。等量关系为：铅笔的单价×支数＋找回的钱数＝付给售货员的钱数。 【点评】此题主要考查根据题目已知条件找等量关系，是学习列简易方程的基础。 3．观察下面两架平衡的天平，每个苹果（ ）克，每个梨（ ）克。 【分析】因为平衡，由图一可得，2个苹果的重量＝5个梨的重量，所以平均每个苹果重量等于2.5个梨的重量；由图二可得，一个梨的重量＋一个苹果的重量＝210g，因为平均每个苹果重量等于2.5个梨的重量，所以可将图二中的苹果的重量用相应的梨的重量替换，则3.5个梨的重量＝210g，即可求出一个苹果的质量，从而可以把梨的重量求出。 【解答】2个苹果的重量＝5个梨的重量，两边同时除以2，可得1个苹果重量等于2.5个梨的重量。由第二个图可知： 1个苹果质量＋1个梨的质量＝100g＋100g＋10g， 2.5个梨的质量＋1个梨的质量＝210g， 3.5个梨的重量＝210g， 则每个梨的重量为：210÷3.5＝60g， 所以一个苹果的重量： 60×5÷2 ＝300÷2 ＝150g。 【点评】此题的关键是找出两个图中的等量关系式，利用两个等量关系式之间的关系进行转换。 考点02 方程的认识 4．下面的式子哪些是等式？哪些是方程？（填序号） ①8＋x＝30    ②27×3＝81    ③42－20＜50    ④9y＝36 ⑤57÷3＝19    ⑥y÷7＝11    ⑦16－x    ⑧x＋4＞18 【分析】含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此进行分类。 【解答】据分析可知 5．下面式子中，（ ）是等式，（ ）是方程。（在括号里填序号） ①，②，③，④，⑤。 【分析】因为等式是含有等号且等号两边都相等的式子，所以可以判断出②③⑤是等式； 因为方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数②等式。所以方程肯定是等式，据此可解答。 【解答】下面式子中，②③⑤是等式，③⑤是方程。 【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。 6．在①0.5a＋10＝230，②4x－3，③a＋b＜10，④5×4＝20，⑤7x－18＝66，⑥67－17＝50中，是方程的有（ ）；是等式的有（ ）（填序号）。 【分析】方程是指含有未知数的等式；等式是指用等号连接的式子，据此解答。 【解答】①0.5a＋10＝230，含有未知数，是等式，是方程； ②4x－3，含有未知数，不是等式，不是方程； ③a＋b＜10，含有未知数，不是等式，不是方程； ④5×4＝20，不含未知数，是等式； ⑤7x－18＝66，含有未知数，是等式，是方程； ⑥67－17＝50，不含未知数，是等式。 在①0.5a＋10＝230，②4x－3，③a＋b＜10，④5×4＝20，⑤7x－18＝66，⑥67－17＝50中，是方程的有是方程的有：①⑤；是等式的有：①④⑤⑥。 【点评】熟练掌握等式的意义和方程的意义是解答本题的关键。 考点03 列简易方程 7．根据数量关系列出方程，不用求解。 一本故事书有y页，小轩已经看了68页，还剩下19页。（ ） 【分析】用这本故事书的页数－小轩已经看了的页数＝剩下的页数，列方程，即可解答（答案不唯一）。 【解答】y－68＝19 解：y－68＋68＝19＋68 y＝87 一本故事书有y页，小轩已经看了68页，还剩下19页。y－68＝19。 8．一大杯牛奶有x克，正好倒满4个相同的小杯子，每个小杯子可以盛75克牛奶。 方程： ＝4。 【分析】根据题意可知：大杯牛奶的质量÷小杯牛奶的质量＝小杯的个数，据此列出方程即可。 【解答】由分析可得：一大杯牛奶有x克，正好倒满4个相同的小杯子，每个小杯子可以盛75克牛奶。 方程：x÷75＝4。 【点评】本题主要考查应用方程思想解决简单问题的能力。 9．只列方程不计算。 南京航天航空大学（天目湖校区）距离溧阳站3000米，小楠和小刚两人分别从南京航天航空大学（天目湖校区）和溧阳站同时出发，相向而行。经过20分钟相遇。已知小楠的速度是70米/分，小刚的速度是多少米/分？ 解：设小刚的速度是x米/分。 【分析】由于小楠和小刚两人分别从南京航天航空大学（天目湖校区）和溧阳站同时出发，相向而行，即可知道这是一个相遇问题，由此即可知道两个人从开始到相遇的时候两个人走了3000米，利用相遇问题的公式：速度和×时间＝路程，把数代入即可列出方程。 【解答】解：设小刚的速度是x米/分。 （70＋x）×20＝3000 【点评】本题主要考查相遇问题以及列方程，熟练掌握相遇问题的公式并灵活运用。 考点04 等式的性质1和2 10．根据等式的性质在横线上填运算符号，在括号里填数。          （ ）     （ ） 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 （1）将等式左边加上25，那么右边也需要加上25； （2）将等式左边减去18，那么右边也需要减去18。 【解答】 11．认真看图，细心填空。 x＝50    x＋（ ）＝50＋（ ）    x＋40－（ ）＝50＋（ ）－（ ） 我发现：等式两边同时加上或减去（ ），所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 【分析】根据天平的平衡原则，左边加上多少，右边也加上多少，所以天平两边分别加一枚10g的砝码，等式的两边同时加上10；再根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式不变；据此解答。 【解答】由分析可得： x＝50 x＋40＝50＋40 x＋40－20＝50＋40－20 我发现：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 12．如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在〇里填运算符号，在横线里填数。 3a＋6＝5b〇________ 3a〇________＝5b÷5 【分析】等式的基本性质： 等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【解答】3a＋6＝5b＋6 3a÷5＝5b÷5 考点05 应用等是的性质1和2解方程 13．解方程。                                  【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘2，然后再同时除以2.5； （2）先化简方程，即先算出3.2x＋x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以4.2； （3）先化简方程，即先算出2×1.6，然后根据等式的性质，方程两边同时减3.2，然后再同时除以2； 【解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 14．解方程。                              【分析】4x＋8＝30，根据等式的性质1，方程两边同时减去8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可； 12.5x－8.9x＝14.4，先化简方程左边含有x的算式，即求出12.5－8.9的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以12.5－8.9的差即可； 0.8x÷2＝2.16，根据等式的性质2，方程两边同时乘2，再同时除以0.8即可。 【解答】4x＋8＝30 解：4x＋8－8＝30－8 4x＝22 4x÷4＝22÷4 x＝5.5 12.5x－8.9x＝14.4 解：3.6x＝14.4 3.6x÷3.6＝14.4÷3.6 x＝4 0.8x÷2＝2.16 解：0.8x÷2×2＝2.16×2 0.8x＝4.32 0.8x÷0.8＝4.32÷0.8 x＝5.4 15．解方程。 12＋2.5x＝36         3x÷8＝6          2.5x－2＝5.5 x－24＋50＝100      12x－5x＝49       10.5－2x＝2.5 【分析】（1）根据等式的性质1，方程的两边先同时减去12，然后再根据等式的性质2，两边同时除以2.5； （2）根据等式的性质2，方程的两边先同时乘8，然后两边同时除以3； （3）根据等式的性质1，方程的两边先同时加上2，然后再根据等式的性质2，两边同时除以2.5； （4）根据等式的性质1，方程的两边先同时加上24，然后两边同时减去50； （5）先化简12x－5x，然后再根据等式的性质2，方程的两边同时除以（12－5）的差； （6）根据等式的性质1，方程的两边先同时加上2x，然后两边同时减去2.5，最后根据等式的性质2，两边同时除以2。 【解答】12＋2.5x＝36 解：12＋2.5x－12＝36－12 2.5x＝24 2.5x÷2.5＝24÷2.5 x＝9.6 3x÷8＝6 解：3x÷8×8＝6×8 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 2.5x－2＝5.5 解：2.5x－2＋2＝5.5＋2 2.5x＝7.5 2.5x÷2.5＝7.5÷2.5 x＝3 x－24＋50＝100 解：x－24＋50＋24＝100＋24 x＋50＝124 x＋50－50＝124－50 x＝74 12x－5x＝49 解：7x＝49 7x÷7＝49÷7 x＝7 10.5－2x＝2.5 解：10.5－2x＋2x＝2.5＋2x 2.5＋2x＝10.5 2.5＋2x－2.5＝10.5－2.5 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 考点06 列方程解含一个未知数的问题 16．甲、乙两人骑摩托车同时从相距190千米的两个城市出发，相向而行。甲的速度是36千米/时，乙的速度是40千米/时，经过多少小时两人相遇？ 【分析】根据，设经过小时两人相遇，由题意可知等量关系式：（甲的速度＋乙的速度）×＝190，据此列方程并求解。 【解答】解：设经过小时两人相遇。 答：经过2.5小时两人相遇。 17．公交车上原来有46名乘客，到百货公司站下去一些乘客，这时车上还有29名乘客。在百货公司站下去了多少名乘客？ 【分析】把百货公司站下车的乘客人数设为未知数，原来的乘客人数－下车的乘客人数＝现在车上的乘客人数，据此列方程解答。 【解答】解：设在百货公司站下去了x名乘客。 46－x＝29 46－x＋x＝29＋x 29＋x＝46 29＋x－29＝46－29 x＝17 答：在百货公司站下去了17名乘客。 18．学校开运动会，六年级有72人参加跑步比赛，48人参加跳高比赛。六年级参加跑步比赛的人数比三年级参加跑步比赛人数的2倍还多6人，六年级参加跳高比赛的人数比三年级参加跳高比赛人数的5倍少7人。 （1）三年级有多少人参加跑步比赛？     （2）三年级有多少人参加跳高比赛？ 【分析】（1）求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设三年级有x人参加跑步比赛，根据三年级参加跑步比赛人数×2＋6＝六年级参加跑步比赛的人数，列出方程解答即可； （2）求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，设三年级有x人参加跳高比赛，根据三年级参加跳高比赛人数×5－7＝六年级参加跳高比赛的人数，列出方程解答即可。 【解答】（1）解：设三年级有x人参加跑步比赛。 2x＋6＝72 2x＋6－6＝72－6 2x＝66 2x÷2＝66÷2 x＝33 答：三年级有33人参加跑步比赛。 （2）解：设三年级有x人参加跳高比赛。 5x－7＝48 5x－7＋7＝48＋7 5x＝55 5x÷5＝55÷5 x＝11 答：三年级有11人参加跳高比赛。 考点07 列方程解含两个未知数的问题 19．庆“六一”联欢会上，男生和女生开展夹球比赛。女生比男生多夹了40个球，女生夹球的个数是男生的3倍，男、女生各夹多少个球？（列方程解决问题） 【分析】设男生夹球x个，女生夹球的个数是男生的3倍，则女生夹球3x个，然后根据等量关系式：女生夹球的个数－男生夹球的个数＝40个，列方程：3x－x＝40，解方程，即可解答。 【解答】解：设男生夹球x个，则女生夹球3x个。 3x－x＝40 2x＝40 2x÷2＝40÷2 x＝20 女生：20×3＝60（个） 答：男生夹球20个，女生夹球30个。 【点评】本题考查列方程解应用题，关键是男生和女生夹球的数量关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 20．小明和小华两人集邮，小明的邮票数是小华的3倍，小明比小华多90枚。小明和小华各有多少枚邮票？（列方程） 【分析】设小华有x枚邮票，则小明有3x枚邮票，根据小明邮票－小华邮票数量＝90枚，列出方程求出x的值是小华邮票数量，小华邮票数量×3＝小明邮票数量。 【解答】解：设小华有x枚邮票。 3x－x＝90 2x＝90 2x÷2＝90÷2 x＝45 45×3＝135（枚） 答：小明和小华各有135枚、45枚邮票。 【点评】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 21．学校组织六年级500名师生去参观博物馆，共付门票费2150元。已知每张教师票是10元，每张学生票是4元。六年级的教师和学生各买了多少张门票？ 【分析】可用方程解，根据题意，先设教师买了x张门票，则学生买了（500－x）张门票，根据共付门票费2150元，可列等量关系式：教师门票的费用＋学生门票的费用＝2150元，据此列方程解答。 【解答】解：设教师买了x张门票，则学生买了（500－x）张门票。 10x＋4×（500－x）＝2150 10x＋2000－4x＝2150 6x＋2000＝2150 6x＋2000－2000＝2150－2000 6x＝150 6x÷6＝150÷6 x＝25 500－25＝475（张） 答：六年级的教师买了25张门票，学生买了475张门票。 【点评】本题考查用方程解含有一个未知数的问题，找到等量关系是关键。 考点08 列方程解稍复杂的实际问题 22．把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 【分析】可以设第三段长为x米，第二段比第三段长5米，则第二段长是（x＋5）米；第一段比第二段长2米，则第二段的长度＋2即可求出第一段长，第一段长：（x＋5＋2）米，把三段相加就是这根绳子的长度90米，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【解答】解：设第三段长x米，则第二段长是（x＋5）米，第一段长是（x＋5＋2）米。 x＋（x＋5）＋（x＋5＋2）＝90 x＋x＋5＋x＋7＝90 3x＋12＝90 3x＋12－12＝90－12 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 26＋5＝31（米） 31＋2＝33（米） 答：第三段绳子长26米，第二段绳子长31米，第一段绳子长33米。 23．某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 【分析】根据题意，在校大学生和在校小学生都是和在校的中学生比较的，在校大学生＝在校中学生＋49，在校小学生＝在校中学生－21，可以设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。再根据数量关系：在校大学生＋在校小学生＋在校的中学生＝214，列出方程求出在校中学生的人数，再根据相互之间的关系得出其他两种的人数。 【解答】解：设在校中学生为x万人，则在校大学生为（x＋49）万人，在校小学生为（x－21）万人。 x＋x＋49＋x－21＝214 3x＋28＝214 3x＝214－28 3x＝186 x＝186÷3 x＝62 62＋49＝111（万人） 62－21＝41（万人） 答：该市2010年年初大学生有111万人，中学生有62万人，小学生有41万人在校学生。 24．图书馆新到一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架；如果每个书架放68本，那么正好放完，一共有几个新书架？这批图书共有多少本？ 【分析】设一共有x个新书架，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架，即每个书架放60本，需要（x＋2）个书架，根据每个书架放的本数×书架个数＝总本数，列出方程求出x的值是新书架个数，通过新书架个数再求出图书总本数即可。 【解答】解：设一共有x个新书架。 60×（x＋2）＝68x 60x＋120＝68x 60x＋120－60x ＝68x－60x 8x＝120 8x÷8＝120÷8 x＝15 68×15＝1020（本） 答：一共有15个新书架，这批图书共有1020本。 考点09 列方程解和差倍问题 25．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国运动健儿奋力拼搏，与美国队并列金牌榜第一。作为亚洲国家，我国金牌数是日本金牌数的2倍，我国和日本的金牌数一共是60枚，我国金牌多少枚？（用方程解答） 【分析】设日本金牌数是x枚，则我国金牌数是2x枚，根据等量关系：“我国金牌数＋日本金牌数＝60枚”列方程解答求出日本金牌数，再乘2就是我国金牌数。 【解答】解：设日本金牌数是x枚。 x＋2x＝60 3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20 20×2＝40（枚） 答：我国金牌40枚。 26．学校举行“暑假读一本好书”活动，共有968个同学参加，其中女生人数是男生的1.2倍。参加这项活动的男生、女生各有多少人？ 【分析】根据“女生人数是男生的1.2倍”，可以设男生有人，则女生有1.2人； 根据“共有968个同学参加”可得出等量关系：男生人数＋女生人数＝男生与女生的总人数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设男生有人，则女生有1.2人。 ＋1.2＝968 2.2＝968 2.2÷2.2＝968÷2.2 ＝440 女生人数：968－440＝528（人） 答：男生有440人，女生有528人。 27．端午节，乐乐妈妈买了一些鸡蛋和粽子。鸡蛋比粽子多50个，鸡蛋的个数是粽子的3倍，乐乐妈妈鸡蛋、粽子各买了多少个？（建议列方程解答） 【分析】这是一个差倍问题，我们可以设粽子的个数是x个，因为鸡蛋的个数是粽子的3倍，所以鸡蛋的个数是（3x）个，再根据鸡蛋比粽子多50个，列出方程，解出方程，求出x及3x即可。 【解答】解：设粽子的个数是x个；则鸡蛋的个数是（3x）个。 3x－x＝50 2x＝50 2x÷2＝50÷2 x＝25 3x＝3×25＝75（个） 答：乐乐妈妈鸡蛋买了75个，粽子买了25个。 考点10 列方程解年龄问题 28．祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 【分析】根据题意，设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁，祖父的年龄＋儿子的年龄＋孙子的年龄＝100，据此列方程求解即可。 【解答】解：设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁， 祖父：（岁） 儿子：（岁） 答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁。 29．小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 【分析】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【解答】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 【点评】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。明确“若干年后，爸爸仍然比小明大34岁”，然后找出等量关系式是解题的关键。 30．妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【分析】（1）根据倍数关系，先用37减去4求出小丽年龄的3倍是多少，然后再除以3即可； （2）根据题意可得等量关系式：小丽年龄的年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，列出方程解答即可。 【解答】作图如下： （1）（37－4）÷3 ＝33÷3 ＝11（岁） （2）解：设小丽今年x岁。 3x＋4＝37 3x＋4－4＝37－4 3x÷3＝33÷3 x＝11 答：小丽今年11岁。 【点评】解答本题关键是理解算法的多样性，理解数量之间的互逆关系。 考点11 列方程解相遇问题 31．北京到呼和浩特的铁路线长660千米，一列火车从呼和浩特开出，每时行驶120千米；另一列火车从北京出发，每时行驶144千米，两列火车同时开出，经过几时相遇？（用方程解答） 【分析】已知两列火车同时开出，相向而行，根据相遇问题的公式可得出等量关系：两列火车的速度和×相遇时间＝北京到呼和浩特的铁路线全长，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设经过时相遇。 （120＋144）＝660 264＝660 264÷264＝660÷264 ＝2.5 答：经过2.5时相遇。 32．两地间的路程是540千米，甲乙两车同时从两地相对开出。2.5小时后相遇，甲车每小时行56千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【分析】设乙车每小时行x千米，根据相遇时间×速度和＝路程和，据此列方程为（56＋x）×2.5＝540，然后解出方程即可。 【解答】解：设乙车每小时行x千米。 （56＋x）×2.5＝540 （56＋x）×2.5÷2.5＝540÷2.5 56＋x＝216 56＋x－56＝216－56 x＝160 答：乙车每小时行160千米。 33．小刚和小强两人同时从家里出发，相向而行。 两人经过几分钟相遇？在图中用“”标出相遇时的大致位置。相遇时，小强走了多少米？ 【分析】设两人经过x分钟相遇，小刚行驶的路程＝小刚行驶的速度×相遇的时间＝25x，小强行驶的路程＝小强行驶的速度×相遇的时间＝35x。则根据数量关系式小刚行驶的路程＋小强行驶的路程＝总路程列出方程。总路程是三段的路程和为330千米，求出方程的解。再用小强的速度×相遇的时间得出小强走的千米数。 【解答】 解：设两人经过x分钟相遇。 35x＋25x＝152＋48＋130 60x＝330 60x÷60＝330÷60 x＝5.5 35×5.5＝192.5（米） 答：两人经过5.5分钟相遇，相遇时，小强走了192.5米。 考点12 列方程解稍复杂的行程问题 34．明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 【分析】设明明以每分钟80米的速度行了x分钟，则以每分钟150米的速度行了（20－x）分钟。根据每分钟80米的速度所行的路程每分钟150米的速度所行的路程明明家到学校的路程，列方程解答。 【解答】解：设明明以每分钟80米的速度行了x分钟。 7x＝3000－2300 70x÷70＝700÷70 （米 答：明明在离学校1500米远的地方开始跑步。 35．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【分析】设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解。 【解答】解：设爸爸追上小明用了x分钟。 180x－80x＝80×5 100x＝400 x＝4 答：爸爸追上小明用了4分钟。 【点评】关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解。 36．小红和小朵相距660m，她们相约见面，小红出发2分钟后小朵出发，又经过4.4分钟后她们相遇了。已知小红每分钟步行55米，小朵每分钟步行多少米？ 【分析】根据题意，小红行驶的速度×小红行驶的时间＋小朵行驶的速度×小朵行驶的时间＝总路程，设小朵的速度是每分钟步行x米，据此列方程为：（2＋4.4）×55＋4.4x＝660，然后解出方程即可。 【解答】解：设小朵的速度是每分钟步行x米。 （2＋4.4）×55＋4.4x＝660 6.4×55＋4.4x＝660 352＋4.4x＝660 352＋4.4x－352＝660－352 4.4x＝308 4.4x÷4.4＝308÷4.4 x＝70 答：小朵每分钟步行70米。 【点评】本题主要考查了相遇问题的解题方法，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 基础试炼 一、填空题 1．苹果之乡今年的苹果冠军重0.67，比小明摘的一个苹果的2倍还多0.17。小明摘的这个苹果重（ ）。 【答案】0.25 【分析】根据题意可知，苹果冠军的重量＝小明摘的一个苹果的重量×2＋0.17kg，设小明摘的这个苹果重xkg。列方程：2x＋0.17＝0.67，解方程，即可解答。 【解答】解：设小明摘的这个苹果重xkg。 2x＋0.17＝0.67 2x＋0.17－0.17＝0.67－0.17 2x＝0.5 2x÷2＝0.5÷2 x＝0.25 苹果之乡今年的苹果冠军重0.67kg，比小明摘的一个苹果的2倍还多0.17kg。小明摘的这个苹果重0.25kg。 2．同学们分糖果，如果每人分5 颗就多3 颗；如果每人分9 颗就少5 颗。共有（ ）位同学，共有（ ）颗糖果。 【答案】2 13 【分析】设共有x位同学，糖果数量一定，根据两次分配方案，每人分到的颗数×人数＋多出来的糖果＝每人分到的颗数×人数－少的糖果，列出方程求出x的值是人数，再根据人数和其中一次分配方案确定糖果颗数即可。 【解答】解：设共有x位同学。 5x＋3＝9x－5 4x＝8 4x÷4＝8÷4 x＝2 2×5＋3 ＝10＋3 ＝13（颗） 【点评】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有（ ）名学生参加了植树。 【答案】100 【分析】设有x名老师参加了植树；老师每人栽树3棵，老师栽树3x棵；老师和学生150人，学生有（150－x）名；学生每2人栽树1棵，（150－x）名学生栽树（150－x）÷2棵；一共栽了200棵，列方程：3x＋（150－x）÷2＝200，解方程，即可解答。 【解答】解：设有x名老师参加了植树，则学生有（150－x）名。 3x＋（150－x）÷2＝200 3x＋150÷2－0.5x＝200 2.5x＋75＝200 2.5x＋75－75＝200－75 2.5x＝125 2.5x÷2.5＝125÷2.5 x＝50 学生：150－50＝100（名） 植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有100名学生参加了植树。 4．市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来（ ）千克，苹果运来（ ）千克。 【答案】60 180 【分析】苹果的质量是梨的3倍，将梨的质量设为x千克，苹果的质量为3x千克，根据数量关系式：梨的质量＋苹果的质量＝240，列出方程解方程得出梨的质量是60千克，再根据苹果的质量＝梨的质量×3。把数代入即可求解。 【解答】解：设梨的质量是x千克，苹果的质量是3x千克。 3x＋x＝240 4x＝240 x＝240÷4 x＝60 60×3＝180（千克） 则梨运来60千克，苹果运来180千克。 5．李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分（ ）米。 【答案】80 【分析】根据题意可知，李叔叔的速度×相遇时间＋王叔叔的速度×相遇时间＝路程和，据此设王叔叔的速度是每分钟x米，列方程为70×7＋7x＝1050，然后解出方程即可。 【解答】解：设王叔叔的速度是每分钟x米。 70×7＋7x＝1050 490＋7x＝1050 490＋7x－490＝1050－490 7x＝560 7x÷7＝560÷7 x＝80 王叔叔的速度是每分钟80米。 【点评】本题是行程中的相遇问题，速度和×相遇时间＝总路程，掌握此数量关系是解决此类问题的关键。 6．小华x岁，爸爸的年龄比小华的4倍少2岁，爸爸（ ）岁；如果爸爸38岁，小华（ ）岁。 【答案】4x－2 10 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，据此用字母表示出爸爸年龄；字母表示的算式等于爸爸的岁数，据此列方程求解即可求出小华的岁数。 【解答】4x－2＝38 解：4x－2＋2＝38＋2 4x＝40 4x÷4＝40÷4 x＝10 所以爸爸的年龄是（4x－2）岁，如果爸爸38岁，小华10岁。 7．在括号里填上合适的数，使每个方程的解为x＝6. （ ）＋x＝8.4    （ ）－x＝8.4    x＋（ ）＝7.2 （ ）－x＝7.2    x＋（ ）＝8.25    x－（ ）＝4.5 【答案】2.4 14.4 1.2 13.2 2.25 1.5 【分析】当x＝6时，设每个方程括号里要填的数是y。 （1）根据等式的性质，方程两边同时减去6即可解答； （2）根据等式的性质，方程两边同时加上6即可解答； （3）方程两边同时减去6即可解答； （4）方程两边同时加上6即可解答； （5）方程两边同时减去6即可解答； （6）根据减数＝被减数－差，用6减去4.5即可解答。 【解答】（1）解：设括号里要填的数是y。 y＋6＝8.4 y＋6－6＝8.4－6 y＝2.4 则括号里应填2.4。 （2）解：设括号里要填的数是y。 y－6＝8.4 y－6＋6＝8.4＋6 y＝14.4 则括号里应填14.4。 （3）解：设括号里要填的数是y。 6＋y＝7.2 6＋y－6＝7.2－6 y＝1.2 则括号里应填1.2。 （4）解：设括号里要填的数是y。 y－6＝7.2 y－6＋6＝7.2＋6 y＝13.2 则括号里应填13.2。 （5）解：设括号里要填的数是y。 6＋y＝8.25 6＋y－6＝8.25－6 y＝2.25 则括号里应填2.25。 （6）解：设括号里要填的数是y。 6－y＝4.5 y＝6－4.5 y＝1.5 则括号里应填1.5。 8．在括号里填含有字母的式子。 水果店里梨有x箱，苹果的箱数是梨的4倍，苹果有（ ）箱，苹果和梨一共有（ ）箱，梨比苹果少（ ）箱。 【答案】 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，含有字母的乘法算式乘号可省略不写，数字放在字母的前面；求苹果和梨一共有多少箱，用苹果的箱数加梨的箱数，能化简的要化简；求梨比苹果少多少箱，用苹果的箱数减梨的箱数，能化简的要化简。 【解答】（箱） （箱） 水果店里梨有x箱，苹果的箱数是梨的4倍，苹果有箱，苹果和梨一共有箱，梨比苹果少箱。 9．有一个计算流程如下图所示。 当输入的数为3时，输出的结果是（ ）；如果输出的结果是24，那么输入的数是（ ）。 【答案】25.6 2.5 【分析】根据计算流程，当输入的数为3时，先用3加5，再用所得的和乘3.2，即是输出的结果； 已知输出的结果是24，要求输入的数，可以设输入的数是，根据计算流程列出方程，运用等式的性质求出方程的解即可。 【解答】当输入的数为3时，输出的结果是： （3＋5）×3.2 ＝8×3.2 ＝25.6 解：设输入的数是。 （＋5）×3.2＝24 （＋5）×3.2÷3.2＝24÷3.2 ＋5＝7.5 ＋5－5＝7.5－5 ＝2.5 填空如下： 当输入的数为3时，输出的结果是（25.6）；如果输出的结果是24，那么输入的数是（2.5）。 10．一个除法算式的商是15，没有余数，被除数和除数的差是140，被除数是（ ），除数是（ ）。 【答案】150 10 【分析】已知一个除法算式的商是15，没有余数，那么被除数是除数的15倍；可以设除数为，则被除数为15； 根据“被除数和除数的差是140”可得出等量关系：被除数－除数＝被除数与除数的差值，据此列出方程，并求出的值，即是除数；再用除数乘15，求出被除数。 【解答】解：设除数为，则被除数为15。 15－＝140 14＝140 14÷14＝140÷14 ＝10 被除数：10×15＝150 所以，被除数是150，除数是10。 二、选择题 11．美美的年龄和好好相差8岁，美美的年龄刚好是好好年龄的3倍。那么美美的年龄是（    ）。 A．9岁 B．12岁 C．15岁 D．18岁 【答案】B 【分析】根据“美美的年龄刚好是好好年龄的3倍”，可以设好好的年龄是岁，则美美的年龄是3岁； 根据“美美的年龄和好好相差8岁”，可得出等量关系：美美的年龄－好好的年龄＝两人相差的年龄，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设好好的年龄是岁，则美美的年龄是3岁。 3－＝8 2＝8 ＝8÷2 ＝4 4×3＝12（岁） 美美的年龄是12岁。 故答案为：B 12．下面的式子中，（    ）不是方程。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程是指含有未知数的等式，据此逐项判断即可。 【解答】由分析可得： A．，是含有未知数的等式，所以是方程； B．，没有未知数，所以不是方程； C．，是含有未知数的等式，所以是方程； D．，是含有未知数的等式，所以是方程。 故答案为：B 【点评】本题考查了方程的意义，方程是等式，但是等式不一定是方程，方程还一定含有未知数。 13．根据“合唱比赛中女生人数比男生人数多50人，女生人数是男生人数的3倍”，设合唱比赛中的男生人数是x人。下列方程正确的是（    ）。 A．3x－x＝50 B．3x＋x＝50 C．3x＋50＝x 【答案】A 【分析】设合唱比赛中的男生人数是x人，女生人数是男生人数的3倍，所以女生有3x人，再根据女生人数－男生人数＝50人，列出方程，据此解答即可。 【解答】根据分析可得，方程为：。 故答案为：A 【点评】本题考查方程，解答本题的关键是掌握题中的等量关系。 14．一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（    ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 【答案】B 【分析】顺流速度＝船速＋2，逆流速度＝船速－2；速度×时间＝路程，由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，得等量关系式（船速＋2）×6＝（船速－2）×8，据此列方程解答求出船速，进而求出两地间的距离。 【解答】解：设船在静水中的速度是每小时x千米。 （x＋2）×6＝（x－2）×8 6x＋12＝8x－16 6x＋12－12＝8x－16－12 6x＝8x－（16＋12） 6x＝8x－28 8x－28＋28＝6x＋28 8x＝6x＋28 8x－6x＝6x＋28－6x 2x＝28 2x÷2＝28÷2 x＝14 （14＋2）×6 ＝16×6 ＝96（千米） 两地之间的距离是96千米。 故答案为：B 【点评】此题用方程解答比较好理解，关键是先求出船速，再根据速度×时间＝路程求出全程。 15．佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】速度×时间＝路程，根据佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，即可列出方程，据此分析。 【解答】A．，佳佳速度×相遇时间－青青速度×相遇时间＝两人路程差，方程错误； B．，用到的等量关系：佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，方程正确； C．，用到的等量关系：佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，方程正确。 方程中错误的是。 故答案为：A 16．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米。途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达B地。A、B两地间的路程是（    ）。 A．270 B．400 C．360 D．800 【答案】B 【分析】由题意可知：行完全程，设乙行完全程用x小时，则甲用（x－3＋1）小时，进而利用两车行驶的总路程相等，即可列方程求解。 【解答】解：设乙车行完全程用x小时。 50×（x－3＋1）＝40x 50x－100＝40x 50x－40x＝100 10x＝100 x＝10 10×40＝400（千米） 故答案为：B 【点评】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 17．食堂买来3000千克煤，用了4天，还剩下1000千克。平均每天用煤多少千克？解：设平均每天用煤x千克，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于每天用的量×4＋剩下的量＝总共买来的量，据此即可列方程，之后再进行选择。 【解答】由分析可知：可列方程为： 4x＋1000＝3000或者3000－4x＝1000或者4x＝3000－1000 故答案为：C 【点评】本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系是解题的关键。 18．下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。            ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①含未知数的等式叫做方程，所以方程都是等式，但是等式不一定是方程；②根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去1，再同时除以0.25，即可求出y的值；③根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上1，可得a＋7＝b，可得a＜b；④等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此判断即可。 【解答】①方程都是等式，但是等式不一定是方程；例如： 1＋2＝3是等式，但是不是方程；原题说法错误； ②1＋0.25y＝2.5 解：1＋0.25y－1＝2.5－1 0.25y＝1.5 0.25y÷0.25＝1.5÷0.25 y＝6 方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6，原题说法正确； ③a＋6＝b－1 解：a＋6＋1＝b－1＋1 a＋7＝b a＋7＞a 所以b＞a 原题干说法错误； ④等式两边除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。原题说法错误。 正确的有②，共1个。 故答案为：A 【点评】本题考查了方程的认识、方程的解以及等式的性质1和2的应用。 19．已知2a＝3b（a、b为非零自然数），根据等式的性质，下面不成立的是（    ）。 A．50a＝75b B．20a＝3b＋18a C．4a＝9b D．12b＝8a 【答案】C 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加或减去同一个数，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式两边依然相等。 【解答】因为2a＝ 3b， A．等式两边同时乘25，则为50a ＝75b，所以此项正确； B．等式两边同时加上18a，则为20a ＝3b＋18a，所以此项正确； C．等式两边同时乘2，则为4a＝6b，所以4a≠9b，所以此项不正确； D．等式两边同时乘4，则为12b＝8a，所以此项正确。 故答案为：C 【点评】正确理解等式的性质，会用等式的性质解决问题，是解答此题的关键。 20．小宇有a本笔记本，小恒有b本笔记本，如果小宇给小恒10本后，两人的练习本数量相等。下面的等量关系中，正确的是（    ）。 A．a－b＝10 B．a＝b－10 C．a－10＝b＋10 D．a＋10＝b－10 【答案】C 【分析】根据“如果小宇给小恒10本后，两人的练习本数量相等”可得出等量关系：小宇原有笔记本的本数－10＝小恒原有笔记本的本数＋10，或小宇原有笔记本的本数－小恒原有笔记本的本数＝10×2，或小宇原有笔记本的本数＝小恒原有笔记本的本数＋10×2，据此列出方程即可。 【解答】A．a－b＝10表示小宇原有笔记本的本数比小恒多10本，两人原有笔记本的本数应相差20本，不符合题意； B．a＝b－10表示小宇原有笔记本的本数比小恒少10本，不符合题意； C．a－10＝b＋10表示小宇给小恒10本后，两人的练习本数量相等，符合题意； D．a＋10＝b－10表示小恒给小宇10本后，两人的练习本数量相等，不符合题意。 故答案为：C 三、计算题 21．解下列方程。                                     【答案】； ； 【分析】第一小题在等式两边同时除以0.26，运用小数除法计算得出答案；第二小题中根据减数＝被减数-差，可计算得出答案；第三小题先计算等式左边得到29x，在等式两边同时除以29得到答案；第四小题中先计算1.3×4得到5.2，再同时减去5.2，再同时除以8得出答案。 【解答】 解： 解： 解： 解： 22．解方程。                   【答案】；；； ；； 【分析】（1）方程的两边同时减去37即可得到未知数的值。 （2）先计算方程的左边，方程的两边同时除以62即可得到未知数的值。 （3）先计算方程的左边，方程的两边同时除以1.8即可得到未知数的值。 （4）方程的两边同时乘12即可得到未知数的值。 （5）方程的两边同时加上6.2，再同时除以0.9即可得到未知数的值。 （6）先计算方程的左边为，然后方程的两边同时加上4，再同时除以2.5即可得到未知数的值。 【解答】 解： 解： 解： 解： 解： 解： 高阶突破 四、解答题 23．小明和小红一起去买同一种本子，小红买本子花的钱正好是小明的3倍，且比小明多花了28.8元。小明和小红买本子各花了多少元？（列方程） 【答案】小明：14.4元；小红：43.2元 【分析】设小明买本子花了x元，小红买本子花的钱正好是小明的3倍，小红买本子花了3x元；小红比小明多花了28.8元，小红买本子花的钱－小明买本子花的钱＝28.8，列方程：3x－x＝28.8，解方程，求出小明买本子花的钱，进而求出小红买本子花的钱。 【解答】解：设小明买本子花了x元，则小红买本子花了3x元。 3x－x＝28.8 2x＝28.8 2x÷2＝28.8÷2 x＝14.4 小红：14.4×3＝43.2（元） 答：小明买本子花了14.4元，小红买本子花了43.2元。 【点评】本题考查方程的实际应用，利用小红和小明买本子花的钱，与两人买本子相差的钱，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 24．育才小学三、四年级学生共植树360棵，其中四年级植树的棵数比三年级的2倍还多30棵。三年级植树多少棵？（列方程解答） 【答案】110棵 【分析】设三年级植树x棵，由于三年级植树的棵数×2＋30＝四年级植树棵数，则四年级植树（2x＋30）棵，根据三、四年级学生共植树360棵列出方程求解即可。 【解答】解：设三年级植树x棵，则四年级植树（2x＋30）棵 x＋（2x＋30）＝360 3x＋30＝360 3x＋30－30＝360－30 3x＝330 3x÷3＝330÷3 x＝110 答：三年级植树110棵。 【点评】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题，找出等量关系式是解题的关键。 25．一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是138千米时。经过3小时，动车比特快列车多行了201千米。动车的速度是多少千米时？（列方程解答） 【答案】205千米时 【分析】设动车的速度是x千米/时，根据等量关系：（动车的速度－特快列车的速度）×行驶的时间 ＝动车比特快列车多行的路程，列方程解答即可。 【解答】解：设动车的速度是千米时。 答：动车的速度是205千米时。 【点评】本题考查列方程解决问题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为，由此列方程解决问题。 26．甲、乙两个科研小组共同获得一笔奖金，甲组人数是乙组人数的2倍。这笔奖金一共有多少万元？ 【答案】54万元 【分析】设乙组有x人，则甲组有2x人，根据总钱数一定，甲组平均每人钱数×人数＋余下钱数＝乙组平均每人钱数×人数－差的钱数，据此列出方程求出x的值是乙组人数，乙组平均每人钱数×乙组人数－差的钱数＝奖金总钱数。 【解答】解：设乙组有x人，则甲组有2x人。 5×2x＋4＝11x－1 10x＋4＝11x－1 10x＋4－10x－4＝11x－1－10x－4 x－5＝0 x－5＋5＝0＋5 x＝5 11×5－1 ＝55－1 ＝54（万元） 答：这笔奖金一共有54万元。 27．我国测量温度常用℃（摄氏度）作单位，有时还使用℉（华氏度）作单位。华氏温度和摄氏温度可以用下面的公式进行换算：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，华氏温度计上如果表示的温度是86°F，相当于多少℃？ 【答案】30℃ 【分析】根据题意，可以设华氏温度计上的温度86°F相当于℃；根据公式：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设相当于℃。 1.8＋32＝86 1.8＋32－32＝86－32 1.8＝54 1.8÷1.8＝54÷1.8 ＝30 答：相当于30℃。 28．2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。中国神舟飞船由推进舱、返回舱和轨道舱组成，轨道舱长2.8米，比返回舱长度的1.2倍多0.4米，返回舱长多少米？（用方程解） 【答案】2米 【分析】根据“轨道舱长比返回舱长度的1.2倍多0.4米”，可得出等量关系：返回舱长度×1.2＋0.4＝轨道舱的长度，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设返回舱长米。 1.2＋0.4＝2.8 1.2＋0.4－0.4＝2.8－0.4 1.2＝2.4 1.2÷1.2＝2.4÷1.2 ＝2 答：返回舱长2米。 29．朝阳小学弘扬劳动精神，培养学生劳动能力，开发了112平方米劳动实践基地。将基地划分为16块同样大小的菜地和8块同样大小的中药材种植地。其中每块菜地的面积是每块中药材种植地面积的3倍。每块菜地和每块中药材种植地的面积各是多少平方米？ 【答案】每块菜地6平方米；每块中药材2平方米 【分析】根据“每块菜地的面积是每块中药材种植地面积的3倍”，可以设每块中药材种植地面积是平方米，则每块菜地的面积是3平方米； 等量关系：每块菜地的面积×菜地的块数＋每块中药材种植地的面积×中药材种植地的块数＝劳动实践基地的总面积，据此列出方程，并求出每块中药材种植地的面积，再乘3，即是每块菜地的面积。 【解答】解：设每块中药材种植地的面积是平方米，则每块菜地的面积是3平方米。 3×16＋8＝112 48＋8＝112 56＝112 ＝112÷56 ＝2 每块菜地的面积：2×3＝6（平方米） 答：每块菜地的面积是6平方米，每块中药材种植地的面积是2平方米。 30．甲、乙两队共同修一条路，修了12天后，甲队比乙队多修360米。已知乙队每天修80米，甲队每天修多少米？ 【答案】110米 【分析】工作效率×工作时间＝工作总量，设甲队每天修x米，根据甲队每天修的米数×修的天数－乙队每天修的米数×修的天数＝360米，列出方程解答即可。 【解答】解：设甲队每天修x米。 12x－80×12＝360 12x－960＝360 12x－960＋960＝360＋960 12x＝1320 12x÷12＝1320÷12 x＝110 答：甲队每天修110米。 31．同学们参观“抗震救灾英雄事迹展览”。四、五年级一共去了264人，五年级去的人数是四年级的1.2倍。两个年级各去了多少人？ 【答案】四年级去了120人，五年级去了144人。 【分析】根据四年级去的人数＋五年级去的人数＝总人数，设四年级去了x人，五年级去的人数是四年级的1.2倍，可用1.2x表示，据此列方程求解即可。 【解答】解：设四年级去了x人，则五年级去了1.2x人。 1.2x＋x＝264 2.2x＝264 2.2x÷2.2＝264÷2.2 x＝120 五年级：120×1.2＝144 答：五年级去的人数是144人，四年级去的人数是120人。 32．（1）学校为舞蹈队的16名女同学购买上衣和裙子，一共用去1520元。每件上衣60元，每条裙子多少元？ （2）学校为舞蹈队的女同学购买上衣和裙子，一共用去1520元。每件上衣60元，每条裙子35元，一共购买了多少套？ 【答案】（1）35元 （2）16套 【分析】（1）根据，可知上衣的总价是，设每条裙子x元。由题意可知，等量关系式是：，据此列方程并解答。 （2）设一共购买了x套，根据，上衣的总价可用 60x 表示，裙子的总价可用35x表示，由题意可知等量关系式是：上衣总价＋裙子总价＝1520，据此列方程并解答。 【解答】（1）解：设每条裙子x元。 60×16＋16x＝1520 960＋16x＝1520 960＋16x－960＝1520－960 16x＝560 16x÷16＝560÷16 x＝35 答：每条裙子35元。 （2）解：设一共购买了x套。 60x ＋35x＝1520 95x＝1520 95x÷95＝1520÷95 x＝16 答：一共购买了16套。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 简易方程 学习目标： 1、理解等式和方程的意义，体会方程与等式之间的关系。 2、会用方程表示简单情境中的等量关系。 3、根据天平平衡的原理，初步理解等式的性质(一)和（二）。 4、利用等式的性质(一)和（二），会解只含有加、减法运算的方程，养成自觉检验的习惯。 5、经历列方程解决实际问题的学习过程，掌握列方程解决简单的实际问题的一般步骤和方法，会列方程解决一些实际问题。 6、在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如x±a=b，ax±b=c，ax÷b=c，ax±bx=c等方程的解法。 7、理解列方程与用算术方法解决实际问题时不同的思考过程。 重点难点： 1、理解并掌握方程的含义，会列方程表示简单的数量关系。（重点） 2、用方程表示题中的数量关系。（难点） 3、理解等式的性质(一)和（二），并根据等式的性质(一)和（二）解简单的方程。 4、掌握解方程的方法。 5、能够列方程解决一步计算及形如ax±bx-c的方程的实际问题。（重点) 6、掌握列方程解决一步计算及形如ax±bx-c的实际问题的方法。（难点) 知识点一等式的含义。 1、等式。 表示相等关系的式子叫作等式。形式上看，含有“=”的式子就是等式。 知识点二方程的含义。 1、方程。 含有未知数的等式是方程。 知识点三等式与方程的关系。 等式包括方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。 知识点四等式的性质（一） 1、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则a+c=b+c或a-c=b-c。 知识点五利用等式的性质（一）解方程 1、方程的解及解方程：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。 2、解形如x+a=b或x-a=b的方程，可根据等式的性质(一)，在方程两边同时减去或加上α，使方程左边只剩下未知数x，方程右边的数b-a或b+a就是x的值。 3、检验方法：将所求未知数的值分别代入方程的左边和右边，看方程两边是否相 等，若相等，所求未知数的值就是方程的解。 知识点六等式的性质（二） 1、等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则ac=bc或a÷c=b÷c(c≠0)。 知识点七利用等式的性质（二）解方程 1、解形如ax=b或x÷a=b(a≠0)的方程，可根据等式的性质(二)，在方程的两边同时除以或乘“，使方程左边只剩未知数，这时方程右边的数b÷a或bxa就是x的值。 知识点八列方程解决简单的实际问题 1、列方程解决简单的实际问题的一般步骤：①弄清题意，设未知数x；②找出相等关系列方程；③解方程；④检验，写答语。 知识点九用形如 ax±b=c的方程解决实际问题 1、解形如ax±b=c的方程，先根据等式的性质(一)在方程两边同时减去(或加上)b，得到ax=c∓b，再根据等式的性质(二)在方程两边同时除以。，使方程左边只剩下未知数x，这样就可求出x的值了。 知识点十用形如 ax±bx=c的方程解决实际问题 1、解形如ax±bx=c的方程，要先根据加法的意义将方程左边化简为(a±b)x，得到(a±b)x=c，再根据等式的性质(二)在方程两边同时除以(a±b)，使方程左边只剩下未知数x，这样就可求出x的值了。 考点01 等式的认识及列等量关系式 1．把下面的数量关系补充完整。 （1）（ ）×时间＝路程。 （2）平行四边形的面积＝底×（ ）。 （3）小明的身高比小军高0.2米。（ ）＋0.2＝（ ）。 2．列出下列情境中的等量关系。 李明买了4支铅笔，他付给售货员20元，找回8元。（ ） 3．观察下面两架平衡的天平，每个苹果（ ）克，每个梨（ ）克。 考点02 方程的认识 4．下面的式子哪些是等式？哪些是方程？（填序号） ①8＋x＝30    ②27×3＝81    ③42－20＜50    ④9y＝36 ⑤57÷3＝19    ⑥y÷7＝11    ⑦16－x    ⑧x＋4＞18 5．下面式子中，（ ）是等式，（ ）是方程。（在括号里填序号） ①，②，③，④，⑤。 6．在①0.5a＋10＝230，②4x－3，③a＋b＜10，④5×4＝20，⑤7x－18＝66，⑥67－17＝50中，是方程的有（ ）；是等式的有（ ）（填序号）。 考点03 列简易方程 7．根据数量关系列出方程，不用求解。 一本故事书有y页，小轩已经看了68页，还剩下19页。（ ） 8．一大杯牛奶有x克，正好倒满4个相同的小杯子，每个小杯子可以盛75克牛奶。 方程： ＝4。 9．只列方程不计算。 南京航天航空大学（天目湖校区）距离溧阳站3000米，小楠和小刚两人分别从南京航天航空大学（天目湖校区）和溧阳站同时出发，相向而行。经过20分钟相遇。已知小楠的速度是70米/分，小刚的速度是多少米/分？ 解：设小刚的速度是x米/分。 考点04 等式的性质1和2 10．根据等式的性质在横线上填运算符号，在括号里填数。          （ ）     （ ） 11．认真看图，细心填空。 x＝50    x＋（ ）＝50＋（ ）    x＋40－（ ）＝50＋（ ）－（ ） 我发现：等式两边同时加上或减去（ ），所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 12．如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在〇里填运算符号，在横线里填数。 3a＋6＝5b〇________ 3a〇________＝5b÷5 考点05 应用等是的性质1和2解方程 13．解方程。                                  14．解方程。                              15．解方程。 12＋2.5x＝36         3x÷8＝6          2.5x－2＝5.5 x－24＋50＝100      12x－5x＝49       10.5－2x＝2.5 考点06 列方程解含一个未知数的问题 16．甲、乙两人骑摩托车同时从相距190千米的两个城市出发，相向而行。甲的速度是36千米/时，乙的速度是40千米/时，经过多少小时两人相遇？ 17．公交车上原来有46名乘客，到百货公司站下去一些乘客，这时车上还有29名乘客。在百货公司站下去了多少名乘客？ 18．学校开运动会，六年级有72人参加跑步比赛，48人参加跳高比赛。六年级参加跑步比赛的人数比三年级参加跑步比赛人数的2倍还多6人，六年级参加跳高比赛的人数比三年级参加跳高比赛人数的5倍少7人。 （1）三年级有多少人参加跑步比赛？     （2）三年级有多少人参加跳高比赛？ 考点07 列方程解含两个未知数的问题 19．庆“六一”联欢会上，男生和女生开展夹球比赛。女生比男生多夹了40个球，女生夹球的个数是男生的3倍，男、女生各夹多少个球？（列方程解决问题） 20．小明和小华两人集邮，小明的邮票数是小华的3倍，小明比小华多90枚。小明和小华各有多少枚邮票？（列方程） 21．学校组织六年级500名师生去参观博物馆，共付门票费2150元。已知每张教师票是10元，每张学生票是4元。六年级的教师和学生各买了多少张门票？ 考点08 列方程解稍复杂的实际问题 22．把一根长90米的绳子分成三段，使第一段比第二段长2米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？ 23．某市2010年年初，在校大、中、小学共有学生214万人，其中在校大学生比在校中学生多49万人，在校中学生比在校小学生多21万人，请问该市2010年年初大、中、小学各有多少在校学生？ 24．图书馆新到一批图书，要平均放在几个新书架上，如果每个书架放60本，那么还缺2个书架；如果每个书架放68本，那么正好放完，一共有几个新书架？这批图书共有多少本？ 考点09 列方程解和差倍问题 25．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国运动健儿奋力拼搏，与美国队并列金牌榜第一。作为亚洲国家，我国金牌数是日本金牌数的2倍，我国和日本的金牌数一共是60枚，我国金牌多少枚？（用方程解答） 26．学校举行“暑假读一本好书”活动，共有968个同学参加，其中女生人数是男生的1.2倍。参加这项活动的男生、女生各有多少人？ 27．端午节，乐乐妈妈买了一些鸡蛋和粽子。鸡蛋比粽子多50个，鸡蛋的个数是粽子的3倍，乐乐妈妈鸡蛋、粽子各买了多少个？（建议列方程解答） 考点10 列方程解年龄问题 28．祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 29．小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 30．妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 考点11 列方程解相遇问题 31．北京到呼和浩特的铁路线长660千米，一列火车从呼和浩特开出，每时行驶120千米；另一列火车从北京出发，每时行驶144千米，两列火车同时开出，经过几时相遇？（用方程解答） 32．两地间的路程是540千米，甲乙两车同时从两地相对开出。2.5小时后相遇，甲车每小时行56千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 33．小刚和小强两人同时从家里出发，相向而行。 两人经过几分钟相遇？在图中用“”标出相遇时的大致位置。相遇时，小强走了多少米？ 考点12 列方程解稍复杂的行程问题 34．明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 35．小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 36．小红和小朵相距660m，她们相约见面，小红出发2分钟后小朵出发，又经过4.4分钟后她们相遇了。已知小红每分钟步行55米，小朵每分钟步行多少米？ 基础试炼 一、填空题 1．苹果之乡今年的苹果冠军重0.67，比小明摘的一个苹果的2倍还多0.17。小明摘的这个苹果重（ ）。 2．同学们分糖果，如果每人分5 颗就多3 颗；如果每人分9 颗就少5 颗。共有（ ）位同学，共有（ ）颗糖果。 3．植树节，六年级老师和学生共150人去植树，老师每人栽树3棵，学生每2人栽树1棵，一共栽了200棵。有（ ）名学生参加了植树。 4．市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来（ ）千克，苹果运来（ ）千克。 5．李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分（ ）米。 6．小华x岁，爸爸的年龄比小华的4倍少2岁，爸爸（ ）岁；如果爸爸38岁，小华（ ）岁。 7．在括号里填上合适的数，使每个方程的解为x＝6. （ ）＋x＝8.4    （ ）－x＝8.4    x＋（ ）＝7.2 （ ）－x＝7.2    x＋（ ）＝8.25    x－（ ）＝4.5 8．在括号里填含有字母的式子。 水果店里梨有x箱，苹果的箱数是梨的4倍，苹果有（ ）箱，苹果和梨一共有（ ）箱，梨比苹果少（ ）箱。 9．有一个计算流程如下图所示。 当输入的数为3时，输出的结果是（ ）；如果输出的结果是24，那么输入的数是（ ）。 10．一个除法算式的商是15，没有余数，被除数和除数的差是140，被除数是（ ），除数是（ ）。 二、选择题 11．美美的年龄和好好相差8岁，美美的年龄刚好是好好年龄的3倍。那么美美的年龄是（    ）。 A．9岁 B．12岁 C．15岁 D．18岁 12．下面的式子中，（    ）不是方程。 A． B． C． D． 13．根据“合唱比赛中女生人数比男生人数多50人，女生人数是男生人数的3倍”，设合唱比赛中的男生人数是x人。下列方程正确的是（    ）。 A．3x－x＝50 B．3x＋x＝50 C．3x＋50＝x 14．一艘船以同样的速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流需要8小时。如果水流速度是每小时2千米，则两地间的距离是（    ）千米。 A．80 B．96 C．100 D．120 15．佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（    ）。 A． B． C． 16．甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米。途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达B地。A、B两地间的路程是（    ）。 A．270 B．400 C．360 D．800 17．食堂买来3000千克煤，用了4天，还剩下1000千克。平均每天用煤多少千克？解：设平均每天用煤x千克，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 18．下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①方程都是等式，所以等式也都是方程。     ②方程1＋0.25y＝2.5的解是y＝6。 ③如果a＋6＝b－1，那么a＞b。            ④等式两边同时除以同一个数，等式仍然成立。 A．1 B．2 C．3 D．4 19．已知2a＝3b（a、b为非零自然数），根据等式的性质，下面不成立的是（    ）。 A．50a＝75b B．20a＝3b＋18a C．4a＝9b D．12b＝8a 20．小宇有a本笔记本，小恒有b本笔记本，如果小宇给小恒10本后，两人的练习本数量相等。下面的等量关系中，正确的是（    ）。 A．a－b＝10 B．a＝b－10 C．a－10＝b＋10 D．a＋10＝b－10 三、计算题 21．解下列方程。                                     22．解方程。                   高阶突破 四、解答题 23．小明和小红一起去买同一种本子，小红买本子花的钱正好是小明的3倍，且比小明多花了28.8元。小明和小红买本子各花了多少元？（列方程） 24．育才小学三、四年级学生共植树360棵，其中四年级植树的棵数比三年级的2倍还多30棵。三年级植树多少棵？（列方程解答） 25．一列特快列车和一列动车同时从甲城开往乙城，特快列车的速度是138千米时。经过3小时，动车比特快列车多行了201千米。动车的速度是多少千米时？（列方程解答） 26．甲、乙两个科研小组共同获得一笔奖金，甲组人数是乙组人数的2倍。这笔奖金一共有多少万元？ 27．我国测量温度常用℃（摄氏度）作单位，有时还使用℉（华氏度）作单位。华氏温度和摄氏温度可以用下面的公式进行换算：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，华氏温度计上如果表示的温度是86°F，相当于多少℃？ 28．2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。中国神舟飞船由推进舱、返回舱和轨道舱组成，轨道舱长2.8米，比返回舱长度的1.2倍多0.4米，返回舱长多少米？（用方程解） 29．朝阳小学弘扬劳动精神，培养学生劳动能力，开发了112平方米劳动实践基地。将基地划分为16块同样大小的菜地和8块同样大小的中药材种植地。其中每块菜地的面积是每块中药材种植地面积的3倍。每块菜地和每块中药材种植地的面积各是多少平方米？ 30．甲、乙两队共同修一条路，修了12天后，甲队比乙队多修360米。已知乙队每天修80米，甲队每天修多少米？ 31．同学们参观“抗震救灾英雄事迹展览”。四、五年级一共去了264人，五年级去的人数是四年级的1.2倍。两个年级各去了多少人？ 32．（1）学校为舞蹈队的16名女同学购买上衣和裙子，一共用去1520元。每件上衣60元，每条裙子多少元？ （2）学校为舞蹈队的女同学购买上衣和裙子，一共用去1520元。每件上衣60元，每条裙子35元，一共购买了多少套？ 学科网（北京）股份有限公司 $$