精品解析：湖北省阳新实验高级中学、黄梅县第五高级中学2024-2025学年高一下学期2月开学收心考试数学试卷

2025年春季高一年级2月收心考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，用签字笔将答案写在答题卡上. 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 记函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 6. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于角说法中，正确的为（ ） A. 若的终边在轴上，则 B. 若是第二象限角，则不是第二象限角 C. 若，则 D. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 10. 已知函数且定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为3 C. 当，且时，的最小值为8 D. 当，且时，最小值为5 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 14. 若，则_________． 四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当，且时，求实数的取值范围． 16. （1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数． （1）求函数的最小值 （2）当且仅当时，取得最小值，求在的值域 （3）若，对恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季高一年级2月收心考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，用签字笔将答案写在答题卡上. 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程和根式方程求得集合，再求并集即得. 详解】由可得或，则； 由可得：，解得，即， 故. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式直接化简求值即可. 【详解】； 故选：A 3. 记函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性与零点存在性定理判断即可． 【详解】因为在上都单调递增， 所以在上单调递增， 又，，即， 故的零点所在区间为. 故选：C. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质有，显然，即可求解. 【详解】，，所以，，所以. 故选：A. 5. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 6. “在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义，结合对数函数和幂函数的性质判断. 【详解】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知幂函数图象过点，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】的零点个数等于曲线和直线的交点个数，根据函数的对称性与周期性画出的图象，再在同一坐标系内画出的图象，数形结合可得答案. 【详解】等价于，故的零点个数等于曲线和直线的交点个数， ，故的一个周期为4， 又，故曲线关于直线对称， 当时，递增，可画出在上的图象， 再根据曲线关于直线对称可画出在上的图象， 最后利用周期性可画出的图象，再在同一坐标系内画出的图象， 由图可知两图象共有5个交点，则函数的零点个数为5，故选D选项． 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于角的说法中，正确的为（ ） A. 若的终边在轴上，则 B. 若是第二象限角，则不是第二象限角 C. 若，则 D. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据轴线角的表示，可得A错；由是第二象限角，求出的范围，可判断B正确；由正切大于零，可得角是第一或第三象限角，故C错；由扇形面积公式，可得D正确. 【详解】若的终边在轴上，则，故A错； 若是第二象限角，则， 则， 当时，，则是第一象限角； 当时，，则是第三象限角； 故B正确； 若，则可以是第一或第三象限角，故可能取正也可能取负，故C错； 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数且的定义域为，当时，有，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域求出的范围，利用复合函数的单调性再求出的另一个范围，结合选项即可求解. 【详解】由题意知，，则， 又且，故解得且； 令，其图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递减， 又时，，即在上单调递减， 所以函数为增函数，则， 所以实数的取值范围为. 故选：AB 11. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为3 C. 当，且时，的最小值为8 D. 当，且时，的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用对勾函数的单调性即可求得最大值，对于BD选项，利用基本不等式可判断正误，对于C选项，利用判别式为非负可判断其正误. 【详解】对于A，令，则， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，故A正确； 对于B，当时，， ，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对于C，令，则， 所以，所以x，2y可看作方程的两根， 所以，解得或舍去，所以的最小值为8，当且仅当时取最小值，故C正确； 对于D，令，，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ACD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用分数指数幂与指对互化求解即可. 【详解】. 故答案为：3. 13. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶函数定义域关于原点对称建立的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得. 经检验，符合题意， 所以. 故答案为： 14. 若，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造函数，根据函数单调性可得，从而得解. 【详解】根据题意，，， 设函数，其是增函数，方程有唯一解， 又， ． 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：根据题意，，，构造函数，得解. 四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）当，且时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合，最后求并集即可； （2）先由将中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合，再由交集为空集，即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得， 当时，即为， 即为，， ． 【小问2详解】 ， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，则，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 16. （1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 【答案】（1），；（2）4 【解析】 【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而得解； （2）由已知利用同角三角函数基本关系式，即可计算得解． 【详解】（1）因为角的终边过点， 所以，且，解得：， 所以， ； （2）因为， 所以 ， 即， 又因为角为第三象限角，所以，， 所以，即， 所以 17. 湖北省孝感市孝昌县丰山镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，这一举措充分展现了其对国家“强国必先强农，农强方能国强”号召的深刻理解与实践.通过这一发展战略，不仅促进了乡村产业的转型升级，还兼顾了生态环境保护，为乡村的全面振兴探索出了一条富有前瞻性和可持续性的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：，肥料成本投入为5x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为10x元，且， （1）求实数a，b的值； （2）已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元），当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）， （2）当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【解析】 【分析】（1）根据，得到两个方程，求解方程组即可； （2）根据对数函数单调性的性质、运用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，且， 所以，. 【小问2详解】 ， 当时， ， 令，在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 于是根据对数型函数单调性的性质， 可知当或2时，所以. 当时， ， 当且仅当即时等号成立. 综上所述，当时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数型函数的单调性的性质和换元法的应用. 18. 已知函数． （1）求函数的最小值 （2）当且仅当时，取得最小值，求在的值域 （3）若，对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）－1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1），当取最小值； （2）当且仅当时，取得最小值即可求出的值，从而求出在的最值即可； （3）对恒成立转化为，求出的最小值即可. 【小问1详解】 由题： ， 时，取得最小值为－1． 【小问2详解】 由（1）可知：，故 当时， 故当时，即时，取得最小值－1 故当时，即时，取得最大值15 的值域为 【小问3详解】 由题：当，原不等式为， 即时， ，当且仅当取等 故此时取得最小值为0. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）， （2）函数在上为单调递增函数；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在R上的奇函数，可得和，解得a与b，检验可得所求值； （2）由指数函数的单调性可判断的单调性； （3）由的奇偶性和单调性，可得当时，，即恒成立，可得所求范围． 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，即①； 又因为，所以，即②， 联立①②可得：，解得，代入①可得：， 经检验，当，时，，满足题意. 小问2详解】 由（1）可得：，下面证明函数在R上为单调递增函数. ，，当时， ， 因为，且为R上的增函数，所以， 则， 所以，即， 所以函数在R上为单调递增函数； 【小问3详解】 因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 由函数在R上为单调递增函数得：当时，，即恒成立， 令，， 则当即时，函数在上单调递增， 所以，所以即或，所以； 当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 当即时，函数在上单调递减，所以， 所以，所以或，所以， 综上，实数t的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值问题，求最值的方法，常用单调性求最值，基本不等式求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$