10.2 二倍角的三角函数同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

10.2　二倍角的三角函数 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2024江苏南通通州质量监测)sin 20°cos 20°-cos225°=(　　) A.1　　B. 2.(多选题)(2024江苏宿迁宿豫中学学情调研)下列四个式子中,计算正确的是(　　) A.2cos215°-1=　　 B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.　　 D.cos222.5°-cos267.5°= 3.(2024江苏连云港高级中学期中)计算:cos 40°=　　　.  题组二　给值求值 4. (2024黑龙江齐齐哈尔恒昌中学校月考)已知, 则sin 2θ=(　　) A.- 5.(2023江苏南京开学考试)已知cos=(　　) A. 6.(2024浙江绍兴适应性考试)已知x∈=(　　) A.- 7.(2023江苏江阴高级中学期末)已知sinsin 2α=(　　) A. 8.(2024江苏镇江扬中第二高级中学学情调研)已知sin=　　　　.  9.已知tan α=-. (1)求tan 2α的值; (2)求的值; (3)求sin的值. 题组三　给值求角 10.(2024吉林长春东北师范大学附属中学阶段验收考试)已知α∈,则2α-β的值为(　　) A.- 11.(2024江苏常州教育学会学业水平监测)已知α为钝角,tan=2. (1)求tan的值; (2)若锐角β满足7tan2β-7=2tan β,求α+2β的值. 题组四　倍角公式的综合应用 12.(2024江苏扬州中学期中)函数f(x)=2sin x·cos x+2cos2x的最大值是(　　) A.1　　B. C. 13.(2022北京师范大学附属实验中学开学考试)在△ABC中,若sin Bsin C=cos2,则△ABC一定是(　　) A.等边三角形　　B.等腰三角形 C.直角三角形　　D.等腰直角三角形 14.(2024江苏泰州中学期中)若△ABC所在平面内一点P满足,则cos 2α=(　　) A. C. 15.(2022江苏宿迁沭阳修远中学期中)设a=tan 37°tan 23°,c=4sin 16°sin 74°,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b C.c<b<a　　D.c<a<b 16.证明:=tan A. 17.(2024山东德州夏津第一中学月考)已知a=(cos x,1),b=(sin x,-1),f(x)=(a+b)·a-. (1)若a∥b,求cos 2x的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 能力提升练 题组一　利用倍角公式化简求值 1. (2022江苏南通模拟)在△ABC中,若tan A+tan B+ tan Atan B,则tan 2C=(　　) A.-2 2.(2024广东佛山教学质量检测)已知角θ满足=0,则cos 2θ的值为(　　) A.- 3.(2024黑龙江双鸭山友谊高级中学模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表,这是世界数学史上较早的正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ的正切值的乘积,即l=htan θ.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次的太阳天顶距分别为α,β,第二次的“晷影长”是“表高”的3倍,且cos 2α+sin 2α=-,则tan(α-β)的值为(　　) A.-　　 C.4　　D.13 4.(多选题)(2023江苏南京第一中学期末)已知α,β均为第二象限角,且sin αtan,则下列各式可能成立的是(　　) A.α=β　　B.α>β　　 C.α=2β　　D.α>2β 5.(2022上海川沙中学阶段练习)已知tan 2θ=-2=　　　.  题组二　倍角公式的综合应用 6.记集合A=[a,b],当θ∈sin θcos θ+2cos2θ的值域为B,若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则b-a的最小值是　　　　.  7.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=sin 2x. (1)求f(x)在[0,π]上的增区间; (2)求函数g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和. 8. (2023江苏常熟中学期末)如图,某景区的平面图是一个半圆形,其直径AB的长为2 km,C和D两点在半圆弧上,且满足BC=CD. 设∠COB=θ.现要在景区内铺设一条观光道路,由AB,BC,CD和DA四条直道组成,试确定当θ为何值时,观光道路的总长l最大,并求出l的最大值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　sin 20°cos 20°-cos225°= =.故选D. 2.BCD　对于A,2cos215°-1=cos 30°=,故A错误; 对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=,故B正确; 对于C,,故C正确; 对于D,cos222.5°-cos267.5°=cos222.5°-sin222.5°=cos 45°=,故D正确.故选BCD. 3.答案　1 解析　cos 40° =cos 40°· =cos 40°· =cos 40°· =cos 40°·=1. 4.D　(*), 对(*)式等号两边同时平方,得cos2θ-2sin θcos θ+sin2θ=1- sin 2θ=.故选D. 5.D　sin.故选D. 6.B　解法一:因为x∈, 又sin, 从而sin, 所以tan.故选B. 解法二:因为x∈, 又sin, 所以tan, 则tan.故选B. 7.A　由sin, 则cos 2α+ =2cos =2.故选A. 8.答案　 解析　因为sin, 所以sin. 9.解析　(1)∵tan α=-. (2)由tan α=-, 可得. (3)由tan α=-, 可得sin 2α=, cos 2α=, ∴sin =-. 10.B　由已知可得tan[2(α-β)]=, 所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]==-1, 因为β∈, 又α∈.故选B. 11.解析　(1)∵tan α=, ∴tan=7. (2)由7tan2β-7=2tan β可得tan β=, 由β是锐角得tan β=, 所以tan 2β==-7, 所以tan(α+2β)==1. 由0<β<<2β<π, 又. 12.C　f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=+1. 故选C. 13. B　由题意得sin Bsin C=, 即sin Bsin C=1-cos Ccos B, ∴cos(C-B)=1, ∵0<B<π,0<C<π,∴-π<C-B<π, ∴C-B=0,即C=B, ∴△ABC一定是等腰三角形.故选B. 14.B　∵, ∴, 又, ∴sin2α=, ∴cos 2α=cos2α-sin2α=.故选B. 14. B　= sin 28°+cos 28°, =cos 28°- sin 28°, ∴a==2sin 28°<2sin 30°=1, ∵tan 60°=tan(23°+37°)=, ∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°, ∴b=tan 23°+tan 37°+,故b>a. c=4sin 16°sin 74°=4sin 16°cos 16°=2sin 32°>2sin 30°=1,则c>a. ∵2sin 32°<2sin 60°=,∴c<b,∴b>c>a.故选B. 16.证明　左边= = = ==tan A=右边,故原式得证. 17.解析　(1)因为a=(cos x,1),b=(sin x,-1),a∥b, 所以, 所以cos 2x=cos2x-sin2x=. (2)f(x)=(a+b)·a- =( =3cos2x+ =3· =cos 2x+1 =+1, 令-+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ,k∈Z, 即f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 解题模板　应用公式解决三角函数综合问题的步骤 运用两角和与差的三角函数公式、倍角公式化简统一化成f(x)=asin ωx+bcos ωx+k的形式利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质. 能力提升练 1.A　由题意得tan A+tan B=(tan Atan B-1), 所以tan(A+B)= =, 所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=, 所以tan 2C=. 故选A. 2.C　由已知得 ==0, 则3sin2θ-4sin θ-4=(3sin θ+2)(sin θ-2)=0, 解得sin θ=-, 则cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×. 故选C. 3.B　由已知得tan β=3,tan α>0. 易得cos 2α=, 所以cos 2α+sin 2α= (舍去), 故tan(α-β)=. 故选B. 4.BD　∵sin αtan, ∴2sin, ∴2sin, ∵α,β均为第二象限角,∴,即cos α=2cos β+1. 若α=β,则cos β=2cos β+1,得cos β=-1,显然不成立,故A错误; 若α=2β,则由β∈,k∈Z,得α∈(π+4kπ,2π+4kπ),k∈Z,即α不为第二象限角,与已知矛盾,所以C错误; 由终边相同的角的概念结合上面的计算易知,可以出现α>β,α>2β的情况,故B,D正确. 故选BD. 5.答案　-3+2 解析　由已知得tan 2θ=, 解得tan θ=. 因为, 则. 方法技巧　化简求值时,若分子、分母不是齐次式,则应注意利用降幂或者升幂公式将分子、分母化为齐次式,当已知正切值时,一般要进行弦切互化. 6.答案　3 解析　f(θ)=+1, ∵θ∈, ∴f(θ)∈[0,3],即B=[0,3], 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B⊆A, ∴∴b-a≥3.故b-a的最小值为3. 7.解析　(1)f(x)=sin 2x =sin 2x =sin 2x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=. 令2kπ-(k∈Z),则kπ-(k∈Z), 又0≤x≤π,∴0≤x≤≤x≤π, 故f(x)在[0,π]上的增区间为. (2)令g(x)=0,得f(x)=, ∴2x+(k∈Z), 则x=kπ+π(k∈Z), 又x∈[-2π,2π],∴k的值可取-2,-1,0,1, 对应的零点分别为-2π+,其和为-3π. ∴g(x)=f(x)-在[-2π,2π]上的所有零点之和为-3π. 8.解析　取BC的中点M,AD的中点N,连接OM,ON,如图. 由垂径定理可得OM⊥BC,ON⊥AD. 由题意得∠BOM=,∠AOD=π-2θ, 故AD=2AOsin=2cos θ, 则l=2+2×2sin+5, 因为0<θ<, 故当sin+5取得最大值,即观光道路的总长最大,最大总长为5 km. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$