精品解析：黑龙江省佳木斯市第二十中学2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年度上学期九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 2. 如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，若，则为（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则方程可变为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式是（　　） A B. C. D. 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 9. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 12. 对二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为________． 13. 抛物线的顶点坐标是__________． 14. 深圳沙井某服装厂2018年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2020年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 ___． 15. 若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 16. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤深度为时，汤面的直径长为______． 17. 已知：在中，，，点D在外，且，，，则________． 18. 如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为________． 19. 如图，，，将绕点B逆时针旋转，得到，设与交于点F，连接，当为等腰三角形时，________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是________． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程 （1）； （2）． 22. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形边长为1个单位长度；已知的位置如图． （1）将向轴正方向平移5个单位得，画出平移后的； （2）以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的，并标明对应字母； （3）和关于点中心对称，请直接写出点的坐标 　 　． 23. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根： （2）若方程的两个根分别为，且，请求出m的值． 25. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． （1）若花园的面积为，求的值； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 26. 如图，矩形中，，相交于点O，，P是直线上（不与点A，B重合）的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点P在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； （2）如图②，当点P在线段的延长线上时：如图③，当点P在线段的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请选择其中一种情况进行证明：若不成立，请说明理由． 27. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 28. 解答题 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； （3）直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 2. 如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质得：，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 用配方法解方程，则方程可变为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，即， 故选：D． 4. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先将解析式变形为，再根据“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：， 该图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线解析式为：， 故选C． 5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x－1)＝2070 B. x(x＋1)＝2070 C. 2x(x＋1)＝2070 D. ＝2070 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人， ∴全班共送：（x﹣1）x=2070， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系是解决问题的关键． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解： A、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意； B、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，对称轴在轴右侧，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，符合题意； 故选D． 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，将点绕点顺时针旋转90°得到点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，由旋转的性质可得，，列出等式，把每个选项的横坐标代入验证即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴由旋转的性质可得，， 即， 整理得， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故只有选项A的坐标满足题意，选项B、C、D都不满足题意， 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 8. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 9. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称 设与交点为，则， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴没有交点， ∴，故②错误； 由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为， ∵过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵抛物线的最低点是， ∴若点在该抛物线上，则，故④正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 12. 对二次函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ，解得：， 故答案为：． 13. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】（-1,-3） 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 14. 深圳沙井某服装厂2018年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2020年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 ___． 【答案】8(1-x)2=5.12 【解析】 【分析】利用该服装厂2020年的销售额=该服装厂2018年的销售额×（1-平均每年下降的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：8(1-x)2=5.12． 故答案为：8(1-x)2=5.12． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于直线的对称点是， ，且随的增大而增大， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 16. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 已知：在中，，，点D在外，且，，，则________． 【答案】或30度 【解析】 【分析】根据题意将绕点顺时针旋转得到，连接，得出，从而得出，证出是等边三角形，得出，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， 则如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形． 18. 如图，和都是等腰直角三角形，，，O为中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的的值，即可求得线段的最小值． 【详解】解：取的中点为点，连接， ， ， 即， ，O为中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题． 19. 如图，，，将绕点B逆时针旋转，得到，设与交于点F，连接，当为等腰三角形时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ， ， ， 根据三角形外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得：， ③时，， 解得：， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题． 【详解】由图象可知点在第一象限， ∵，，， ∴， ∴，，，…， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 三、解答题（共60分） 21. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的基本方法． （1）根据配方法进行求解即可； （2）用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 22. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知的位置如图． （1）将向轴正方向平移5个单位得，画出平移后的； （2）以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的，并标明对应字母； （3）和关于点中心对称，请直接写出点的坐标 　 　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向 轴正半轴平移5个单位的对应点 、 、 的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点 、 、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据中心对称的定义即可求解． 【小问1详解】 如图所示； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 如图所示：点即为所求． 【点睛】本题考查平移、旋转及中心对称作图，熟练掌握作图方法是解题关键． 23. 如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由 【答案】（1） （2）不在该抛物线上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的特征，全等三角形的性质与判定，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再代入点A的坐标求解即可； （2）如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C，通过证明，得到，求出，在中，求出当时，y的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：设该二次函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴该二次函数解析式为； 小问2详解】 解：不在该抛物线上，理由如下： 如图所示，作轴，轴，垂足分别为D、C， ∴， ∵， ∴ 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴不在该抛物线上． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根： （2）若方程的两个根分别为，且，请求出m的值． 【答案】（1）见详解 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入，求解即可． 【小问1详解】 证明： ， ， ， 故无论取何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 代入，得出， 解得：或． 25. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． （1）若花园的面积为，求的值； （2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【答案】（1）的值为12或16 （2）花园面积S的最大值为192平方米 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出长×宽，进而得出答案； （2）由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值． 【小问1详解】 解：∵，则， ∴， 解得：，， 答：的值为12或16； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵在处有一株树与墙，的距离分别是和， ∵， ∴， ∴当时，S取到最大值为：， 答：花园面积S的最大值为192平方米． 26. 如图，矩形中，，相交于点O，，P是直线上（不与点A，B重合）的一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点P在线段上时，请直接写出线段，的数量关系； （2）如图②，当点P在线段的延长线上时：如图③，当点P在线段的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请选择其中一种情况进行证明：若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及矩形的性质．连接，构造等边三角形和全等三角形是解题的关键． （1）连接，由旋转可知，，，证明是等边三角形，得出，，根据矩形的性质得出，根据三角形外角的性质和等量代换得出，证明，根据全等三角形的性质即可证明． （2）①当点P在线段的延长线上时，连接，同（1）证明，根据全等三角形的性质即可证明． ②当点P在线段的延长线上时，如图③，连接，同（1）证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图①，连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当点P在线段的延长线上时：如图②，（1）中结论成立． 理由如下： 连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②当点P在线段延长线上时，如图③，（1）中结论成立． 理由如下：连接， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 27. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1） （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 【小问3详解】 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 28. 解答题 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于、两点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点P在直线下方，P运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积； （3）直线上是否存在一点Q，使得以点组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当P点坐标为时， （3）Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点，先用待定系数法求得直线解析式为，，则，当最大时，四边形的面积最大，所以，所以，然后利用求二次函数最值方法即可求解； （3）分两种情况：①当以为平行四边形的边时，②当以为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把、代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点，如图1： ∵， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为，， ∴， 当最大时，四边形的面积最大， ∴， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴当P点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积； 【小问3详解】 解：当以为平行四边形的边时，则在x轴上方有平行四边形，在x轴下方不存在平行四边形， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， ∴； 当以为平行四边形的对角线时，则有平行四边形， ∵， ∴点P、Q关于线段AB中点对称， 设，则， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 综上，存在一点Q，Q的坐标为或，使得以点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，本题属二次函数与面积、特殊四边形的综合题目，难度一般，属中考常考题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$