第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：三角+三角函数全部内容）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海·期末）用和表示 . 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）的取值范围为 . 3．（23-24高一下·上海松江·期中）已知，则 . 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数在所有零点之和为 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为 . 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是 ． 9．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 10．（23-24高一下·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    11．（23-24高一下·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 12．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 14．（2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（23-24高一下·上海嘉定·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 16．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)； (3). 18．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，.如果与的夹角为，那么当取何值时，矩形的周长最大？    19．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 20．（23-24高一下·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答非选择题，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角+三角函数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第 7~12题每题5分) 1．（23-24高一下·上海·期末）用和表示 . 【答案】 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式及同角三角函数的平方关系、三角函数的性质计算即可. 【详解】由题意可得 ， 又，所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海松江·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数在所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 令，则或， ，由可得或， 由可得， 则所有的零点之和为. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，且与的终边关于原点对称，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据与的终边关于原点对称求解出的终边对应的角度范围求解； 【详解】因为，与的终边关于原点对称， 所以的终边对应的角度范围为， 的取值范围为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换可得，要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得 【详解】 由可得， 即，即 要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知函数（其中）．给出下列四个结论： ①若，则是函数的一个零点； ②若，函数的最小值是； ③若，函数图象关于直线对称； ④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】当，得，从而可对①②判断；当，，从而可对③判断；由图象向左平移可对④判断； 【详解】对①②：当，， 因为，所以当时，，故②正确； 当时，，故①正确； 对③④：当，， 当，，故③正确； 将图象向左平移得，故④错误. 故答案为：①②③. 9．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【答案】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：.    11．（23-24高一下·上海·开学考试）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则 【答案】 【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即，， 即，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是， 即，又因为，所以令，即， 故答案为：. 12．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每題5分） 13．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 14．（2024·上海闵行·一模）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合同角公式，逐项分析确定的取值的正负情况即可判断得解. 【详解】对于A，若，， 由，解得，显然， 令方程的根为，，当时，， 当时，，而当时，， 当时，，取，则，A不是； 对于B，当为第二象限时，，， 取，， 则，B不是； 对于C，当为第三象限时，，取， ，，C不是； 对于D，当为第四象限时，，， 则，当为第四象限时，，D正确. 故选：D 15．（23-24高一下·上海嘉定·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 16．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，得到，结合函数的图象得到，进而求得的解析数，利用三角函数的相关性质，即可求解． 【详解】 由函数， 又由函数的图象可得，可得，则， 所以， 因为，即， 可得，所以， 又因为，所以，所以， 将的图象向左平移个单位到函数， 因为，可得， 又因为， 要使得函数的值域为，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分) 17．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值与最小值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)最大值，最小值； (2)最大值，最小值； (3)最大值，最小值. 【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解. （2）由题得，再利用二次函数的图象和性质结合正弦函数的图象和性质得解； （3）由二倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的图象和性质得解. 【详解】（1）当时，即时， 取得最大值， 当时，即时， 取得最小值， （2）. 当，即时，函数取得最大值； 当，即时，函数取得最小值. （3） ， 当时，即时， 取得最大值， 当时，即时， 取得最小值， 18．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，.如果与的夹角为，那么当取何值时，矩形的周长最大？    【答案】 【分析】利用三角函数表示和的长，利用辅助角公式即可求解. 【详解】由图易知，，， 因为，， 所以在中，，， 在中，，， 则， ， 所以矩形的周长为 ， 所以当时，即时，矩形的周长最大 19．（23-24高一·上海·课堂例题）（1）完成下表（为弧度数）； 1 0.5 0.1 0.01 0.001 （2）观察上表中的数据，你能发现什么规律？ （3）已知，利用图形面积公式证明，并应用该公式说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）完善表格见解析；（2）当趋近于0时，的值趋近于1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用计算器计算完善表格. （2）由（1）中表格中的数据写出规律. （3）利用三角形、扇形面积公式证明即可. 【详解】（1） 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.8415 0.4794 0.0998 0.0099998 0.001 0.8415 0.9589 0.9983 0.99998 0.9999998 （2）观察上述表格中的数据，得当趋近于0时，的值趋近于1. （3）如图： 在单位圆中，点，，且的终边交单位圆于点， 单位圆在点处切线与射线交于，的面积为，扇形的面积为， 的面积为，观察图形知，于是， 所以，则，整理得， 而当趋近于0时，趋近于1，所以的值趋近于1. 20．（23-24高一下·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【详解】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 21．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值； (3)对任意大于等于的实数，求的最大值，并求出当取得最大值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)，或. (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得到表达式； （2）利用恒等式将转化为关于的二次函数，再使用二次函数知识求解； （3）先证明，然后利用得到，最后根据证明过程即可研究出取到等号时的值. 【详解】（1）过作，垂足为， 由题意可得：，，故，. 所以矩形的面积，. （2）此时， 故 . 等号取到当且仅当，即，所以. 解得或. 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或. （3）由于，故， 且. 从而由，知，所以对任意有 ， 所以，得. 根据上面的证明过程，知等号成立当且仅当. 由于时必有或，故，从而一定有. 所以取等条件又可等价转化为， 这就意味着当时，取等条件是； 当时，取等条件是. 所以的最大值是，当取得最大值时，若，则所对应的的值是或；若，则所对应的的值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对三角函数相关恒等式的运用. 学科网（北京）股份有限公司 $$