精品解析：广东省广州市培正中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

2023-2024学年度高一（下）数学期末适应性测试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中求出的长，再还原平面图，即可求出相应的线段的长度，从而求出面积. 【详解】如图，在直观图中过点，作交于点， 因为， 所以，，即 将直观图还原为平面图如下： 则，，， 所以. 故选：A 3. 从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（ ） A. 在有放回简单随机抽样方式下， B. 在不放回简单随机抽样方式下， C. 在按性别等比例分层抽样方式下， D. 在按性别等比例分层抽样方式下， 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】记3名男生为，3名女生为. 对于选项A，有放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) (a,a) (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) (b,b) (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) (c,c) 共36个样本点，事件有9个样本点，所以，故选项A错误； 对于选项B，不放回简单随机抽样的样本空间为 1 2 3 a b c 1 × (1,2) (1,3) (1,a) (1,b) (1,c) 2 (2,1) × (2,3) (2,a) (2,b) (2,c) 3 (3,1) (3,2) × (3,a) (3,b) (3,c) a (a,1) (a,2) (a,3) × (a,b) (a,c) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,a) × (b,c) c (c,1) (c,2) (c,3) (c,a) (c,b) × 共30个样本点，事件有18个样本点，所以，故选项B错误； 对于选项C，在按性别等比例分层抽样方式下，从男生中抽取一人，从女生中抽取一人，所以，故选项C错误； 对于选项D，在按性别等比例分层抽样方式下，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间为，共有9个样本点，事件，所以，故选项D正确. 故选：D. 4. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：C． 5. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定，可得判定①②③都不正确；根据线面平行的判定定理，可得判定④⑤都正确，即可求解. 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 6. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】在中由余弦定理 ，所以, 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 7. 在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案. 【详解】如图，取中点，中点，连接 在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，则 因为分别为中点，所以 又可得，则四边形为平行四边形 所以，则为异面直线与所成的角或其补角 由平面，平面，可得，所以， 在中，，，由余弦定理得， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以异面直线与所成的角的余弦值. 故选：B. 8. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围. 【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P． 设，，，所以． 设，则．因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，，， 所以，则有． 因为，所以，，， 所以，，得． 因为，所以． 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是非零复数，且，则 D. 若是非零复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设，则，代入等式两边验证即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例对结论进行否定. 【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误； 对于B项，设，则，，故而，故B项正确； 对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确； 对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误. 故选：BC. 10. 在中，，，，为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当为边中点时， D. 若点为内任一点，的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据余弦定理求解，判定A正确；结合三角形面积公式，利用等面积法建立方程求解，可判定B正确；结合，结合模的计算公式，可判定C错误；建立平面直角坐标系，表示出、和从而得到，利用即可求得最小值，可判定D错误. 【详解】对于A中，在中，由余弦定理得 即，所以，所以A正确； 对于B中，当为角的角平分线时， 由等面积法得， 即，解得，所以B正确； 对于C中，由为边中点时，可得， 则， 所以，所以C错误； 对于D中，以为原点，以为轴，过A垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，如图， 所以，设， 则，，， ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为.所以D错误. 故选：AB 11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知的中点即为的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到，利用锥体的体积公式计算可判断A、B项，利用线面垂直可判断直线与平面所成角即为，计算其正弦值即可判断C项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D项. 【详解】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得， 因为，所以， 鳖臑的体积， 当且仅当时，；故A项正确，B项错误. 因为三棱柱为直三棱柱，故平面，又平面，故， 因为,所以平面， 所以直线与平面所成角即为，；故C项正确； 设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） （2023年广东省广州市越秀区） 12. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下： 性别 人数 平均数 方差 男生 100 172 18 女生 60 164 30 根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由样本的方差和平均数的计算公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，在样本中，男生有人，女生有人， 则其平均数， 其方差， 故答案为：． 13. 已知向量，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析可得：，且两向量不共线，进而根据数量积以及向量共线的判定定理运算求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且两向量不共线. 则， 解得或. 当时，则， 可得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：1.向量，的夹角为锐角，但的夹角为锐角，要排除夹角为的情况； 2.向量，的夹角为钝角，但的夹角为钝角，要排除夹角为的情况. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面平行的性质证明出点的轨迹为线段，在根据平面几何知识计算出的最值。 【详解】下图所示： 分别取棱、的中点、，连接，连接， 、、、为所在棱的中点，，， ，又平面，平面， 平面； ，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 又，平面，平面平面， 是侧面内一点，且平面， 则必在线段上， 在中，， 同理，在中，求得， 为等腰三角形， 当在中点时，此时最短，位于、处时最长， ， ， 所以线段长度的是大值与最小值之和为． 四、解答题（5道题目，共77分） 15. 已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）当取得最大值时，求A的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求，求得； （2）将化简，并用正弦定理将用解的三角函数式表示，再分析其求最值时的值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， ∴，∵，∴， ∴. （2） 当且仅当，即时取到最大值. 【点睛】本题考查了两角和差的正弦公式，正弦定理，平面向量数量积的定义，三角函数的最值，这是一道考查了多个基本知识的综合题，属于中档题. 16. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. （2）先分层抽样求出区间和内的抽取的学生人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图平均数计算公式得. 【小问2详解】 区间和内两组学生分别有人，人， 故按照分层抽样抽得区间内的学生人数为4，分别设为，，，， 区间内的学生人数为1，设为， 这5人中选出3人，所有情况有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的恰有2人体质健康指数在区间内有，，，，，共6种情况， 故这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率为. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直； （2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角； （3）利用等体积转化，，求点到平面的距离. 【小问1详解】 ∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. 【小问3详解】 如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解； （3）假设存在，利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 设，交于点，连接，则为中点. 在中，，分别为，中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，，平面. 所以平面. 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角. 设，则，，故， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面平面. 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接， 因为是正三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为，所以，所以平面. 因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上点存在点，当时，平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一（下）数学期末适应性测试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（ ） A. 在有放回简单随机抽样方式下， B. 在不放回简单随机抽样方式下， C. 在按性别等比例分层抽样方式下， D. 在按性别等比例分层抽样方式下， 4. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是非零复数，且，则 D. 若是非零复数，则 10. 在中，，，，为边上一动点，则（ ） A. B. 当为角的角平分线时， C. 当为边中点时， D. 若点为内任一点，的最小值为 11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 三、填空题（每题5分，共15分） （2023年广东省广州市越秀区） 12. 某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下： 性别 人数 平均数 方差 男生 100 172 18 女生 60 164 30 根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差______. 13. 已知向量，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，实数的取值范围为______. 14. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为_________. 四、解答题（5道题目，共77分） 15. 已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且，. （1）若，求的值； （2）当取得最大值时，求A的值. 16. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率. 17. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. （1）求角C的值； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）若点为的中点，求点到平面的距离． 19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面MAC； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $