第5课 平行线的性质-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第5课 平行线的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历平行线的性质的发现过程. 2.掌握平行线的性质. 3.会用平行线的性质进行简单的推理和判断. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 　 ( 能力拓展 )考点01 平行线的性质 【典例1】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF． （1）AE与FC的位置关系如何？为什么？ （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）BC平分∠DBE吗？为什么？ 【思路点拨】（1）证明∠1＝∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得结论； （2）根据平行线的性质可以证得∠A＝∠CBE，然后利用平行线的判定即可证得结论； （3）根据平行线的性质证明∠EBC＝∠CBD即可证得结论． 【解析】解：（1）AE∥FC．理由如下： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义）， ∴∠1＝∠CDB， ∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）； （2）AD∥BC．理由如下： ∵AE∥CF， ∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠CBE， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）； （3）BC平分∠DBE．理由如下： ∵AD平分∠BDF， ∴∠FDA＝∠ADB， ∵AE∥CF，AD∥BC， ∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD， ∴∠EBC＝∠CBD， ∴BC平分∠DBE． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质定理和判定定理的综合运用． 【即学即练1】如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠4 　两直线平行，同位角相等　． ∵∠4＝∠3 　对顶角相等　， 又∠3＝60°（已知）， ∴∠1＝∠3＝ 　60°　（等量代换）． ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝ 　120°　（等式的性质）． 【思路点拨】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4，再利用对顶角相等可得∠4＝∠3，从而可得∠1＝∠3＝ 60°，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解析】解：∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠4两直线平行，同位角相等， ∵∠4＝∠3对顶角相等， 又∠3＝60°（已知）， ∴∠1＝∠3＝ 60°（等量代换）． ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝ 120°（等式的性质）， 故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c所截形成的角，若∠1＝40°，则∠2＝（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【思路点拨】根据平行线的性质两直线平行，同位角相等解答即可． 【解析】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝40°， ∴∠2＝40°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 2．如图，AD∥BC，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 【思路点拨】根据平行线的性质定理判断求解即可． 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3， 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 3．如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 【思路点拨】先利用平角定义可得：∠2＝40°，然后利用平行线的性质即可解答． 【解析】解：如图： ∵∠1＝140°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠C＝40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝68°，则∠2＝（　　） A．68° B．82° C．112° D．120° 【思路点拨】先利用平行线的性质可得：∠1＝∠3＝68°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解析】解：∵直线l1∥l2， ∴∠1＝∠3＝68°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝112°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，下列推理及所论述理由正确的是（　　） A．因为DE∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，两直线平行 B．因为∠2＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，两直线平行 C．因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：两直线平行，内错角相等 D．因为∠1＝∠C，所以DE∥BC．理由是：两直线平行，同位角相等 【思路点拨】此题考查平行线的性质及判定定理，可由同位角，内错角，同旁内角判定其平行，又有平行可得角之间的关系． 【解析】解：A、DE∥BC，所以∠1＝∠C，即两直线平行，同位角相等，题中理由叙述错误，故错误； B、∠2＝∠3，可得DE∥BC，即内错角相等，两直线平行，而不是同位角，故错误； C、DE∥BC，所以∠2＝∠3，即两直线平行，内错角相等，故正确； D、∠1＝∠C，所以DE∥BC，即同位角相等，两直线平行，故错误． 故选：C． 【点睛】熟练掌握平行线的判定及性质，不要将性质与判定混淆． 6．下列语句正确的有（　　） ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可． 【解析】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，应为在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，错误； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，错误； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，因为过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，当a与b相交时，这样的直线c不存在，错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，正确； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质，熟练掌握定义和公理是解答本题的关键． 7．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝50°，则∠EGF的大小为（　　） A．50° B．60° C．65° D．75° 【思路点拨】先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质求出∠BEF的度数，进而求出∠BEG的度数即可得到答案． 【解析】解：∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG＝∠FEG， ∵AB∥CD，∠EFG＝50°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝130°， ∴∠BEG＝65°， ∴∠EGF＝∠BEG＝65°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 8．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝46°18'，则∠2的度数为 　133.7°　． 【思路点拨】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝46°18'，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解析】解：如图： ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝46°18'， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣46.3°＝133.7°， 故答案为：133.7°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　80°　． 【思路点拨】求出∠1＝∠5，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠4＝∠6即可． 【解析】解： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠5＝180°， ∴∠1＝∠5， ∴AB∥CD， ∴∠4＝∠6， ∵∠3＝100°， ∴∠6＝180°﹣∠3＝80°， ∴∠4＝80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 10．如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是　67°　． 【思路点拨】根据平行线的性质和补角的定义可求解． 【解析】解：∵BD∥AC， ∴∠2＝∠C＝75°， ∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣38°﹣75°＝67°． 【点睛】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 11．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝　54　°． 【思路点拨】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解析】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°， ∴∠1＝∠2， ∴AE∥CD， ∴∠BAE＝∠D＝54°， 故答案为：54． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD边上的一点，连接BE． （1）若∠ABE＝∠D，请问AD和BE平行吗？ （2）若BE是∠ABC的平分线，∠C＝130°，求∠BEC的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（1）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABE＝①　∠BEC　（②　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠ABE＝∠D（已知）， ∴∠BEC＝③　∠D　（等量代换）． ∴AD∥④　BE　（⑤　同位角相等，两直线平行　）． （2）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC+⑥　∠C　＝180°（⑦　两直线平行，同旁内角互补　）． ∵∠C＝130°（已知）， ∴⑧　∠ABC　＝180°﹣∠C＝50°（等式的性质）． ∵BE是∠ABC的平分线（已知）， ∴⑨　∠ABE　＝（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠BEC＝⑩　∠ABE　＝25°（两直线平行，内错角相等）． 【思路点拨】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【解析】解：（1）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABE＝∠BEC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABE＝∠D（已知）， ∴∠BEC＝∠D（等量代换）， ∴AD∥BE（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①∠BEC；②两直线平行，内错角相等；③∠D；④BE；⑤同位角相等，两直线平行； （2）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C＝130°（已知）， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝50°（等式的性质）． ∵BE是∠ABC的平分线（已知）， ∴∠ABE＝（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠BEC＝∠ABE＝25°（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：⑥∠C；⑦两直线平行，同旁内角互补；⑧∠ABC；⑨∠ABE；⑩∠ABE． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 13．如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． （1）若AB∥CD，AD∥BC，那么∠1＝∠2吗？说明理由． （2）若AB∥CD，∠1＝∠2，那么AD∥BC吗？说明理由． 【思路点拨】（1）先由AB∥CD得到∠2＝∠3，再由AD∥BC得到∠1＝∠3，即可得到∠1＝∠2； （2）先由AB∥CD得到∠2＝∠3，再由∠1＝∠2得到∠1＝∠3，即可得到AD∥BC． 【解析】解：（1）∠1＝∠2，理由如下： 如图， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2； （2）AD∥BC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 14．如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互补且相等 【思路点拨】分两种情况画图分析，然后利用平行线的性质，即可解答． 【解析】解：分两种情况： 如图： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2； 如图： ∵AB∥CD， ∴∠1+∠2＝180°； 综上所述：如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是相等或互补， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 【思路点拨】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可． 【解析】解：如图， 过点A作AB∥b， ∴∠3＝∠1＝58°， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝32°， ∵a∥b，AB∥b， ∴AB∥a， ∴∠2＝∠4＝32°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算，解本题的关键是正确作出辅助线． 16．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 【思路点拨】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【解析】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 　15°　． 【思路点拨】求出∠ABC＝90°﹣45°＝45°，由平行线的性质推出∠BDF＝∠ABC＝45°，求出∠EDF＝90°﹣60°＝30°，即可得到∠EDB的度数． 【解析】解：∵∠A＝45°，∠C＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°， ∵DF∥CE， ∴∠BDF＝∠ABC＝45°， ∵∠F＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°， ∴∠EDB＝∠BDF﹣∠EDF＝15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BDF＝∠ABC． 18．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　65°　时，AM∥CE． 【思路点拨】先利用平行线的性质可得∠ACD＝130°，再利用角平分线的定义可得∠ACB＝65°，然后利用同位角相等，两直线平行，即可解答． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝130°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACB＝∠ACD＝65°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝65°，AM∥CE， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 19．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若∠CDE＝140°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）证明∠BFD＝∠2，即可得出BC∥DE； （2）先求出∠C的度数，即可得出∠B的度数． 【解析】（1）证明：∵∠1和∠BFD是对顶角， ∴∠1＝∠BFD， ∵∠1＝∠2， ∴∠BFD＝∠2， ∴BC∥DE； （2）解：∵BC∥DE， ∴∠C+∠CDE＝180°， ∵∠CDE＝140°， ∴∠C＝180°﹣140°＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝40°． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定方法是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 【思路点拨】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E＝∠1+∠2整理即可得解． 【解析】解：如图，过点E作EF∥AB， 则∠1＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠C， ∵∠1+∠2＝∠E， ∴180°﹣∠B+∠C＝∠E， ∴∠B+∠E﹣∠C＝180°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目，过拐点作辅助线是解题的关键． 21．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（　　） A．20° B．50° C．70° D．120° 【思路点拨】当点H在点P左侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利用内角和定理求出∠PHA即可；当点H在点P右侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利用内角和定理求出∠PHA． 【解析】解：当点H在点P左侧时， 当ABM＝20°时，过点C作CQ∥MN， 如图1所示， ∵MN∥EF，MN∥CQ， ∴MN∥EF∥CQ， ∴∠PCQ＝∠EPC＝30°， ∵∠BCQ＝∠ABM＝20°， ∴∠PCB＝50°， 依据反射定理可知，∠PCB＝∠HCA＝50°， ∴∠HAP＝80°， ∴∠PHC＝180°﹣80°﹣30°＝70°， 当点H与点P重合时，认为∠PHC＝150°， ∴当点H在点P左侧时，70°≤∠PHG≤150°； 当点H在点P右侧时， 当∠ABM＝70°时，如图2所示， 过点C作CQ∥MN， ∴∠PCQ＝∠EPG＝30°， ∵∠BCQ＝∠ABM＝70°， ∴∠PCB＝100°， 依据反射定理可知，∠PCA＝∠HCB＝100°， ∴∠HAP＝200°﹣180°＝20°， ∴∠PHC＝180°﹣20°﹣150°＝10°， 当点H与点P重合时，认为∠PHC＝30°， ∴当点H在点P右侧时，10°≤∠PHC≤30°， 由上述解答可知，70°≤∠PHC≤150° 或 10°≤∠PHC≤30°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答该题的关键． 22．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解析】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 23．一副三角板按如图所示放置，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，∠CBA＝45°，∠BAD＝30°，过点A的直线EF与过点B的直线MN相互平行，设∠CAE＝α，∠DBN＝β，则α，β满足的等量关系式是 　α﹣β＝45°　． 【思路点拨】过点C作CG∥EF，先利用猪脚模型可得∠EAC+∠CBM＝90°，从而可得∠CBM＝90°﹣α，然后利用平角定义可得∴CBM+∠DBN＝45°，从而可得90°﹣α+β＝45°，进而可得α﹣β＝45°． 【解析】解：过点C作CG∥EF， ∴∠EAC＝∠ACG＝α， ∵EF∥NM， ∴CG∥MN， ∴∠CBM＝∠GCB， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG＝90°， ∴∠EAC+∠CBM＝90°， ∴∠CBM＝90°﹣∠EAC＝90°﹣α， ∵∠CBA＝45°，∠ABD＝90°， ∴∠CBM+∠DBN＝180°﹣∠CBA﹣∠ABD＝45°， ∴90°﹣α+β＝45°， ∴α﹣β＝45°， 故答案为：α﹣β＝45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　8　，b＝ 　2　； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 【思路点拨】（1）依据非负数的性质即可得到a，b的值； （2）依据∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射线AM、射线BQ第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM′′，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间． 【解析】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a﹣8＝0，b﹣2＝0， ∴a＝8，b＝2， 故答案为：8；2； （2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直， 如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∵PQ∥MN， ∴∠ABQ+∠BAM＝180°， ∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°， ∴2t+8t＝90， ∴10t＝90， ∴t＝9， ∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直； （3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°， ∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°； 分两种情况： ①当时，∠QBQ′＝2t°，∠M′AM″＝8t°， ∵PQ∥MN， ∴∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°， 当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″， ∴45﹣2t＝8t﹣15， ∴10t＝60， 解得t＝6； ②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°， ∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°， 当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″， 此时，45﹣2t＝105﹣8t， ∴6t＝60， 解得t＝10； 综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课 平行线的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历平行线的性质的发现过程. 2.掌握平行线的性质. 3.会用平行线的性质进行简单的推理和判断. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 　 ( 能力拓展 )考点01 平行线的性质 【典例1】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF． （1）AE与FC的位置关系如何？为什么？ （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）BC平分∠DBE吗？为什么？ 【即学即练1】如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠4 　 　． ∵∠4＝∠3 　 　， 又∠3＝60°（已知）， ∴∠1＝∠3＝ 　 　（等量代换）． ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝ 　 　（等式的性质）． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c所截形成的角，若∠1＝40°，则∠2＝（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 2．如图，AD∥BC，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠3＝∠4 3．如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝68°，则∠2＝（　　） A．68° B．82° C．112° D．120° 5．如图，下列推理及所论述理由正确的是（　　） A．因为DE∥BC，所以∠1＝∠C．理由是：同位角相等，两直线平行 B．因为∠2＝∠3，所以DE∥BC．理由是：同位角相等，两直线平行 C．因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．理由是：两直线平行，内错角相等 D．因为∠1＝∠C，所以DE∥BC．理由是：两直线平行，同位角相等 6．下列语句正确的有（　　） ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝50°，则∠EGF的大小为（　　） A．50° B．60° C．65° D．75° 8．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝46°18'，则∠2的度数为 　 　． 9．如图所示，若∠1+∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4的大小为　　． 10．如图，BD∥AC，点E在线段AB的延长线上，∠1＝38°∠C＝75°，则∠ABC的度数是　 　． 11．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝　 　°． 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD边上的一点，连接BE． （1）若∠ABE＝∠D，请问AD和BE平行吗？ （2）若BE是∠ABC的平分线，∠C＝130°，求∠BEC的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（1）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABE＝①　 　（②　 　）． ∵∠ABE＝∠D（已知）， ∴∠BEC＝③　 　（等量代换）． ∴AD∥④　 　（⑤　 　）． （2）∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC+⑥　 　＝180°（⑦　 　）． ∵∠C＝130°（已知）， ∴⑧　 　＝180°﹣∠C＝50°（等式的性质）． ∵BE是∠ABC的平分线（已知）， ∴⑨　 　＝（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠BEC＝⑩　 　＝25°（两直线平行，内错角相等）． 13．如图，四条直线交于点A、B、C、D，解答下列问题． （1）若AB∥CD，AD∥BC，那么∠1＝∠2吗？说明理由． （2）若AB∥CD，∠1＝∠2，那么AD∥BC吗？说明理由． 题组B 能力提升练 14．如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是（　　） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互补且相等 15．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（　　） A．58° B．42° C．32° D．30° 16．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 17．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 　 　． 18．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，CE平分∠ACD，∠BAC＝50°，当∠MAC为 　　时，AM∥CE． 19．如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若∠CDE＝140°，求∠B的度数． 题组C 培优拔尖练 20．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 21．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（　　） A．20° B．50° C．70° D．120° 22．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．一副三角板按如图所示放置，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，∠CBA＝45°，∠BAD＝30°，过点A的直线EF与过点B的直线MN相互平行，设∠CAE＝α，∠DBN＝β，则α，β满足的等量关系式是 　　． 24．如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　　，b＝ 　　； （2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直． （3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 学科网（北京）股份有限公司 $$