1.3 乘法公式（第1课时平方差公式的认识）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）.

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解并掌握平方差公式.（重点） 2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.(难点） 情景导入 问题 王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？ 新知探究 计算下列各题： (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(2y-z)(2y+z) =x2-2x+2x-4 =1-3a+3a-9a2 =x2-5xy+5xy-25y2 =4y2+2yz-2yz-z2 观察四个算式有什么特点？ 都是“两数和×两数差” =x2-4; =1-9a2; =x2-25y2; =4y2-z2. 计算下列各题： (1)(x+2)(x-2) (2)(1+3a)(1-3a) (3)(x+5y)(x-5y) (4)(2y-z)(2y+z) =x2-2x+2x-4 =1-3a+3a-9a2 =x2-5xy+5xy-25y2 =4y2+2yz-2yz-z2 =x2-4; =1-9a2; =x2-25y2; =4y2-z2. 观察四个结果，有什么特点？ 两数分别平方再作差 6 概念归纳 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。 相反项 相同项 注意用谁减谁 相同项2-相反项2 寻找a，b，试着完成表格，加深对公式的认识. (a+b)(a-b) a b a²-b² 最后结果 (5+6x)(5−6x) (-x+1)(-x-1) 5 6x 5 ²-(6x) ² 25-36x² 1 -x (-x) ²-1² x²-1 相同项 相反项 8 平方差公式： (a+b)(a-b)= . 两数和与这两数差的积，等于它们的 . 平方差 a2-b2 概念归纳 平方差的特点： (1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方. 9 利用平方差公式计算： （1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ； （3） (– m + n ) (– m – n) 。 解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ； （2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2； （3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。 a b 总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。 例题讲解 例 1 利用平方差公式计算 （1）(– x – y)(– x + y)； （2）(ab + 8)(ab – 8) 。 解：（1）(– x – y)(– x + y)= (– x)2 – y2= x2 – y2； （2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。 例题讲解 例 2 尝试思考 如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的? (a – b)(– a – b) = – (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2) = b2 – a2 注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。 随堂练习 1. 计算： (1) (a+2)(a-2)； (2) (3a+2b)(3a-2b)； (3) (-x-1)(1-x)； (4) (-4k+3)(-4k-3). 解:(1)原式=a2-22 =a2-4. (2)原式=(3a)2-(2b)2 =9a2-4b2. (3)原式=(-x)2-12 =x2-1. (4)原式=(-4k)2-32 =16k2-9. 分层练习 基础题 1.计算： ( ) C A. B. C. D. 2.[2024上海宝山期中] 下列多项式乘多项式能用平方差公式计算的是 ( ) C A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 15 4.填空： （1） ____________; （2） _________; （3）_________ . 5.已知，且，则 等于___. 6 16 6.计算： （1） ； 【解】 . （2） . . 17 综合应用题 7.[2024杭州期末] 等于( ) B A. B. C. D. 8.如果，那么 的值为( ) C A.4 B. C.2 D. 9. 化简 的结果为( ) A A. B. C. D. 【点拨】 .故选A. 19 10.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整 数为“凤凰数”，如 , ，所以8,16都是“凤凰数”， 下列整数是“凤凰数”的为( ) B A. 22 B. 24 C. 30 D. 34 20 【点拨】设这两个连续奇数分别为,,其中 是正 整数，则“凤凰数” . A. ,故该选项错误； B. ,故该选项正确； C. ,故该选项错误； D. ,故该选项错误. 故选B. 21 11. 如果 ，则 _______. 2或 【点拨】因为 , 所以,所以 . 所以.所以或 . 22 创新拓展题 12.阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成 后，发现可 以连续运用平方差公式计算： . 回答下列问题： （1）请借鉴该同学的方法，计算： ； 【解】原式 … . 24 （2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算： … . 【解】原式… . 25 课堂小结 平方差公式 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 (a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 符号表示 注意 内容 $$