第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：一元一次方程+一次方程组全部内容）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元一次方程+一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南开封·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·单元测试）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川内江·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理数，且满足，那么下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为，乙带钱的数量为，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·湖南南阳·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②；③方程的解为；④若，且，则或． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24七年级下·四川眉山·期末）强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24七年级下·四川攀枝花·期中）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（23-24七年级下·福建莆田·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 12．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 13．（23-24七年级下·山西长治·期末）定义新运算：．例如：，．若，则的值为 ． 14．（23-24七年级下·重庆·期末）如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 15．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（23-24七年级下·四川乐山·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 17．（23-24七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程．求m的值及方程的解． 18．（23-24七年级下·海南海口·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 19．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则______； (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． 20．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由完全相同的三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…，观察图案回答下列问题： (1)第5个图案中三角形的个数为______； (2)请用含n的代数式表示第n个图案中三角形的个数； (3)是否存在第n个图案，使三角形的个数为2025个？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由． 21．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③．…………第一步 将③代入②，得，第二步 解得．…………第三步 将代入①，得，………………第四步 原方程组的解为………………第五步 任务： (1)这种解二元一次方程组的方法叫作_____，以上求解步骤中，小权同学从第_____步开始出现错误． (2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 22．（23-24七年级下·河南焦作·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 23．（23-24七年级下·四川遂宁·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，．若点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为，点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为．如果点、同时出发，用表示移动时间． (1)分别求出点、到达终点所需的时间； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，则当为何值时，？ (3)当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元一次方程+一次方程组全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24七年级下·福建漳州·期末）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、未知数的最高次数不是1，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南开封·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·单元测试）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，了解方程组的解的意义是解题关键． 将代入各选项求解． 【详解】解：把代入，A选项符合题意． 不能和组成二元一次方程组，B选项不符合题意． 把代入，，C选项不符合题意． 把代入得，D选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24七年级下·四川内江·期中）如果字母a，b，c表示互不相等的有理数，且满足，那么下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．根据等式的性质去分母，进行变形，即可得出结论． 【详解】解：， 等式的两边同时乘以6，得 ， A．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故A不符合题意； B．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故B不符合题意； C．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故C不符合题意； D．， 去括号得：， 移项合并同类项得：，故D符合题意． 故选：D． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为，乙带钱的数量为，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，即可列出关于x，y的二元一次方方程组，此题得解． 【详解】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50，可得， 如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50可得：， 可列方程组． 故选：D． 6．（23-24七年级下·湖南南阳·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 7．（23-24七年级下·福建厦门·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（   ）个． ①；②；③方程的解为；④若，且，则或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算．根据新定义即可判断①②；整理得到，由，得到或，据此可判断③；当时，，则；当时，，则，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法错误； ③∵，， ∴， 整理得， ∴， ∴或，，，原说法错误； ③若，且， 则当时，， 则； 当时，， 则， ∴或，原说法正确； ∴说法正确的有2个， 故选：B． 8．（23-24七年级下·四川眉山·期末）强强利用两个完全相同的瓶子和一些沙子做成了如图所示的沙漏（两瓶子的瓶底相连，中间有一个小孔）．初始时刻上方瓶子中沙子的高度为，终止时刻下方的瓶子中空余部分的高度为．若每个瓶子的容积都为，则沙子的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，圆柱体的容积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．此题还有注意单位的统一．设瓶子的底面积为S，根据沙子的体积+空余部分的体积=2000列方程求解即可． 【详解】解：设瓶子的底面积为S ， 初始时刻时，沙子的体积是， 终止时刻时，空白部分的体积是 根据题意列方程得，， 解得， ， 故选B． 9．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 10．（23-24七年级下·四川攀枝花·期中）幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图有一个类似于幻方的“如圆”，将，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值是（　　） A． B．5 C． D．5或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的四则混合运算，由横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合横、竖两列的数相等及八个数分别为可求出内圆上最左边的数，结合八个空填写不同的八个数，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意得：,解得：, 又横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， 横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， , 在”幻圆”中填上部分数，如图所示： 可以为或， 当时，， 当时，， 的值为或， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11．（23-24七年级下·福建莆田·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组可得，结合方程组的也是二元一次方程的解，即可求出常数的值． 【详解】解：， 得，， 解得：， 代入到②，得， 解得：， 方程组的解为， 由题意得，也是方程的解， ， 解得：， 常数的值为2． 故答案为：2． 13．（23-24七年级下·山西长治·期末）定义新运算：．例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据新定义运算法则列出方程求解即可，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：， 而， ①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 14．（23-24七年级下·重庆·期末）如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含、、的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，根据可得，整理可得，从图可知长方形的长即为． 【详解】解：如图所示，长方形的宽可表示为， 长方形的宽也可表示为, ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 由图可知：长方形的长为． 故答案为： ． 15．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形． 【答案】 4 6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形， 由题意可得：，解得：， 所以设她们摆了4个三角形，6正方形． 故答案为：4，6． 三、解答题（8小题，共75分） 16．（23-24七年级下·四川乐山·随堂练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解题的关键． （1）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案； （2）把②代入①，得，解得，进而求得即可得到答案； （3）由①得，代入②，解得，进而求得即可得到答案． 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 将代入③，得 方程组的解为． （2）解： 把②代入①，得 解得： 把代入②，得 方程组的解为． （3）解： 由①，得③ 把③代入②，得 解得： 把代入③，得 方程组的解为． 17．（23-24七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程．求m的值及方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，进而解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故原方程可化为， 解得：． 18．（23-24七年级下·海南海口·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏.下面是两位同学的对话：    求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 【答案】甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元， 根据题意得， 解得， 答：甲乙两种飞船模型每件的售价分别是元，元． 19．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则______； (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． 【答案】(1)5 (2)9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用“友好方程”的定义，即可求出c的值； （2）由关于x的方程与方程互为“友好方程”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将m，n的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：关于x的方程与方程互为“友好方程”， 故答案为：5； （2）关于x的方程与方程互为“友好方程”， ，， ，， 20．（23-24七年级下·四川眉山·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由完全相同的三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…，观察图案回答下列问题： (1)第5个图案中三角形的个数为______； (2)请用含n的代数式表示第n个图案中三角形的个数； (3)是否存在第n个图案，使三角形的个数为2025个？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加3是解题的关键． （1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，求解即可； （2）由前5个图案所需三角形的个数，总结归纳出第n个图案中三角形的个数为即可； （3）令，求出n值，再根据n为是整数判定即可． 【详解】（1）解：∵第1个图案中三角形的个数为， 第2个图案中三角形的个数为， 第3个图案中三角形的个数为 第4个图案中三角形的个数为 ∴第5个图案中三角形的个数为， 故答案为：16． （2）解：∵第1个图案中三角形的个数为， 第2个图案中三角形的个数为， 第3个图案中三角形的个数为 第4个图案中三角形的个数为 第5个图案中三角形的个数为， …， ∴第n个图案中三角形的个数为． （3）解：由题意得：， 解得：， 不是整数， 不存在三角形的个数为2025的图案． 21．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③．…………第一步 将③代入②，得，第二步 解得．…………第三步 将代入①，得，………………第四步 原方程组的解为………………第五步 任务： (1)这种解二元一次方程组的方法叫作_____，以上求解步骤中，小权同学从第_____步开始出现错误． (2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)代入消元法，一 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）根据代入消元法的步骤进行判断即可； （2）得，，把代入①得，，解得，即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，以上求解步骤中，小权同学从第一步开始出现错误， 故答案为：代入消元法，一 （2） 得，， 把代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为 22．（23-24七年级下·河南焦作·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 23．（23-24七年级下·四川遂宁·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，．若点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为，点从点开始出发以的速度沿的方向移动，终点为．如果点、同时出发，用表示移动时间． (1)分别求出点、到达终点所需的时间； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，则当为何值时，？ (3)当为何值时，三角形的面积等于三角形面积的？ 【答案】(1)点、到达终点所需的时间分别为、 (2) (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）利用路程除以时间进行求解即可； （2）分别表示出，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上运动和点在线段上运动，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点到达终点所需的时间为． 点到达终点所需的时间为． 答：点、到达终点所需的时间分别为、． （2）当点在线段上运动，点在线段上运动时，，，则． 因为，所以，解得，所以当时，． （3）因为，，， 所以三角形的面积为． 可分以下两种情况讨论． 当点在线段上运动时，， 因为三角形的面积等于三角形面积的，所以，解得； 当点在线段上运动时，． 因为三角形的面积等于三角形面积的，所以，解得． 综上可知，当或时，三角形的面积等于三角形面积的． 学科网（北京）股份有限公司 $$