精品解析：广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度第二学期高一年级 全国港澳台侨联考开学考试 数学试卷 试卷总分The total mark for this paper is 150 考试时间 The total time is 120 minutes 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再求子集可得答案. 【详解】集合， 则的子集有，共四个. 故选：D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用反例可判断BDC的正误，根据不等式的性质可判断AC的正误. 【详解】对于A，取，则，若，则， 故若，则，故成立，故A正确； 对于B，取，则成立，但， 故B错误； 对于C，取，则成立，但 ， 故C错误； 对于D，取，则，， 但，故D错误； 故选：A. 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本基本不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案. 【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法， 在函数中，，解得且. 则定义域为. 故选：C. 6. 已知函数则（ ） A. 3 B. 9 C. 19 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：B 7. 函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可. 【详解】由题意,的图象开口向上，对称轴为直线， 因为在区间上单调递减，所以， 解得. 故选：C. 8. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 9. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 10. 已知，则实数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】由函数单调递增， 则， 由单调递增， 则， 由单调递减， 则，即， 所以. 故选：B 11. 已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得出，分析函数的单调性，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，， 因为函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式解集为. 故选：A. 12. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行代换，从而求出答案. 【详解】由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，解得或， 故选：C 二、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知扇形的圆心角为，所对的弧长为，则这个扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用弧度制下扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】设扇形半径为，且， 根据弧长公式，则， 所以扇形的面积为. 故答案为： 14. 已知，，，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 15. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质可得定点的坐标，从而可得，再利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】函数（且）的图象恒过定点A，则， 又点A在一次函数的图象上，所以，故， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 16. 已知，那么的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，变为，计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 17. 已知在上满足，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为函数为减函数，结合一次函数单调性，二次函数单调性及减函数定义列不等式可求的范围. 【详解】因为函数在上满足， 所以函数为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 18. 关于的方程有两个不等的实根，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个不等的实根，得，再由韦达定理求解即可. 【详解】因为关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得或， 综上，或. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 三、选择题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）由分式不等式转换成一元二次即可求解； （3）由指数运算性质即可求解； （4）由对数的运算性质即可求解； 【小问1详解】 由 可得：，又， 所以解集为： 【小问2详解】 由移项通分可得：， 等价于且， 所以解集为： 小问3详解】 【小问4详解】 20. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解，代入计算即可； （2）结合弦切互化利用诱导公式化简，代入计算即可. 【小问1详解】 由三角函数的定义可得， 所以； 【小问2详解】 21. 已知函数且. （1）若，求函数的定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）定义域为，值域为； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，可得函数的解析式，进而求出函数的定义域，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可求得函数的值域； （2）分、两种情况讨论，利用复合函数的单调性列出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，所以， 又函数为增函数，所以， 故当时，函数的定义域为，值域为. 【小问2详解】 当时，函数为减函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，且在上恒成立， 所以，该不等式组无解； 当时，函数为增函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 22. 已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数m的值； （2）判定的单调性并证明； （3）若实数满足，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可； （2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性； （3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围. 【小问1详解】 因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即，检验如下， 此时，所以， 故奇函数，满足要求. 所以. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 任取且，则， 因为，所以，又，， 所以，所以在上单调递减. 【小问3详解】 法1：因为，所以可化为 因为在上单调递减，所以， 即，所以，解得. 法2：在中，令，则， 即，即，所以， 即，所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高一年级 全国港澳台侨联考开学考试 数学试卷 试卷总分The total mark for this paper is 150 考试时间 The total time is 120 minutes 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C 若，则 D. 若，，则 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则（ ） A. 3 B. 9 C. 19 D. 33 7. 函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 9. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则实数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 已知扇形的圆心角为，所对的弧长为，则这个扇形的面积为______. 14. 已知，，，则的取值范围是____________. 15. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为____________. 16. 已知，那么的值是______. 17. 已知在上满足，则实数的取值范围为________ 18. 关于的方程有两个不等的实根，且，则实数的取值范围是______． 三、选择题：本题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 在直角坐标系内，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点. （1）求值：； （2）先化简再求值：. 21. 已知函数且. （1）若，求函数的定义域及值域； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 22. 已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称. （1）求实数m的值； （2）判定的单调性并证明； （3）若实数满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$