精品解析：浙江省宁波市第七中学2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷

宁波七中教育集团2024学年第一学期 初二数学期末阶段性评估卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为110分，考试时间为90分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一．单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形任何两边的和大于第三边 C. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 6. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C. 图象不经过第二象限 D. 点和都在该函数图象上，若，则 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 非选择题部分 二．填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 13. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 14. 如图，在中，已知，，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点D，连接，则的度数为________． 15. 若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 16. 如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 三．解答题（共7题；第17-19题每题6分，第20-22题每题8分，第23题10分，共52分） 17. （1）计算； （2）解不等式组． 18. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）作出关于原点对称的； （2）在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 20. 某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； （2）该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程． 素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系． 素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系． 问题解决 任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________． 任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？ 任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？ 23. 【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 四．附加题（共2题；第24题4分，第25题6分，共10分） 24. 若，，则________． 25. 如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波七中教育集团2024学年第一学期 初二数学期末阶段性评估卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分为110分，考试时间为90分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 选择题部分 一．单选题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断轴对称图形，即可求解． 【详解】解：根据轴对称的定义，观察图形可知A、C、B都不是轴对称图形；D选项为轴对称图形； 故选：D 2. 若成立，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质并能熟练运用求解． 根据不等式的性质，对四个式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，不等式两边同加上3，得，故A不成立； ，不等式两边同乘以，得，故B成立； ，不等式两边同减去3，得，故C不成立； ，不等式两边同除以3，得，故D不成立， 故选：B． 3. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：中，，，点为斜边上的中点， ； 故选：C 4. 如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据勾股定理，求得，进而求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 的周长为； 故选：A 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形任何两边的和大于第三边 C. 两边及一角对应相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定方法，角平分线的性质，作出判断即可． 【详解】解：A．对顶角相等，正确，是真命题； B．三角形任何两边的和大于第三边，正确，是真命题； C．两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，故不正确，是假命题； D．角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题； 故选C． 【点睛】本题考查命题的判断，对顶角的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定方法，角平分线的性质，对概念记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键． 6. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C. 图象不经过第二象限 D. 点和都在该函数图象上，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像及其性质及一次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图像与坐标轴交点的求法是解题的关键． 令，即可确定图象与轴的交点是；令，图象与轴的交点是，便可求出图象与坐标轴形成的三角形的面积，根据一次函数性质即可判断C、D选项． 【详解】解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意； B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意； C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意； D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 9. 若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 10. 如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． ①：根据即可证明；②：由①推出，再用八字形模型即可；③④：过点作轴于点，证明≌以及≌，即可得出结论． 【详解】解：①：由题意知，，，且，， ∴， 在与中， ∴≌； 故①正确； ②：由①知，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故②正确； ③和④：如图， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，故③正确； ∴，故④正确；   故选： D． 非选择题部分 二．填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， 解得． 故答案是：． 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 13. 命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是________． 【答案】有三条对称轴的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题就是把原命题中的条件和结论互换位置得到的新命题是解决此题的关键，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】解：∵原命题“等边三角形有三条对称轴”， ∴条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形有三条对称轴”， ∴命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是有三条对称轴的三角形是等边三角形， 故答案为：有三条对称轴的三角形是等边三角形． 14. 如图，在中，已知，，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点D，连接，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握等边对等角．分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，当点D在线段上时， 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 如图，当点在延长线上，即在点处时， 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 15. 若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 16. 如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征，得到、、的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【详解】解：∵，，，…，在直线上， ∴，，，，…，； 又∵， 故， ∴； ， ； ， ； ； … ∴（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：． 三．解答题（共7题；第17-19题每题6分，第20-22题每题8分，第23题10分，共52分） 17. （1）计算； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各式，再进行加减运算； （2）分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：； 18. 如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中 ， ． 【小问2详解】 解：∵， ， ∵， ∴． 19. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）作出关于原点对称的； （2）在y轴上找一个点P，使得的值最小，并直接写出的最小值（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析； 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、原点对称、最短路径问题，掌握相关知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先画出各顶点关于原点对称的对应点，再顺次连接即可； （2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，利用轴对称的性质可得，则点P即为所求，再利用勾股定理求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点， 由对称性得，， ， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 由图可得，， 如图所示，点P即为所求，的最小值为． 20. 某商场计划一次性购进A，B两种商品共100件，每件商品的销售利润分别为A种商品80元，B种商品120元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的3倍，设购进A种商品x件，这100件商品的销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数表达式（写出自变量x的取值范围）； （2）该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？并求出最大的销售总利润． 【答案】（1）（且x为整数） （2）购进A种商品25件、B种商品75件；最大的销售总利润为11000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）先根据公式：销售总利润A种商品的销售总利润 B种商品的销售总利润，列出函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可； （2）根据函数解析式得到随的增大而减小，再利用一次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， B种商品的进货量不超过A种商品的3倍， ， 解得：， y与x之间的函数表达式为（且x为整数）． 【小问2详解】 解：， 对于函数，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， 此时， 该商场购进A种商品25件、B种商品75件，才能使销售总利润最大，最大的销售总利润为11000元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求直线的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程． 素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①． 素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系． 素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系． 问题解决 任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________． 任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？ 任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？ 【答案】（1）16；24；（2）2.7小时；（3）小时或小时． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，数形结合是解答本题的关键． （1）根据速度=路程÷时间计算即可； （2）求出段和段的函数解析式，然后联立即可求解； （3）分相遇前相遇后两种情况求解即可． 【详解】解：（1）从景点甲到终点的2号观光车的速度是， 从终点返回的3号观光车的速度是． 故答案为：16；24； （2）设段解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴． 设段解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴． 解，得， ∴小宁出发多后，与小波相遇 （3）相遇前： 当时，， ， ∴， 解得． 相遇后： ， 解得． 综上可知，小宁出发小时或小时，两人相距． 23. 【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 【答案】（1）；②；（2），理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，可得，从而证明, ②根据可得，即可证明； （2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解． 【详解】解：（1）①如图1，∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为：． ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）．理由是： 取中点G，连接，如图2， ∵点G是斜边中点， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时， ，此时F在的延长线上， 同（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． 四．附加题（共2题；第24题4分，第25题6分，共10分） 24. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 先把利用完全平方公式变形为，再变形，然后代入求解即可； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 25. 如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，得到是的垂直平分线；设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；过作交于点，先证明是等腰直角三角形，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；最后利用即可得出答案． 【详解】解：等腰中，，， ，， 点恰好落在的中点处， ， ， 由折叠的性质可得，，， 是的垂直平分线， ，， ； 设，则， 在中，，即， 解得：， ； 如图，过作交于点，则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； ． 折痕的长度为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $