（趣味奥数）第七讲 速算与巧算（二）-四年级下册奥数精讲精练（通用版）

第七讲 速算与巧算（二） 数学魔法大赛 在阳光小学，流传着一个神秘传说：每年一度的数学魔法大赛，是展现数学超能力的舞台。获胜者不仅能获得“数学魔法师”的称号，还能解锁隐藏在校园图书馆深处的神秘数学秘籍。 今年的大赛如期而至，决赛现场气氛紧张又热烈。参赛选手们摩拳擦掌，准备一决高下。 第一关，“数字迷宫大挑战”。大屏幕上出现一道题：“有一包糖果，平均分给3个小朋友余2颗，平均分给5个小朋友也余2颗，这包糖果最少有多少颗？”选手小辉眼睛一亮，迅速在脑海中思索：这其实是求3和5的最小公倍数再加2。3和5互质，它们的最小公倍数就是3×5=15，15+2=17颗。小辉第一个按下抢答器，给出正确答案，顺利闯过第一关。 第二关，“整数运算大比拼”。题目是：345+298-199。选手小萱不慌不忙，运用速算技巧：把298看成300-2，把199看成200-1。原式就变为345+(300-2)-(200-1)，去括号得到345+300-2-200+1，接着计算(345+300-200)+(1-2)=445-1=444。小萱快速且准确的回答，赢得了现场观众的阵阵掌声。 最后一关，“综合速算大对决”。题目为：“两个数的和是56，其中一个数比另一个数多12，求这两个数分别是多少？”选手小宇冷静分析，利用和差问题的解法，较大数=(和+差)÷2，较小数=(和-差)÷2。较大数为(56+12)÷2=34，较小数为(56-12)÷2=22。小宇凭借出色的速算与巧算能力，答对了这道关键题。 比赛结束，小宇凭借全程出色的表现，荣获“数学魔法师”称号。他站在领奖台上，激动地说：“通过这次比赛，我发现速算与巧算就像神奇的魔法，能帮我们快速解决难题。我会继续探索数学的奥秘，用数学魔法创造更多可能！”台下的同学们也深受鼓舞，纷纷立志要学好数学，让速算与巧算成为自己的得力工具。 1.乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：例如：，， （去8数，重点记忆） （三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率、积不变规律 2.乘、除法混合运算的性质 （1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：， （2）在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即： （3）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如： （4）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即 ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 （5）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 上面的性质都可以推广到多个数的情形。 1：计算。 【标准答案】 2300 分析：根据积不变的规律把和分别写成和，再根据乘法分配律进行计算。 【思路分析】 1.计算下面各题。 （1）847—578＋389—222＋111 （2）4.8＋5.3＋5.1＋4.6＋5.2＋5.5 （3）1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋8＋7—6—5＋4＋3—2—1 2：用简便方法计算。 56×47＋46×44 【思路分析】 观察算式发现：47＝46＋1，根据乘法分配律可知，原式等于：56×46＋46×44＋56，再利用乘法分配律把原式变为：46×（56＋44）＋56，即可简算。 【标准答案】 56×47＋46×44 ＝56×（46＋1）＋46×44 ＝56×46＋46×44＋56 ＝46×（56＋44）＋56 ＝46×100＋56 ＝4600＋56 ＝4656 2． 1）．用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 2）．用简便方法计算。 55×45－56×44        764×46－766×44 3）．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9    333×125＋111×625    9999×2222＋3333×3334 3： 【标准答案】 【思路分析】 把999999999看成1000000000减1，然后根据乘法分配律进行计算。 3． 简便计算。 （1）4500÷（25×90）      （2）6×17＋2×3×33    （3）1234＋2341＋3412＋4123 4：计算。 （1）   （2） 【思路分析】 在只有乘除法的算式里，每个数前面的符号是这个数的符号，不论移动到哪个位置，它前面的运算符号不变号。据此计算； （1）先计算36÷9＝4，再把4和44相乘； （2）4000看成1000×4，先用1000÷125，再乘4。 【标准答案】 （1）； （2）。 4. 1）．计算。 （1）   （2） （3）   （4） 2）．用递等式计算。（写出必要的计算过程）      3）．用合适的方法计算。 1＋3＋5＋…＋19        8888×7＋1111×44 4）．用合适的方法计算。 （1）22－20＋18－16＋…＋6－4＋2 （2）137×34＋863×57＋137×23 （3）123×456÷789÷456×789÷123 数学家的故事——伽利略 有一次，伽利略信步来到他熟悉的比萨大教堂，他坐在一张长凳上，目光凝视着那雕刻精美的祭坛和拱形的廊柱。忽然，教堂大厅中央的巨灯晃动起来，是修理房屋的工人在那里安装吊灯。 这本来是件很平常的事，吊灯像钟摆一样晃动，在空中划出看不见的圆弧。可是，伽利略却像触了电一样，目不转睛地跟踪着摆动的吊灯，同时，他用右手按着左腕的脉，计算着吊灯摆动一次脉搏跳动的次数，以此计算吊灯摆动的时间。 这样计算的结果，伽利略发现了一个秘密，这就是吊灯摆一次的时间，不管圆弧大小，总是一样的。一开始，吊灯摆得很厉害，渐渐地，它慢了下来，可是，每摆动一次，脉搏跳动的次数是一样的。 伽利略的脑子里翻腾开了，他想，书本上明明写着这样的结论，摆经过一个短弧要比经过长弧快些，这是古希腊哲学家亚里士多德的说法，谁也没有怀疑过。难道是自己的眼睛出了毛病，还是怎么回事。 他像发了狂似的跑回大学宿舍，关起门来重复做这个试验。他找了不同长度的绳子、铁链，还有不知从哪里搞到的铁球、木球。在房顶上，在窗外的树枝上，着迷地一次又一次重复，用沙漏记下摆动的时间。 最后，伽利略不得不大胆地得出这样的结论：亚里士多德的结论是错误的，决定摆动周期的，是绳子的长度，和它末端的物体重量没有关系。而且，相同长度的摆绳，振动的周期是一样的。 1：计算。 【标准答案】 2300 分析：根据积不变的规律把和分别写成和，再根据乘法分配律进行计算。 【思路分析】 1.计算下面各题。 （1）847—578＋389—222＋111 （2）4.8＋5.3＋5.1＋4.6＋5.2＋5.5 （3）1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋8＋7—6—5＋4＋3—2—1 答案：（1）547 （2）30.5 （3）1000 分析：第（1）问，578和222凑整，389和111凑整，然后再计算；第（2）问，都先按照5.0计算，6个5.0的和，再把少算的加上，多算的减去；第（3）问，每相邻的四个数分为一组计算，每组的和都是4。 详解：（1） （2） （3） 2：用简便方法计算。 56×47＋46×44 【思路分析】 观察算式发现：47＝46＋1，根据乘法分配律可知，原式等于：56×46＋46×44＋56，再利用乘法分配律把原式变为：46×（56＋44）＋56，即可简算。 【标准答案】 56×47＋46×44 ＝56×（46＋1）＋46×44 ＝56×46＋46×44＋56 ＝46×（56＋44）＋56 ＝46×100＋56 ＝4600＋56 ＝4656 2． 1）．用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 答案：33330000 分析：把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把9999×2222变为：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把3334看作是3333与1的和，利用乘法分配律，把3333×3334变为：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 详解：9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 点睛：根据数据的特点找出相同的因数再运用乘法分配律简便计算。 2）．用简便方法计算。 55×45－56×44        764×46－766×44 答案：11；1440 分析：第一小题，把56看作是55与1的和，利用乘法分配律，把原式变为：55×45－55×44－44，即可简算； 第二小题，把766看作是764与2的和，利用乘法分配律，把原式变为：764×46－764×44－2×44，再利用乘法分配律把原式变为：764×（46－44）－2×44，可得：764×2－2×44，再次利用乘法分配律，即可简算。 详解：55×45－56×44 ＝55×45－（55＋1）×44 ＝55×45－55×44－44 ＝55×（45－44）－44 ＝55－44 ＝11 764×46－766×44 ＝764×46－（764＋2）×44 ＝764×46－764×44－2×44 ＝764×（46－44）－2×44 ＝764×2－2×44 ＝（764－44）×2 ＝720×2 ＝1440 6．用简便方法计算。 9999＋999＋99＋9    333×125＋111×625    9999×2222＋3333×3334 答案：11106；111000；33330000 分析：（1）9999＝10000－1，999＝1000－1，99＝100－1，9＝10－1，然后计算即可。 （2）333＝111×3，3×125＝375，即333×125＝111×375，然后根据乘法分配律，计算即可。 （3）3333×3334＝3333×3333＋3333，9999×2222＝3333×3×2222＝3333×6666，然后根据乘法分配律，计算即可。 详解：（1）9999＋999＋99＋9 ＝（10000－1）＋（1000－1）＋（100－1）＋（10－1） ＝10000－1＋1000－1＋100－1＋10－1 ＝10000＋1000＋100＋10－4 ＝11110－4 ＝11106 （2）333×125＋111×625 ＝（111×3）×125＋111×625 ＝111×（3×125）＋111×625 ＝111×375＋111×625 ＝111×（375＋625） ＝111×1000 ＝111000 （3）9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 3： 【标准答案】 【思路分析】 把999999999看成1000000000减1，然后根据乘法分配律进行计算。 3． 简便计算。 （1）4500÷（25×90）      （2）6×17＋2×3×33    （3）1234＋2341＋3412＋4123 答案：（1）2；（2）300；（3）11110 分析：第（1）问，除以两个数的积，等于分别除以这两个数，去掉括号，再应用交换律简便计算； 第（2）问，把2×3×33写成6×33，应用乘法分配律简便计算； 第（3）问，应用位值原理进行简便计算。 详解：4500÷（25×90）       ＝4500÷90÷25 ＝50÷25 ＝2   6×17＋2×3×33    ＝6×17＋6×33    ＝6×（17＋33）    ＝6×50 ＝300 1234＋2341＋3412＋4123 ＝（1＋2＋3＋4）×1111 ＝10×1111 ＝11110 4：计算。 （1）   （2） 【思路分析】 在只有乘除法的算式里，每个数前面的符号是这个数的符号，不论移动到哪个位置，它前面的运算符号不变号。据此计算； （1）先计算36÷9＝4，再把4和44相乘； （2）4000看成1000×4，先用1000÷125，再乘4。 【标准答案】 （1）； （2）。 4. 1）．计算。 （1）   （2） （3）   （4） 答案：（1）8；（2）24； （3）8；（4）100 分析：（1）把200拆成2×100，用100÷25，再和2相乘； （2）把3000拆成3×1000，1000÷125，再和3相乘； （3）先算12÷3，再乘14÷7的商； （4）先算12÷3再乘25。 详解：（1）； （2）； （3）； （4）。 2）．用递等式计算。（写出必要的计算过程）      答案：2853800；6344； 63775；100000 分析：用递等式计算时，要注意运算顺序和运算方法。同级运算从左往右按顺序计算，不是同级运算的要先算乘除、法，再算加、减法，有小括号的先算小括号里面的，能简算的要简算。 详解：63084÷21×950 ＝3004×950 ＝2853800 36×289－158340÷39 ＝10404－4060 ＝6344 74025－25×（145＋265） ＝74025－25×410   ＝74025－10250 ＝63775 125×25×32 ＝125×25×（4×8） ＝125×8×（25×4） ＝1000×100 ＝100000 3）．用合适的方法计算。 1＋3＋5＋…＋19        8888×7＋1111×44 答案：100；111100 4）．用合适的方法计算。 （1）22－20＋18－16＋…＋6－4＋2 （2）137×34＋863×57＋137×23 （3）123×456÷789÷456×789÷123 答案：（1）12 （2）57000 （3）1 详解：（1）22－20＋18－16＋…＋6－4＋2 ＝2×6 ＝12 提示：分组求差，再求和。 （2）137×34＋863×57＋137×23 ＝137×（34＋23）＋863×57 ＝137×57＋863×57 ＝（137＋863）×57 ＝57000 （3）123×456÷789÷456×789÷123 ＝（123÷123）×（456÷456）×（789÷789） ＝1×1×1 ＝1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$