精品解析：福建省厦门市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题

厦门市2024～2025学年第一学期高一年级质量检测 数学试题 2025.1 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据自然数集的定义和并集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可求解. 【详解】，的否定是: ，, 故选：D 3. 若，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 5. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知等价于，等价于，即可得结果. 【详解】若，等价于，即， 若，等价于， 可知等价于， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 6. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指对互化、对数的运算性质，根据对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以，所以， 因为在定义域上单调递增，所以， 又在定义域上单调递增，所以，所以， 即，所以，所以. 故选：C 7. 设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再根据二次函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为， 又因为函数的值域为R， 所以，解得， 当时，函数的值域为， 函数的值域为， 所以时，函数的值域为，与题意矛盾， 综上所述，a的取值范围是. 故选：C. 8. 设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（ ）． A. B. 1 C. 或1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合偶函数的对称性可知除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现，由即可得的值，并代入检验即可； 【详解】易知函数，均为偶函数，除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现， 由曲线与恰有3个交点可知，， 即，解得或1． 当时，，，由图象分析可知恰有1个交点，不符合题意； 当，，，由图象分析可知符合题意． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数函数的单调性，不等式的性质逐个判断即可； 【详解】对于A，由单调递增可知：正确； 对于B，取，显然不成立，错误； 对于C：因为，所以正确， 对于D：由， 因为， 所以， 所以 正确， 故选：ACD 10. 已知，分别为第一、第三象限角，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同角基本关系式求出，，从而逐项判断. 【详解】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 11. 已知函数，则（ ）． A. 的定义域为 B. 在区间单调递增 C. 的图象关于对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A由对数函数的定义域即可判断；选项B，由复函函数的单调性满足“同增异减”即可判断；选项C，由于，则可判断的正误；选项，结合选项的结论可得，则选项的正误可判断. 【详解】选项A：的定义域为，选项A正确； 选项B：当时，， 因为在区间单调递增， 根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确； 选项C：， 所以的图象关于点对称，选项C错误； 选项D：由C可知， 所以，即， 因为，所以， 当时，， 因为在为增函数且恒成立， 所以在区间单调递增， 所以， 即，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解； 【详解】， 故答案为： 13. 设，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程因式分解结合对数运算求解即可； 【详解】， 即， 即，又， 所以， 解得：， 故答案为： 14. 如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度大小之比为__________．若，则关于t的一个函数解析式为__________． 【答案】 ①. （或2） ②. （答案不唯一）． 【解析】 【分析】做圆周运动的质点在相同时间内运动的弧长相等，通过计算可求的角速度之比，利用待定系数法设，利用周期、振幅、相位等概确定三角函数表达式中的参数即可求得结果. 【详解】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度大小之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】（1） 0 x 0 2 0 0 （2）， 【解析】 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以对称中心的坐标为 16. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为． （1）当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； （2）若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 【答案】（1） （2）3小时，， 【解析】 【分析】（1）分别计算小岛开往上岸点时间和上岸点到城镇所需的时间，相加即可； （2）由题意得到，结合基本不等式求解即可； 【小问1详解】 由题意知，小岛距离上岸点的距离， 小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇的距离， 上岸点到城镇所需的时间， 故甲从小岛到城镇所需的时间为． 【小问2详解】 小岛开往上岸点所需的时间， 上岸点到城镇所需的时间， 记甲从小岛到城镇所需的时间，其中， 所以， 整理得，， 当且仅当，此时，，． 答：当，时，小岛到城镇所需时间最短，为3小时． 17. 设函数，其中，且． （1）当时，求的零点个数； （2）若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 【答案】（1）函数恰有一个零点 （2）a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74，理由： 当时，由（1）可知，是增函数， 至多有一个零点，不符合题意； 当时，，， ，， 当时有，，符合题意； 此时，解得，， 因为，（或也可） 且， 所以a的可能值为0.71，或0.72，或0.73，或0.74． 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性和零点存在性定理判断； （2）由（1）可知，根据零点存在性定理得，从而求解a的值. 【小问1详解】 时，， 因为，， 所以，由零点存在定理，在区间存在一个零点， 因为和均在单调递增， 所以在单调递增， 所以函数恰有一个零点． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式； （3）当时，若关于x的方程有解，证明：． 【答案】（1） 是奇函数，理由： 的定义域为R， 因为， 所以是奇函数； （2） （3） 因为，所以， 所以， 设，可得， 所以， 所以， 当时，，无解，不符合题意； 当时，整理可得，， 设，， 因为， 所以为奇函数，只需考虑， ①若，则， 因为在单调递减， 所以在单调递减， ②若，则，则在单调递减， 若，则，所以， 由双勾函数的单调性可得在单调递减， 所以当时，在单调递减， 又，所以，即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义求解即可； （2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可； （3）求出函数的值域，再换元令，则，当时，整理可得，构造函数，，分类讨论求出函数的值域即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，且， 则， 因为，所以，， 所以，所以是R上的减函数， 等价于， 即， 因为是R上的减函数，所以， 整理得，解得； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到或，的定义域为，所以或，从而求出区间长度； （2）（ⅰ）不等式解集为或，设的两个根为，的两个根为，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，结合正弦和差公式得到答案； （ⅱ）由（ⅰ）可得，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到，所以，所以，故，所以，故的最大值为. 【小问1详解】 时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； 【小问2详解】 （ⅰ），， 其中，故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或， 所以 或 ； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 则， 即， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或， 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以， 由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市2024～2025学年第一学期高一年级质量检测 数学试题 2025.1 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 7. 设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（ ）． A. B. 1 C. 或1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 10. 已知，分别为第一、第三象限角，且，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ）． A. 的定义域为 B. 在区间单调递增 C. 的图象关于对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 设，若，则__________． 14. 如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度大小之比为__________．若，则关于t的一个函数解析式为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 16. 如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，某城镇位于的正东方向，且与的距离为．甲乘坐小船从小岛前往小镇，先到达海岸线上的点处（其中，之间的距离为），再从出发步行到达该城镇．已知小船的平均速度为，甲的步行速度为． （1）当，时，求甲从小岛到城镇所用时间； （2）若，求甲从小岛到城镇所需的最短时间与相应的，． 17. 设函数，其中，且． （1）当时，求的零点个数； （2）若在区间和内均存在零点，写出一个满足题意的a（结果保留两位小数），并说明理由． 参考数据：…． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式； （3）当时，若关于x的方程有解，证明：． 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $