第4课 平行线的判定-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第4课 平行线的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平行线的判定方法的产生过程. 2.掌握平行线的判定方法. 3.会用平行线的判定方法判定两直线平行，会进行简单的推理及其表述. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线的判定方法 （1）根据定义判定； （2）三个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行； （3）平行的传递性； （4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 ( 能力拓展 )考点01 平行线的判定 【典例1】如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥DC的是（　　） A．∠A＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠ABC+∠C＝180° D．∠ADC＝∠ABC 【即学即练1】根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　　 ∥　 　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　） A．AC∥BD B．AC∥EF C．EF∥BD D．AB∥CD 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 3．如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 4．下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 7．如图，下列选项中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠3+∠4＝180° 8．如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180° 9．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　 　c． 10．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　 　． 11．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　°时，木条a与b平行． 12．完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　 　）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 　（角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝　 　（　 　）． ∴AB∥CD（　 　）． 13．如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°． （1）若∠2＝125°，求∠C的度数； （2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？ 题组B 能力提升练 14．如图，能判断AB∥EF的条件是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC 15．已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　 　（填一个你认为正确的条件即可） 16．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 　 　度． 17．如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．求证：AB∥MN． 18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由， 题组C 培优拔尖练 19．如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 20．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　 　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能）． 21．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号） 22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； （3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？请画图分析并计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课 平行线的判定 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解平行线的判定方法的产生过程. 2.掌握平行线的判定方法. 3.会用平行线的判定方法判定两直线平行，会进行简单的推理及其表述. ( 知识精讲 ) 知识点01 平行线的判定方法 （1）根据定义判定； （2）三个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行； （3）平行的传递性； （4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 ( 能力拓展 )考点01 平行线的判定 【典例1】如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥DC的是（　　） A．∠A＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠ABC+∠C＝180° D．∠ADC＝∠ABC 【思路点拨】根据平行线的判定方法分别进行判断． 【解析】解：A、∠A＝∠5可以判定AD∥BC，故此选项不合题意； B、∠3＝∠4可以判定AD∥BC，故此选项不合题意； C、∠ABC+∠C＝180°可以判定直线AB∥DC，故此选项符合题意； D、∠ADC＝∠ABC不可以判定AB∥DC，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【即学即练1】根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　DG　∥　AB　（ 　内错角相等，两直线平行　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　同旁内角互补，两直线平行　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　DG　∥　AB　（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【思路点拨】根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． 【解析】解：（1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）； （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1）AB，DG，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）AB，DG，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　） A．AC∥BD B．AC∥EF C．EF∥BD D．AB∥CD 【思路点拨】由内错角相等，两直线平行，即可判断． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴AC∥BD， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行． 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【思路点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【解析】解：∵∠2＝∠5， ∴a∥b， ∵∠4＝∠5， ∴a∥b， ∵∠1+∠5＝180°， ∴a∥b， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，下列条件中可以判定a∥b的是（　　） A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144° 【思路点拨】先标注∠3，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【解析】解：直线a、b被直线c所截，∠2＝36°，如图， ∴∠2＝∠3＝36°， ∴∠1＝∠3＝36°， ∴a∥b． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 4．下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 【思路点拨】根据各选项中角的关系及平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可． 【解析】解：A、∠1＝∠3，不能判定AD∥BC，不符合题意， B、∠2＝∠4，不能判定AD∥BC，不符合题意， C、∵∠1+∠4＝180°，∴AB∥CD，不能判定AD∥BC，不符合题意， D、∵∠3+∠4＝180°，∴AD∥BC，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解析】解：A、∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； B、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD， 故B不符合题意； C、如图， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD， 故C符合题意； D、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 6．如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 【思路点拨】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、∠1＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD； B、∠1和∠4不是直线AB、CD构成的同位角，不能判定AB∥CD； C、∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， 根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定EFGH，不能判定AB∥CD； D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD； 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 7．如图，下列选项中，不能判定l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠3+∠4＝180° 【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行可判断A，根据内错角相等，两直线平行可判断C，根据同旁内角互补，两直线平行可判断B、D，从而可得答案． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴l1∥l2，故A不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴l1∥l2，故C不符合题意； ∵∠3+∠4＝180° ∴l1∥l2，故D不符合题意； ∵∠2＝∠5，且∠2，∠5是同旁内角， ∴不能判定l1∥l2，故B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 8．如图，不能判断l1∥l2的条件是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠4＝∠5 C．∠2＝∠3 D．∠2+∠4＝180° 【思路点拨】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【解析】解：A、∵∠1＝∠3， ∴l1∥l2，故此选项不合题意； B、∵∠4＝∠5， ∴l1∥l2，故此选项不合题意； C、∠2＝∠3，无法得出l1∥l2，故此选项符合题意； D、∵∠2+∠4＝180°， ∴l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键． 9．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　∥　c． 【思路点拨】由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°，由同位角相等，两直线平行推出a∥c． 【解析】解：如图，a⊥b，b⊥c， ∴∠1＝∠2＝90°， ∴a∥c． 故答案为：∥． 【点睛】本题考查平行线的判定，垂线，关键是由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°． 10．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　内错角相等，两直线平行　． 【思路点拨】直接根据平行线的判定定理解答即可． 【解析】解：若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 11．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　°时，木条a与b平行． 【思路点拨】由同位角相等，两直线平行，即可求解． 【解析】解：当∠2＝70°时，a∥b， ∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1， ∴a∥b， 故答案为：70． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 12．完成下面的证明： 已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°． 求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（　角平分线的定义　）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　2∠2　（角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（　等式的性质　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝　180°　（　等量代换　）． ∴AB∥CD（　同旁内角互补两直线平行　）． 【思路点拨】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【解析】证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）． ∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 13．如图，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°． （1）若∠2＝125°，求∠C的度数； （2）若∠1和∠D互余，你能试着判断AB∥CD吗？ 【思路点拨】（1）根据平行线的判定得出CF∥EB，再根据平行线的性质得出∠C+∠2＝180°，据此计算即可得出答案； （2）先根据∠1＝∠B，余角的性质得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可证明结论． 【解析】（1）解：∵∠1＝∠B， ∴CF∥EB， ∴∠C+∠2＝180°， 又∵∠2＝125°， ∴∠C＝55°； （2）证明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°， ∴∠1+∠BFD＝90°， 又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°， ∴∠BFD＝∠D， ∴AB∥CD． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 题组B 能力提升练 14．如图，能判断AB∥EF的条件是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC 【思路点拨】由平行线的判定方法，即可判断． 【解析】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB∥EF，故A、D不符合题意； B、∠ADE＝∠DEF，能判定AB∥FE，故B符合题意； C、∠ADE＝∠B，能判定DE∥BC，故 C不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 15．已知：如图，要得到AB∥CD，则需要的条件　∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）　（填一个你认为正确的条件即可） 【思路点拨】根据平行线的判定方法解答即可． 【解析】解：添加∠EAD＝∠ADC，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD； 故答案为：∠EAD＝∠ADC（答案不唯一）． 【点睛】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一． 16．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 　60或120　度． 【思路点拨】过点D作CD′∥AB，由平行线的性质即可得出结论． 【解析】解：过点D作CD′∥AB， 如图1， ∵∠ABC＝120°，CD′∥AB， ∴∠BCD′＝180°﹣120°＝60°； 如图2， ∵∠ABC＝120°，CD′∥AB， ∴∠BCD′＝′ABC＝120°， 综上所述，加工后拐角∠BCD的度数是60°或120°． 故答案为：60或120． 【点睛】本题考平行查的是线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 17．如图所示，EF⊥BC于点F，DM⊥BC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．求证：AB∥MN． 【思路点拨】由垂直的性质得到EF∥DM，进而可证∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到CD∥MN，再由∠3＝∠C，可证AB∥CD，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN． 【解析】证明：∵EF⊥BC，DM⊥BC（已知）， ∴∠EFC＝∠DMC＝90°（垂直定义）， ∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠CDM（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠CDM（等量代换）， ∴CD∥MN（内错角相等，两直线平行）， ∵∠3＝∠C（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴AB∥MN（平行于同一直线的两直线互相平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，关键是平行线性质定理的熟练应用． 18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2．说出图中哪些直线互相平行，并说明理由， 【思路点拨】依据PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，即可得到∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP，依据∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP，进而得出QH∥PG，AB∥CD． 【解析】解：AB∥CD，QH∥PG． 理由：∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP， ∴∠GPQ＝∠1＝∠BPQ，∠HQP＝∠2＝∠CQP， ∵∠1＝∠2， ∴∠GPQ＝∠HQP，∠BPQ＝∠CQP， ∴QH∥PG，AB∥CD． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，解决问题的关键是运用：内错角相等，两直线平行． 题组C 培优拔尖练 19．如图，给出下列条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③EF∥CD，且∠D＝∠4；④∠3+∠5＝180°．其中，能推出AD∥BC的条件为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【思路点拨】根据平行线的判定方法结合题目所给的条件进行推理即可． 【解析】解：①∠3＝∠4可以根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确； ②∠1＝∠2可以根据内错角相等，两直线平行判定AB∥DC，故此选项错误， ③因为EF∥CD得∠1＝∠2又因为∠D＝∠4，根据三角形内角和是180°得∠DAC＝∠BCA得AD∥BC， 故此选项正确； ④∠3+∠5＝180°，可得到∠5＝∠DAB，再根据同位角相等，两直线平行判定AD∥BC，故此选项正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握： （1）定理1：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 20．小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝　15°或60°　，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能）． 【思路点拨】根据题意，画出图形，当∠ACE为15°或60°，分别利用同位角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，得到BE∥AD，BC∥AD． 【解析】解：（1）图1，当∠ACE＝15°时，BE∥AD，理由如下： ∵∠ACE＝15°， ∴∠FCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣15°＝75°， ∵∠E＝45°， ∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵∠D＝60°， ∴BE∥AD； （2）图2，当∠ACE＝60°时，BC∥AD，理由如下： ∵∠ACE＝60°，∠BCE＝90°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝150°， ∵∠A＝30°， ∴∠ACB+∠A＝180°， ∴BC∥AD， 故答案为：15°或60°． 【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 21．将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠2＝2∠1；②∠1+∠2＝90°；③∠1＝25°，∠2＝55°；④∠ABC＝∠2﹣∠1；⑤∠ACB＝∠1+∠3；能判断直线m∥n的有 　③④⑤　．（填序号） 【思路点拨】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题． 【解析】解：∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故①不符合题意； ∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠1+∠ABC不一定等于∠2， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； ∵∠1＝25°，∠2＝55°，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝55°＝55°＝∠2， ∴m∥n，故③符合题意； ∵∠ABC＝∠2﹣∠1， ∴∠2＝∠ABC+∠1， ∴m∥n，故④符合题意； 过点C作CE∥m， ∴∠3＝∠4， ∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5， ∴∠1＝∠5， ∴EC∥n， ∴m∥n，故⑤符合题意； 故答案为：③④⑤． 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：∠1＝　120　°，∠2＝　90　°； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值； （3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至第一次与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据∠2恰好是∠1的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据∠AQN＝∠ABM画出图形，列方程可解得答案． 【解析】解：（1）∵DG∥EF， ∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°＝120°； 故答案为：120，90； （2）∵∠2恰好是∠1的倍， ∴90+n＝， 解得n＝36， ∴n的值是36； （3）存在BM∥NQ，理由如下： 如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°， ∵BM∥NQ， ∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM， ∴3t＝60﹣2t， 解得t＝12； 如图： ∵BM∥NQ， ∴∠ABM＝∠BQN， ∴2t﹣60＝180﹣3t， 解得t＝48， 综上所述，t的值为12或48． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 23．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（AB∥CD）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转，灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为G． 【猜想验证】（1）如图，转至某刻，∠G＝60°，∠AEG＝25°，则∠CFG为多少度？请说明理由； 【应用迁移】（2）灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°．若两灯同时开始转动，则在灯E射线第一次到达EA之前，灯F转动几秒时，∠EGF＝90°？请画图分析并计算． 【思路点拨】（1）如图，过G作GM∥AB，由铅笔型计算即可； （2）分两种情况讨论：当G在EF右边时，当G在EF左边时，再根据铅笔型计算即可． 【解析】解：（1）∠CFG＝35°． 理由：如图，过点G作GH∥AB， ∵AB∥CD，GH∥AB， ∴GH∥CD， ∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠FGH， ∵∠EGH+∠FGH＝∠EGF， ∴∠AEG+∠CFG＝∠EGF， ∵∠EGF＝60°，∠AEG＝25°， ∴∠CFG＝60°﹣25°＝35°． （2）设灯F转动t秒时，∠EGF＝90°， ∵灯E转动的速度是每秒2°， ∴∠BEG＝（2t）°， ∴∠AEG＝（180﹣2t）°， ∵当灯E射线第一次到达EA时，t＝180÷2＝90（秒）， ∴0⩽t⩽90， ①如图所示，当点G在EF右边时， ∵灯F转动的速度是每秒4°， ∴∠CFG＝（4t）°，∠DFG＝（180﹣4t）°， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝90°， ∴2t+180﹣4t＝90， 解得t＝45，符合题意， ∴灯F转动45秒时，∠EGF＝90°． ②如图所示，当点G在EF左边时， 即当灯F射线旋转180°后返回时， 则∠CFG＝（360﹣4t）°，∠AEG＝（180﹣2t）°， 根据题意得360﹣4t+180﹣2t＝90， ∴﹣6t＝90﹣360﹣180， ∴t＝75． ∴灯F转动45秒和75秒时，∠EGF＝90°． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的判定，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 学科网（北京）股份有限公司 $$