重庆市南开中学校2024-2025学年高三下学期第六次质量检测（2月）数学试题

重庆市南开中学高 2025 届高三第六次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1. 已知 ,则 的虚部为 A. 1 B. i C. 2 D. 3 2. 已知数列 为等比数列,且 ,则 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. 记数据 的平均数为 ,方差为 ,数据 的平均数为 ,方差为 ,若 为非零常数,则下列说法一定正确的是 A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作, 成书于公元一世纪左右, 是《算经十书》中最重要的一部. 书中商功章第二题至第七题涉及到城、 垣、堤、沟、堑、渠这些建筑,其形状都是底面为等腰梯形的直四棱柱. 以“城”为例,有如下问题:“今有城下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺. 问积几何？答曰:( )立方丈. ”(注:一丈等于十尺) A. 1265.5 B. 1897.5 C. 2846.5 D. 3795.5 5. 已知函数 的定义域为 ,则 A. B. C. D. 6. 已知向量 满足: ,若 ,则 的最小值为 A. B. 1 C. D. 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 8. 已知抛物线 的焦点为 ,双曲线 经过 且与抛物线 交于 两点,若 为等腰直角三角形,其中 为坐标原点,则双曲线 的渐近线方程为 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的有 A. 函数 的解析式为 B. 函数 的对称中心为 C. 函数 的一个极小值点为 D. 函数 在区间 上单调递增 10. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 为椭圆上异于 的动点. 记 , 的面积为 ,则下列各式的值与点 的位置无关的有 A. B. C. D. 11. 已知关于 的方程: 有两个正根 ,则下列说法正确的有 A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 已知 ,则 _____. 13. 若 ,且 ,则 的最小值是_____. 14. 小南将一枚骰子连续抛掷 3 次,每一次骰子都会等可能地出现 1、2、3、4、5、6 点. 则 3 次骰子点数按抛掷顺序构成等差数列的情况有_____种. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知等差数列 的前 项和为 ,且 . (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前 项和为 ,若 对 恒成立,求 的取值范围. 16. (15 分) 已知函数 ,其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 17. (15 分) 把若干个红球和白球 (除颜色外没有其他差异) 放进甲、乙、丙三个空盒子中,且其中的红球占比依次为 . 现随机选取一个盒子,每个盒子被选取的概率均为 ,然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球,记该红球为“ ”. (i)求“ ”是从乙盒摸出的概率； (ii) 将“ ”放回原盒,再从该盒中随机摸出一个球,求此球为红球的概率。 18. (17 分) 如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 底面 ,点 为 的中点, 且 . (1)求 ； (2)平面 与线段 分别交于 三点,且 . (i) 当 时,求直线 与平面 所成角的正弦值; (ii) 是否存在 ,使得 为直角三角形? 若存在,求 ; 若不存在,说明理由. 19. (17 分) 已知椭圆 的上顶点为 ,且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点(直线 斜率为正),直线 、 (若 、 重合, 直线 即为椭圆 在 点处的切线) 分别与 轴交于 两点, 为 中点. (i) 求 的最大值; (ii)当 最大时,将坐标平面沿 轴折成二面角 ,在二面角 大小变化过程中,求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$