精品解析：河北省唐山市路南区2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期八年级阶段学业抽样评估 数学试卷 2024.12 注意事项： 1．本试卷共6页，20个小题，满分10分，考试时间为60分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式 的值为0， 则x的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了分式的值为0，正确把握相关定义是解题关键． 利用分式的值为0，则其分子为零，进而求出答案． 【详解】解：若分式 的值为0， 则且， 解得：， 故选：D． 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得公因式是，解答即可． 本题考查了公因式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：多项式的公因式是． 故选：C． 3. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4. 下列各式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，约分，化简解答即可． 本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. 不是分式，不符合题意； B. ，不是最简分式，不符合题意； C. ，不是最简分式，不符合题意； D. ，是最简分式，符合题意； 故选：D． 5. 在化简 ……① ……② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ） A. ①是整式乘法；②是通分 B. ①是分解因式；②是通分 C. ①是分解因式；②是约分 D. ①是整式乘法；②是约分 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解． 【详解】解：这是提公因式；这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式化简中提取公因式法，公式法，约分等知识是解题的关键． 6. 计算：1252-50×125+252=( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C． 点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键． 7. 若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，x和y都扩大5倍，则扩大到原来的25倍，要使分式的值也扩大5倍，则扩大到原来的5倍，即可解答，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：∵x和y都扩大5倍， ∴扩大到原来的：倍， ∵分式的值也扩大5倍， ∴扩大到原来的5倍， ∵x扩大5倍， ∴“□”也要扩大到原来的5倍， ∴“□”可以是， 故选：B． 8. 如图，若x是数轴上第①段中（不含端点）的数，则代数式的值在（ ） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值及不等式的性质，先将分式化为最简，然后根据题意得出，再利用不等式的性质即可得出结果，熟练掌握分式的化简是解题关键 【详解】解： ∵x是数轴上第①段中（不含端点）的数， ∴， ∴， ∴， 代数式的值在第②段， 故选：B 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍。根据题意列方程为，其中表示（ ） A. 规定的时间 B. 慢马的速度 C. 快马的速度 D. 快马需要的时间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由快、慢马的速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需的时间与规定时间之间的关系，可得出表示x规定的时间． 【详解】解：根据题意列方程为， ∴， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度， ∵需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所的时间比规定时间少3天， ∴x表示规定的时间， 故选：A． 10. 根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键． 由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确． 【详解】解：， 由化简过程可知，，， ， ； 由题意可知，若使的值为整数且为整数，则， ， 综上所述，． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在答题卡上） 11. 若，则需要满足的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据底数不等于解答即可，熟记非数的零指数幂为1是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∴， 故答案为： 12. 若，且，两个“□”中是运算符号“+”“ ”“×”“÷”中的同一种，则“□”里可以填_______．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，解答即可． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据分式的基本性质，得． 故答案为：（答案不唯一，或÷）． 13. 小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速______． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，列出正确的方程，掌握路程，时间，速度之间的关系，是解答本题的关键． 根据题意，利用路程，时间，速度之间的关系，列出分式方程求解，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 比约少， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如果为完全平方数，则正整数n为_______． 【答案】8或2 【解析】 【分析】根据题意进行分类讨论：当是交叉项时，是交叉项时，是交叉项时，根据完全平方公式的特征解答即可． 本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 【详解】解：当是交叉项时，由， 得， 解得； 是交叉项时，由， 得， 解得； 是交叉项时，由， 得， 解得； 故答案为：8或2． 三、解答题（本大题有6个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）分解因式： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解答即可． （2）根据分式乘除混合运算解答即可． 本题考查了因式分解，分式的混合运算，熟练掌握公式法分解因式，分式混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16. 一块正方体铁块的棱长为． （1）这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ （2）如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 【答案】（1）立方米 （2）块 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，科学记数法，积的乘方的应用，同底数幂的除法的应用，准确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式列式计算即可； （2）先算出小正方体的体积，用大正方体的体积除以小正方体的体积即可． 【小问1详解】 解：（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是立方米； 【小问2详解】 解：（立方米）， （个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 17. 设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． （1）求的值． （2）若，求的值． （3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）6 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可； （3）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， ∴． 【小问3详解】 存在； ， 当时，即：， 当时，满足题意， 当时，则：，则：， 当时，，分式无意义，不满足题意，舍去； 故． 18. 以下是装同学化简分式的部分运算过程： 解：原式……① ……② ……③ … （1）上面的运算过程中第_______步开始出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）：从第②开始出现错误，错误的原因是通分漏乘分子． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据分式的基本运算，得②开始出现错误，错误的原因是通分漏乘分子， 故答案为：②． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 【观察】：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【验证】：（1）的结果是3的 倍； （2）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）略 （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 20. 某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” （1）设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； （2）在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 学习委员说得对，理由：设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元， 根据题意，得， 解得． 此时，不是整数，所以学习委员说得对． （2）3或9 【解析】 【分析】（1）设每本软面笔记本x元，则每本硬面笔记本元，根据买到相同数量的笔记本建立方程求出其解就可以得出结论； （2）设每本软面笔记本m元（的整数），则每本硬面笔记本元，根据能买到相同数量的笔记本建立方程就可以得出m与a的关系，就可以求出结论． 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时求出根据两种笔记本购买的数量相等建立方程是关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在； 设每本软面笔记本m元（是整数），则每本硬面笔记本元， 根据题意，得． 解得． ∵a为正整数， ∴， 故，此时，，符合题意； 故，此时，，不符合题意； 故，此时，，符合题意； ∴a的值为3或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期八年级阶段学业抽样评估 数学试卷 2024.12 注意事项： 1．本试卷共6页，20个小题，满分10分，考试时间为60分钟． 2．用黑色水性笔答卷，答卷前务必将密封线内各项填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式 的值为0， 则x的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 2. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在化简 ……① ……② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ） A. ①是整式乘法；②是通分 B. ①是分解因式；②是通分 C. ①是分解因式；②是约分 D. ①是整式乘法；②是约分 6. 计算：1252-50×125+252=( ) A. 100 B. 150 C. 10000 D. 22500 7. 若把分式的，同时扩大5倍，则分式的值也扩大5倍，则“□”可以是（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图，若x是数轴上第①段中（不含端点）的数，则代数式的值在（ ） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍。根据题意列方程为，其中表示（ ） A. 规定的时间 B. 慢马的速度 C. 快马的速度 D. 快马需要的时间 10. 根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0； 结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在答题卡上） 11. 若，则需要满足的条件是______ 12. 若，且，两个“□”中是运算符号“+”“ ”“×”“÷”中的同一种，则“□”里可以填_______．（写出一种情况即可） 13. 小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速______． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 14. 如果为完全平方数，则正整数n为_______． 三、解答题（本大题有6个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）分解因式： （2）计算： 16. 一块正方体铁块的棱长为． （1）这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ （2）如果有一种小正方体铁块的棱长为，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以摆成棱长为的大正方体铁块? 17. 设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，． （1）求的值． （2）若，求的值． （3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 18. 以下是装同学化简分式的部分运算过程： 解：原式……① ……② ……③ … （1）上面的运算过程中第_______步开始出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． 19. 【观察】：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【验证】：（1）的结果是3的 倍； （2）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除； 【延伸】：（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几？请说明理由． 20. 某班生活委员为班级购买奖品后与学习委员对话如下． 生活委员：“我买相同数量的软面笔记本和硬面笔记本分别花去了12元和21元，而每本硬面笔记本比软面笔记本贵元．” 学习委员：“你肯定搞错了，你买不到相同数量的两种笔记本．” （1）设每本软面笔记本x元，请你通过计算分析学习委员说得对不对； （2）在购买两种笔记本的花费不变的情况下，若每本硬面笔记本比软面笔记本贵a元，是否存在正整数a，使得两种笔记本的单价都是正整数，并且生活委员能买到相同数量的两种笔记本？若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $