精品解析：福建省泉州市2024-2025学年高二上学期质量监测数学试题

2024-2025学年度上学期泉州市高中教学质量监测 高二数学 2025．01 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 倾斜角为的直线过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程：，即. 故选：D 2. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径长的计算公式直接求解. 【详解】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D 3. 已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推公式列出数列的前几项. 【详解】由题意：，，. 故选：B 4. 在四面体中，，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 5. 过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确何时取最小值，结合勾股定理即可求解. 【详解】根据题意，当时，取得最小值. 因为，所以，此时. 故选：C. 6. 数列的前项和为，若，则（ ） A. 等差数列，公差为 B. 是等比数列，公比为3 C. 等差数列， D. 是等比数列， 【答案】D 【解析】 【分析】根据进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，. 当时，由， 得， 两式相减并化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 故选：D 7. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为求边上的高即可，利用三角形的面积求解. 【详解】因为底面为等腰梯形，且，，， 所以，. 在中，，，， 所以. 所以. 所以， 又设边上的高为，则. 由. 即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：明确蝴蝶到点的最短距离即为边上的高，这是解决问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 数列满足：，，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 数列的前8项和为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知，求出数列的通项，然后依次验证即可. 【详解】因为， 所以,当时, ， 又，满足，所以，故B错误； 则，故A正确； 则，所以数列为等差数列，故C正确； 数列的前8项和为 ，故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆，点为圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆，圆都相切 B. 若以2为半径的圆与圆外离，则 C. 若，则圆和圆的公共弦的长为 D. 若，过作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用直线到圆心的距离等于半径，即可判断；对于B，利用圆心距大于两圆半径之和则两圆外离，即可判断；对于C，由两圆方程相减得公共弦方程，再利用几何法求得弦长，即可判断；对于D，由四边形面积，求得的最小值，可得四边形面积的最小值，即可判断. 【详解】 对于A，圆，圆心为,半径, 直线到圆的距离为2，所以直线与圆相切； 圆圆心为,半径, 直线到圆的距离为2，所以直线与圆相切，故A正确； 对于B，因为点为圆上的动点， 则圆到圆的圆心距最小值为 若以2为半径的圆与圆外离，则，即，故B正确； 对于C，若，则圆，和圆， 两圆方程相减得公共弦方程为， 则圆心到直线的距离为1，所以公共弦的长为，故C错误； 对于D，若，则圆，圆心为,半径, 圆，圆心为,半径, 则， 因为是圆的两条切线，所以， 则四边形面积，， 又， 的最小值为，则此时， 所以， 所以四边形面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知点，，抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，线段交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的内心在定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点坐标，可求，判断A的真假，结合抛物线焦点弦的性质和焦半径公式，可判断B的真假；根据条件，求点坐标，确定直线的斜率，判断C的真假；根据的位置关系，可判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为，所以，故A正确； 对B：因为，所以抛物线标准方程为，设，，根据抛物线焦点弦的性质可得：. 不妨设在第一象限，由， 所以，所以，所以，故B错误； 对C：因为，所以为中点，所以， 由或. 所以直线的斜率为或，故C正确； 对D：设，直线：，代入，整理可得：. 所以，又，所以. 即关于轴对称，所以的角平分线为轴，所以的内心一定在轴上.故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：对抛物线（），，在抛物线上. （1），为抛物线的焦点； （2）若直线经过抛物线的焦点，则，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行求参数. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：借助体积法求点到平面的距离. 方法二：利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】方法一：首先. 设到平面的距离为，则. 又为等边三角形，边长为，所以， 所以. 故答案为： 方法二：设平面的法向量为. 因为，， 由，取 在投影为：.即为点到平面的距离. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解. 【详解】设，因为，则， 所以，， 又为直径，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得： ， 解得， 即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和即可. （2）利用裂项求和法求. 【小问1详解】 解法一：设等差数列的首项为，公差为， 由已知， 解得， 所以． 解法二：因为，所以． 因为，所以. 所以， 所以. 【小问2详解】 因为． 所以数列的前项和 16. 如图，为圆锥的底面直径，点，为底面上的三等分点，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：连结，，由已知可证得为等边三角形，则可得，利用线面平行的判定，即可得证； 证法二：连结，，取中点，连结，，以为原点，建立空间直角坐标系，设，，可得，求得平面的一个法向量，可得，即，即可得证； 证法三：同证法二建立空间直角坐标系，可得，，则得，进而得 ，利用线面平行的判定，即可得证； （2）解法一：同（1）中证法二建立空间直角坐标系，可求得， ，利用坐标运算即可求得直线与所成角的余弦值； 解法二：连结，由余弦定理可得，则，由勾股定理的逆定理可知，以C为原点，建立空间直角坐标系，可得，，再利用坐标运算即可求得直线与所成角的余弦值； 解法三：连结，连结， 可取为空间中的一个基底，利用向量线性运算可得， ，，设异面直线与所成角为，由计算即可得到直线与所成角的余弦值； 解法四：连结，，可得 ，取中点，连结，则 ，则直线与所成角即为或其补角，在中，由余弦定理可求得，过点作，交于，连结，，可求得 在中，由余弦定理即可求得直线与所成角的余弦值. 【小问1详解】 证法一：因为M，N分别为，的中点，所以， 连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 证法二：连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 取中点，连结，，则，，平面， 又平面，所以， 设，，则， 以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 又点，分别为，的中点，则， ， 设平面的一个法向量为， 所以，则， ， 取，，可得， 所以，即， 又平面，平面，所以平面， 证法三：连结，，因为点，为的三等分点， 所以，为等边三角形， 所以，所以， 取中点，连结，，则，，平面， 所以，又，，则， 以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 则，所以，由四点不共线，易得， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 解法一：取CD中点Q，连结OQ，OP，则，， 平面，又平面，所以， 又，，则 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 解法二：连结，，为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 则，由勾股定理得逆定理可知， 过点C作直线，因为平面，所以平面， 以C为原点，，所在的直线为，轴，l为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 解法三：连结，因为点，为的三等分点，所以， 连结，则平面，所以，，， 又，，则， 取为空间中的一个基底，可得：，， ， 又，， ， 所以， ， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 即直线与所成角的余弦值为， 解法四：连结，，因为点，为的三等分点，所以， 为等边三角形，所以，所以， 取中点，连结，所以为的中位线，， 所以直线与所成角即为或其补角， 又平面，所以， 又，， 则，， 在中，由余弦定理可得 ， 过点作，交于，连结，，则平面， 所以，，， 所以 在中，由余弦定理可得 ， 所以直线与所成角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）若斜率小于0的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线的方程，借助弦长公式求出斜率，再把该直线方程与圆的方程联立求出点的横坐标，利用弦长公式求出长，求出点到的距离即可求得面积. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由圆过，得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为，点在直线上， 由，得，又，则， 于是直线的方程为， 由消去得，解得点的横坐标， 于是， 而点到直线的距离， 所以的面积为. 18. 如图，在直三棱柱中，，，中点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求证：平面平面； （3）为内一动点，直线与平面所成的角为，二面角的大小为，到的距离为，若，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，根据可证明平面； （2）方法一：先求出，以为原点，，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据法向量数量积为零可得结论；方法二：先证明平面，结合平面，利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）方法一：根据，可得点到点的距离等于点到直线的距离，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在内的部分，从而可求的最小值；方法二：设，利用空间向量可得，则点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在内的部分，进而可得结论. 【小问1详解】 因为，，所以为直角三角形，所以． 在直三棱柱中，，又，平面， 所以平面． 因为，所以平面． 【小问2详解】 解法一：由（1）可知，所以 ． 因为三棱锥的体积为，所以． 又由（1）可知，，两两垂直， 以为原点，，，为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，所以，，，． 设平面的法向量为， 则所以 取，则，． 所以，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则，所以， 取，则．所以，是平面的一个法向量． 所以， 所以平面平面． 解法二：由（1）可知，所以 ． 因为三棱锥的体积为，所以． 取的中点，连接与交于点，连接． 因为Q为中点，所以．因为，所以， 所以，，，四点共面． 因为，，所以，且． 因为，， 所以， 所以，所以． 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 【小问3详解】 解法一：设在平面内的射影为，连接，， 所以为在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，所以． 过作，垂足为，连接，显然， 所以为二面角的平面角，所以． 所以，．因为，所以， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在内的部分． 又点到的距离为，所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：设，不妨设，则， ，，所以，，． 显然为平面的一个法向量． 则． 设平面的法向量为，则，所以， 取，则．所以，是平面的一个法向量． 所以． 因为，所以， 所以，化简整理得， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线在内的部分． 又点到的距离为，所以， 所以， 所以最小值为． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． （1）求轨迹； （2）将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）在定直线上． 【解析】 【分析】（1）设，由直线，的斜率之积的绝对值为2，可得轨迹的方程，，则可得轨迹； （2）（i）由题意，设直线，可得，设，将与的方程联立可得，，，由，利用坐标运算可得，即得； （ii）解法一：设直线，直线，分别与曲线的两个方程联立，可得，两点，，两点坐标，由对称性可得若在定直线上，则必在定直线上，利用坐标运算证得，即满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴，又由（i）知，故可得必在定直线上．设直线与曲线联立， 设与曲线联立，表示出，两点，，两点坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 【小问1详解】 设，又，， 则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以， 即，， 所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． 【小问2详解】 （i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称， 所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得． 所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）解法一：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得 ，， 根据对称性可得若在定直线上， 则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证： ， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得， 即， 可得该方程的两根为，或， 因为，故，， 同理设与曲线联立， 得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得 ； 同理可得，故两点重合，本题得证． 【点睛】关键点点睛：（2）（ii）解法一：设出直线，直线的方程，分别与曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，由对称性可得若在定直线上，利用向量坐标运算证出 满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得在垂直于轴的定直线上，又由（i）知，故可得必在定直线上．设出直线，直线的方程，分别于曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期泉州市高中教学质量监测 高二数学 2025．01 本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 倾斜角为的直线过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 4. 在四面体中，，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A 1 B. C. 2 D. 6. 数列的前项和为，若，则（ ） A. 等差数列，公差为 B. 是等比数列，公比为3 C. 是等差数列， D. 是等比数列， 7. 斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 数列满足：，，则（ ） A B. C. 数列为等差数列 D. 数列的前8项和为 10. 已知圆，点为圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆，圆都相切 B. 若以2为半径的圆与圆外离，则 C. 若，则圆和圆的公共弦的长为 D. 若，过作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最小值为 11. 已知点，，抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，线段交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则直线的斜率为 D. 的内心在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线，，若，则_____． 13. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 14. 已知双曲线左、右焦点分别是点，点是右支上的一点，以为直径的圆交右支于另一点，若，则的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，为圆锥的底面直径，点，为底面上的三等分点，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，，求直线与所成角的余弦值． 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）若斜率小于0的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的面积． 18. 如图，在直三棱柱中，，，中点． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求证：平面平面； （3）为内一动点，直线与平面所成的角为，二面角的大小为，到的距离为，若，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． （1）求轨迹； （2）将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $