（趣味奥数）第十八讲 图形的运动-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十八讲 图形的运动 奇妙的艺术展览 周末，阳光小学五年级的学生浩浩和小伙伴们来到了市艺术展览馆，参加一场特别的“图形艺术展”。刚踏入展览馆，一幅巨大而奇特的画作就吸引了所有人的目光。 这幅画的主体是一座城市的天际线，然而其中的高楼大厦却像是被施了魔法。浩浩仔细观察，发现有几栋大楼是通过基本图形的旋转构建而成的。比如，一座三角形的建筑，明显是由一个直角三角形绕着它的一个顶点顺时针旋转了90°、180°、270°后，组合成了一个独特的四棱锥造型的高楼。浩浩兴奋地跟小伙伴们分享：“你们看，就像我们数学里学的图形旋转，这个三角形转一转，就变成了这么酷的建筑形状！” 继续往前走，他们来到了一个展示动态艺术装置的区域。一个巨大的机械装置上，有许多正方形和圆形在轨道上移动。其中，一组正方形沿着水平轨道从左到右平移，而圆形则垂直轨道上下平移。这些图形在移动过程中，时而组合成新的图案，时而分开。浩浩联想到课堂上学的图形平移知识，说道：“看呀，这些正方形和圆形按照直线方向移动，这就是平移。它们通过不同的平移方式，能创造出这么多好玩的画面。” 在展览馆的角落，还有一个互动区域。工作人员给大家发放了一些印有简单图形的透明塑料片，让大家尝试通过图形的运动来创作新作品。浩浩拿到了一个梯形和一个半圆形。他先把梯形沿着塑料片的边缘平移，接着将半圆形绕着一个点旋转，不一会儿，一个像小房子的图案就出现了。小伙伴们纷纷效仿，用图形的旋转、平移创作出了各式各样有趣的图案。 这次艺术展览之旅，让浩浩和同学们深刻感受到数学里图形的运动并不抽象，它就在我们身边，能创造出如此丰富多彩的艺术作品。离开展览馆时，大家都意犹未尽，期待着下一次还能有更多奇妙的数学发现。 一、平移 平移的定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。例如，把一个三角形沿着水平方向向右移动5厘米，这就是平移现象。 平移的要素： 方向：明确图形平移的方向，如上下、左右、斜着等方向。比如长方形向上平移，方向就是竖直向上。 距离：确定图形平移的距离，通常以厘米、分米等长度单位来衡量。如正方形向右平移3厘米，3厘米就是平移距离。 平移的应用： 在计算图形面积或周长时：通过平移可以将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。例如，将一个不规则的多边形通过平移线段，转化为长方形，再利用长方形的面积和周长公式进行计算。 解决路线问题：在一些实际问题中，通过分析物体的平移路线，能快速找到最优路径。比如，在一个迷宫中，根据平移的原理，可以规划出最短的行走路线。 二、旋转 旋转的定义：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。例如，钟表指针绕着表盘中心旋转，指针就是绕着一个定点做旋转运动。 旋转的要素： 旋转中心：图形绕着旋转的固定点，整个旋转过程中该点位置不变。比如风车绕着中心轴旋转，中心轴所在的点就是旋转中心。 旋转方向：分为顺时针旋转和逆时针旋转。例如，拧紧瓶盖是顺时针旋转，打开瓶盖是逆时针旋转。 旋转角度：图形旋转时转动的角度大小，常见的旋转角度有90°、180°、270°等。比如，将一个直角三角形绕一个顶点逆时针旋转90°，得到一个新的三角形。 旋转的应用： 设计图案：利用旋转可以设计出各种美丽而复杂的图案。如将一个简单的图形绕着某一点进行多次不同角度的旋转，组合成一个独特的图案。 解决几何问题：通过旋转图形，使分散的条件集中，从而找到解题思路。例如，在证明一些几何图形的性质时，将图形旋转后，能更直观地发现图形之间的关系。 三、轴对称 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。例如，正方形沿对角线或对边中点连线对折后，两部分完全重合，所以正方形是轴对称图形，对角线和对边中点连线就是它的对称轴。 对称轴的性质： 对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等：在轴对称图形中，对应点是指沿着对称轴对折后能够重合的点。比如，等腰三角形的两个底角顶点关于底边上的高所在直线对称，它们到这条对称轴的距离相等。 对应线段、对应角相等：对称轴两边的图形完全重合，所以对应的线段长度相等，对应的角度大小也相等。如长方形的对称轴两侧，对应边的长度和对应角的度数都相等。 确定对称轴的方法： 对折法：对于一些简单的图形，可以通过实际对折来确定对称轴。比如，圆形纸片无论怎么对折，两部分都能重合，所以圆形有无数条对称轴。 观察法：对于一些规则图形，根据其特点直接观察确定对称轴。例如，等边三角形有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。 轴对称的应用： 图形的补全：已知一个图形的一半是轴对称图形，利用轴对称的性质可以补全整个图形。比如，只给出一个轴对称图形的一半，通过找到对称轴，画出另一半，完成图形的补全。 解决实际问题：在建筑设计、图案制作等方面，轴对称的应用非常广泛。例如，设计一座对称的桥梁，既美观又能保证结构的稳定性。 1：看图填空。 (1)①号图形向左平移5格后与( )号图形重合。 (2)①号图形向上平移4格后与( )号图形重合。 (3)①号图形先向下平移3格，再向右平移4格，平移后与( )号图形重合。 (4)( )号图形先向上平移3格，再向右平移2格后与①号图形重合。 【思路分析】 平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。在平移的过程中，只是位置发生变化，图形的大小和形状不发生变化。据此结合上下左右的知识，在图形上数出格数，看与哪个图形重合即可。 【标准答案】 （1）①号图形向左平移5格后与③号图形重合。 （2）①号图形向上平移4格后与②号图形重合。 （3）①号图形先向下平移3格，再向右平移4格，平移后与⑤号图形重合。 （4）④号图形先向上平移3格，再向右平移2格后与①号图形重合。 1. 1）．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 2）． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。 3）．看图填空。 (1)图形A向( )平移了( )格，得到图形A/。 (2)图形B向( )平移了( )格，得到图形B/。 (3)图形C向( )平移了( )格，得到图形C/。 2： 画出下面图形的轴对称图形。 【思路分析】 把一个图形沿着一条直线对折，对折后直线两边的图形能完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。 根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左半图的关键对称点，依次连接即可补全这个轴对称图形。 【标准答案】 具体画法如下图所示： 2． 1）．将图补全为轴对称图形。 2）．按要求在方格纸中画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出三角形的轴对称图形。 （2）画出三角形ABC任意一条边上的高。 3）．在方格纸上按要求画图。 （1）根据对称轴补全轴对称图形①的另一半。 （2）画出图形②指定底边上的高。 3：如图每个小方格的边长表示1厘米，请按要求完成以下操作。 （1）在方格纸中为左图添上一个边长1厘米小正方形，使它成为轴对称图形。 （2）在方格纸中画一个和图中正方形周长相等的长方形。 （3）在方格纸中画出三角形先向下平移4格，再向右平移3格后的图形。 【思路分析】 （1）如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此在方格纸中为左图添上一个边长1厘米小正方形，使它成为轴对称图形即可； （2）根据图示，正方形的边长占4个小方格，也就是边长是4厘米，根据正方形的周长＝边长×4，可得正方形的周长是4×4＝16（厘米），然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得长方形长与宽的和是16÷2＝8（厘米），8＝7＋1＝6＋2＝5＋3，所以可以在方格纸中画一个长7厘米，宽1厘米，或长6厘米，宽2厘米，或长5厘米，宽3厘米的长方形，答案不唯一，据此作图即可； （3）根据平移的特征，将三角形的各顶点分别先向下平移4格，再向右平移3格后，依次连接即可得到平移后的图形。 【标准答案】 （1）据分析作图如下： （2）正方形的周长：4×4＝16（厘米） 长与宽的和是：16÷2＝8（厘米） 8＝7＋1＝6＋2＝5＋3 所画长7厘米，宽1厘米，或长6厘米，宽2厘米，或长5厘米，宽3厘米的长方形，其周长都与正方形的周长相等。作图如下： （3）据分析作图如下： （轴对称图形、长方形画法不唯一） 3． 1）．在方格纸中完成下面问题。 （1）画出方格纸中四边形向右平移6格后的图形。 （2）画出平移后图形的对称轴。 2）．根据要求画图，再回答问题。 （1）以虚线m为对称轴，画出轴对称图形A的另一半。 （2）画出图形B向右平移5格后的图形C。图中每个小正方形的边长是1厘米。利用学过的图形运动的知识试一试，计算图形B的面积是（    ）平方厘米。 3）．按要求画图。 （1）根据对称轴补全轴对称图形①。 （2）画出将图形②向上平移2格、向左平移5格后得到的图形。 （3）按边分，图形②是（    ）三角形；按角分，图形②是（    ）三角形。 4：如图，李奶奶家有一个长方形花坛，空白部分用于种花，种草部分分别是一大一小的两个正方形，李奶奶家种花的面积是多少平方米？ 【思路分析】 根据正方形的面积＝边长×边长，已知大正方形的面积是64平方米，因64＝8×8，所以大正方形的边长是8米，小正方形的面积是9平方米，9＝3×3，则小正方形的边长是3米；再利用平移，把小正方形平移到上面，则种花的两部分合并成一个长方形（如图），长是8－3＝5（米），宽是3米，根据长方形的面积＝长×宽，列式计算出种花的面积。据此解答。 【标准答案】 64＝8×8 则大正方形的边长是8米； 9＝3×3 则小正方形的边长是3米； （8－3）×3 ＝5×3 ＝15（平方米） 答：李奶奶家种花的面积是15平方米。 4. 1）．求小路的占地面积。 如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路。 2）．校园劳动基地的①号地和②号地种小白菜（如图）。小白菜地的面积是多少平方米？写出求面积的具体方法，再计算出结果。 3）．如图1所示，公园内有一块长22米，宽14米的长方形空地。在空地上铺设一条宽2米的石子小路，其余地方都铺上草坪。请你算出小路的面积是多少平方米？ （1）请你在图2中画一画，你是怎么探究出小路面积的。（提示：用涂色表示小路的面积，每个方格是边长2米的正方形。） （2）请把你计算小路面积的方法写下来。 移动过的上海音乐厅 上海音乐厅位于市中心黄浦区延安路，建于1930年，原名南京大戏院。为配合延安路高架的拓宽建设，2003年4月15日上午10时，上海音乐厅平移工程开始，先在原地顶升1.7米，然后向南移动66.46米，再在新址往上顶升1.68米。6月17日，平移工程完成，上海音乐厅以崭新的面貌出现在世人面前。 1：看图填空。 (1)①号图形向左平移5格后与( )号图形重合。 (2)①号图形向上平移4格后与( )号图形重合。 (3)①号图形先向下平移3格，再向右平移4格，平移后与( )号图形重合。 (4)( )号图形先向上平移3格，再向右平移2格后与①号图形重合。 【思路分析】 平移是指在平面内将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的运动叫做图形的平移运动。在平移的过程中，只是位置发生变化，图形的大小和形状不发生变化。据此结合上下左右的知识，在图形上数出格数，看与哪个图形重合即可。 【标准答案】 （1）①号图形向左平移5格后与③号图形重合。 （2）①号图形向上平移4格后与②号图形重合。 （3）①号图形先向下平移3格，再向右平移4格，平移后与⑤号图形重合。 （4）④号图形先向上平移3格，再向右平移2格后与①号图形重合。 1. 1）．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 答案：(1) 下 4 右 6 (2) 上 4 左 5 分析：（1）首先找出图①的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 （2）首先找出图②的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 详解：（1）图①先向下平移了4格，再向右平移了6格。 （2）图②先向上平移了4格，再向左平移了5格。 点睛：此题主要考查了平移的特征和应用，要熟练掌握，注意平移的方向和格数。 2）． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。 答案：(1) 形状 大小 (2) 左 3 上 1 分析：（1）平移是指在同一个平面内，如果一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，那么这样的图形运动就叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变图形的形状和大小，依此填空。 （2）先找出构成图形的关键点，再确定平移方向和平移距离即可，依此填空。 详解：（1）平移过程中，图形的形状和大小都不会发生改变。 （2）根据分析可知，图形B向左平移3格，再向上平移1格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。（答案不唯一） 点睛：熟练掌握平移图形的方法是解答此题的关键。 3）．看图填空。 (1)图形A向( )平移了( )格，得到图形A/。 (2)图形B向( )平移了( )格，得到图形B/。 (3)图形C向( )平移了( )格，得到图形C/。 答案：(1) 下 6 (2) 左 5 (3) 上 5 分析：物体平移的方法是点对点平移，然后将所有点依次连接起来，依此确定出平移的方向和距离即可。 详解：（1）图形A向下平移了6格，得到图形A/。 （2）图形B向左平移了5格，得到图形B/。 （3）图形C向上平移了5格，得到图形C/。 点睛：熟练掌握物体平移的方法是解答此题的关键。 2： 画出下面图形的轴对称图形。 【思路分析】 把一个图形沿着一条直线对折，对折后直线两边的图形能完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。 根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左半图的关键对称点，依次连接即可补全这个轴对称图形。 【标准答案】 具体画法如下图所示： 2． 1）．将图补全为轴对称图形。 答案：见详解 分析：根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点，依次连结即可补全这个轴对称图形，据此作图即可。 详解：根据分析，作图如下： 2）．按要求在方格纸中画一画。 （1）以虚线为对称轴，画出三角形的轴对称图形。 （2）画出三角形ABC任意一条边上的高。 答案：（1）（2）见详解 分析：（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （2）从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 详解：（1）（2） （画高不唯一） 3）．在方格纸上按要求画图。 （1）根据对称轴补全轴对称图形①的另一半。 （2）画出图形②指定底边上的高。 答案：（1）（2）见详解 分析：（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （2）从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。据此作图。 详解： 3：如图每个小方格的边长表示1厘米，请按要求完成以下操作。 （1）在方格纸中为左图添上一个边长1厘米小正方形，使它成为轴对称图形。 （2）在方格纸中画一个和图中正方形周长相等的长方形。 （3）在方格纸中画出三角形先向下平移4格，再向右平移3格后的图形。 【思路分析】 （1）如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此在方格纸中为左图添上一个边长1厘米小正方形，使它成为轴对称图形即可； （2）根据图示，正方形的边长占4个小方格，也就是边长是4厘米，根据正方形的周长＝边长×4，可得正方形的周长是4×4＝16（厘米），然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可得长方形长与宽的和是16÷2＝8（厘米），8＝7＋1＝6＋2＝5＋3，所以可以在方格纸中画一个长7厘米，宽1厘米，或长6厘米，宽2厘米，或长5厘米，宽3厘米的长方形，答案不唯一，据此作图即可； （3）根据平移的特征，将三角形的各顶点分别先向下平移4格，再向右平移3格后，依次连接即可得到平移后的图形。 【标准答案】 （1）据分析作图如下： （2）正方形的周长：4×4＝16（厘米） 长与宽的和是：16÷2＝8（厘米） 8＝7＋1＝6＋2＝5＋3 所画长7厘米，宽1厘米，或长6厘米，宽2厘米，或长5厘米，宽3厘米的长方形，其周长都与正方形的周长相等。作图如下： （3）据分析作图如下： （轴对称图形、长方形画法不唯一） 3． 1）．在方格纸中完成下面问题。 （1）画出方格纸中四边形向右平移6格后的图形。 （2）画出平移后图形的对称轴。 答案：（1）、（2）见详解 分析：（1）根据平移的特征，把这个四边形的四个顶点分别向右平移6格，依次连接平移后的点即可得到平移后的图形。 （2）把一个图形沿着一条直线对折，对折后直线两边的图形能完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。这个图形只有一条对称轴。 详解：（1）、（2）具体画法如下所示： 2）．根据要求画图，再回答问题。 （1）以虚线m为对称轴，画出轴对称图形A的另一半。 （2）画出图形B向右平移5格后的图形C。图中每个小正方形的边长是1厘米。利用学过的图形运动的知识试一试，计算图形B的面积是（    ）平方厘米。 答案：（1）见详解；（2）图见详解；9 分析：（1）把一个图形沿着一条直线对折，这条直线两边的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，据此画出轴对称图形的另一半。 （2）把图B的4个顶点向右平移5格，再将平移后的点顺次相连，即可得到平移后的图形。从图B左上角的顶点向下边的边作垂线段，即可将平移四边形分为一个三角形与一个梯形，如图再将这个三角形向右平移3格，那么图形即可转化为一个边长是3厘米的正方形，这个正方形的面积就是原来平行四边形的面积，根据正方形面积公式：边长×边长，把3与3相乘，即可求出图形B的面积。 详解：（1）（2） 3×3＝9（平方厘米） 图形B的面积是9平方厘米。 3）．按要求画图。 （1）根据对称轴补全轴对称图形①。 （2）画出将图形②向上平移2格、向左平移5格后得到的图形。 （3）按边分，图形②是（    ）三角形；按角分，图形②是（    ）三角形。 答案：（1）见详解    （2）见详解 （3）等腰；锐角 分析：（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出右图的关键点的对称点，依次连结即可； （2）根据平移的特征，把三角形的各个顶点分别先向上平移2格、再向左平移5格，再依次连结各顶点的对应点，即可得到图形②平移后的图形； （3）有两条边相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此解答。 详解：（1）（2）如图： （3）按边分，图形②是等腰三角形；按角分，图形②是锐角三角形。 4：如图，李奶奶家有一个长方形花坛，空白部分用于种花，种草部分分别是一大一小的两个正方形，李奶奶家种花的面积是多少平方米？ 【思路分析】 根据正方形的面积＝边长×边长，已知大正方形的面积是64平方米，因64＝8×8，所以大正方形的边长是8米，小正方形的面积是9平方米，9＝3×3，则小正方形的边长是3米；再利用平移，把小正方形平移到上面，则种花的两部分合并成一个长方形（如图），长是8－3＝5（米），宽是3米，根据长方形的面积＝长×宽，列式计算出种花的面积。据此解答。 【标准答案】 64＝8×8 则大正方形的边长是8米； 9＝3×3 则小正方形的边长是3米； （8－3）×3 ＝5×3 ＝15（平方米） 答：李奶奶家种花的面积是15平方米。 4. 1）．求小路的占地面积。 如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路。 答案：64平方米 分析：通过平移，将图形变为如下图： 据此可知，小路的面积相当于长方形草坪的面积减去长为（20－2）米、宽为（14－2）米的长方形面积；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。 详解：20×14－（20－2）×（14－2） ＝20×14－18×12 ＝280－216 ＝64（平方米） 答：小路的占地面积是64平方米。 2）．校园劳动基地的①号地和②号地种小白菜（如图）。小白菜地的面积是多少平方米？写出求面积的具体方法，再计算出结果。 答案：24平方米；把①号地向右平移1个格后，①号地与②号地拼成一个长6米，宽4米的长方形 分析：如图： 根据题意，两个点之间的距离是1米，把①号地向右平移1个格后，①号地与②号地拼成一个长6米，宽4米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，解答即可。 详解：把①号地向右平移1个格后，①号地与②号地拼成一个长6米，宽4米的长方形。 6×4＝24（平方米） 答：小白菜地的面积是24平方米。 3）．如图1所示，公园内有一块长22米，宽14米的长方形空地。在空地上铺设一条宽2米的石子小路，其余地方都铺上草坪。请你算出小路的面积是多少平方米？ （1）请你在图2中画一画，你是怎么探究出小路面积的。（提示：用涂色表示小路的面积，每个方格是边长2米的正方形。） （2）请把你计算小路面积的方法写下来。 答案：（1）见详解 （2）68平方米 分析：（1）把组成小路的小正方形平移到靠边的位置（如图），小路的面积就可以转化为两个大长方形的面积。 （2）由图可知，最上面的长方形的长是22米，宽是2米。靠左边的长方形（去掉最上面的那个小正方形）的长是14－2＝12（米），宽是2米。长方形的面积＝长×宽，直接将数据代入即可求出它们的面积。最后，把它们的面积加起来即可得到小路的面积。 详解：（1） （2）22×2＝44（平方米） （14－2）×2＝12×2＝24（平方米） 44＋24＝68（平方米） 答：小路的面积为68平方米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$