甘肃省张掖市某校2024-2025学年高三下学期开学摸底联考数学试卷

2025届高三开年摸底联考 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】由题意，得A={-1,0,1,2,3},又B=《x|x≤2}，所以A∩B={一1,0,1,2}，故选B 2.B【解析】引z= 2=1-2i=5=10,故选B. 1+iT1+2 3D【折1由为奇系数得片-e -rea tel (ec-a)+=1, 恒成立，所以a=4,故选D. letr -esr 解析】由已知得b·(a-2b)=0,即a·b=2b,所以3bc0s(a,b)=2b,得c0sa,b)=号故 5.C【解析】由已知可得c0月--sin sin=号，c0saos月=2 sin asin月， 2 所以cos acos=3,sin asin月=3，所以cos(a-B)=cos acosB-+-sin asinB=1.故选C 6,D【解折】因为点A(:,6)在抛物线Cy°=2：上，所以z=8因为AF-号，所以由抛物线的定义得+ 台-号解得p=4政p=9,放选D 7.C【解析】易得f(2)=0,且当x→0时，f(x)→十∞，当x→十∞时，f(x)→十∞，所以要使f(x)恰有一个零 点，则∫(x)在x=2左侧附近单调递减，右侧附近单调递增，即∫(x)在x=2处取到最小值，且f'(2)=0. 又fx)=2x-3-兰，所以f(2)=4-3-受=0，解得a=2. 当a=2时，(x)=2-8-2=红-2》(2x+D,当x∈0,2)时，f(x<0f(x)单调递减，当x∈(2，十∞) 时，'(x)>0,f(x)单调递增，所以∫(x)在x=2处取得极小值，也是最小值，即∫(x)≥∫(2)=0恒成立，所以 当且仅当a=2时，f(x)恰有一个零点.故选C. 8.A【解析】设球心为O,连接OA,OB,OC,OD.设点C,D到平面OAB的距离分别为h1,h2,点A,B到平面 1 OCD的距离分别为h,h,则h1十h:≤CD=6,h,十h,≤AB=8,Saas=2×8X3=12,Saom=2X6X4-12. 则Va-m=Vo-c+Vo-Am+Vo-m+Vg-m=Wc-ou+Vn-0e)+(WA-m十Va-m)=子Saua:+十 h:)+号Sam(h:+h,)≤号×12X(6+8)=56,当且仅当CD1平面OAB,AB1平面OCD时取等号.放选A 9.ABD【解析】记事件A=“从{1,2,3}中取到奇数”，事件B=“从{4,5,6}中取到奇数”，事件C=“a+b为奇数”， 事件D=ab为奇数”，则P(A)=号，P(B)=号 对于A,P(C-PAB+aB)-号×-》+-号)×号号A正确： 212 对于B,P(D)=P(AB)=3×3=),B正确： 1 对于C,X的可能取值为5,6,7,8,9，P(X=6)=P(X=8)= ×1+1×1=2 3×3+3×3-9 PX=5)=PX=9=xgPX=)=号×号+号×号+写xg 开年摸底联考数学答案第1页（共6页） 所以E0X)-5×日+6×号+7X号+8×号+9×行-7，C错误： 对于D,Y的可能取值为4,5,6,8,10,12,15,18，其中 PY=4)=PY=5)=P(Y=6)=P(Y=8)=P(Y=10)=P(Y-15)-P(Y=18)=g: PY=12)=号，所以在y的所有可能的取值中最有可能取到的值是12.D正确放选ABD 10,BCD【解析】根据题意得an+i=3a。一2a.-1→a+1一a,=2(a。一am-1),a2一a1=2,所以数列{am+1一a.}为首 项为2，公比为2的等比数列，故A错误： 根据题意得a,+1=3a。-2a。-1→am+1一2a,=a,一2a,-1,a2一2a1=1,所以数列{am+1一2a,}为首项为1，公比 为1的等比数列，故B正确， 由A,B得a+1一a。=2"且a+1-2an=1,解得a,=2”-1,所以S。=a1十a2+…十a,=21+22+…+2"-n= 2+1一n一2，故C正确，D正确.故选BCD. 11.ACD【解析】如图1，取A1B1的中点P,连接PN,PD1,易证MC1⊥D1P,由PN⊥平面A1B1CD1,MC1C 平面AB,CD,得MC⊥PN.又D,P∩PN=P,DP,PNC平面PND:,所以MC1⊥平面PND.又 D1NC平面PND1,所以MC1⊥D1N,A正确. 图1 如图2，直线MC1,A:B,交于点E,直线EN与AA,BB,分别交于F,G,直线GC与BC交于点H,连接 FM,NH,可得平面MNC1截正方体所得的截面是五边形MFNHC1,D正确. D 图2 在图2中，易得EA1=A1B1=2AN,所以A,F=2FA,所以F为A,A上靠近A的三等分点，所以FM与AD 不平行，即AD1∥平面MNC,不正确，B错误. 如图1，取B,C1的中点Q,连接QC,NQ,则QC∥DM,所以∠QCN为异面直线MD与NC所成的角（或其补 角)，设正方体的棱长为2，则CN-QC=5,NQ=6,在△CNQ中，由余弦定理得cos∠QCN=55-6_名， 2X55: C正确.故选ACD. 12.3+22 3 【解析】抽BD=2DC,得A市-AB-2(AC-A),即3A市=A店+2AC-1A正+2A京，由D,E,F 开年摸底联考数学答案第2页（共6页） 三点共线，可知2+2-3， m 所以m十n= a+)仁+引+只+）》>计当且当m--时取等号，所 3 3 以m十n的最小值为3+22 31 13.9.5 【解析】因为之x,=20,芝y,=35,所以元=2，y=3.5.因为经验回归直线经过样本中心点（红，y),所以 3.5=-3×2十a,解得a=9.5. 14.25【解析】当x>0,y>0时，由曲线C的方程，得(x一1)2+(y一1)2=2，曲线 C在第一象限内的部分是圆心为(1,1)，半径为√2的圆弧.同理，曲线C在第二、 三、四象限内的部分都是圆弧，当x=0时，y=士2：当y=0时，x=土2.曲线C 在坐标系中如图，由图可知，曲线C围成区域内格点的个数为25. 15.解：(1)因为5cosA-3=cos2A,所以2cos2A-5cosA+2=0,3分 解得c0sA=号，或c0sA=2(舍去).…5分 又因为A∈(0，)，所以A=无 3 ……6分 b c 3 (2)由正弦定理得 sin B sin Csin A =23, 2 所以b=2W3sinB,c=23sinC. ……7分 因为A=号所以B+C-祭 …8分 所以△ABC的周长l=a+b+c=3+2√3(sinB+sinC) =3+2mB+ng-B】-3+252nB+9sB 3+3/3sin B+3cos B-3+6sinB+ 10分 又因为B∈，》ce0,引 所以-B<解得<B<受，所以管<B+<。 所以<n(B+1. 12分 所以3+35<3+6simB+看)9。 故△ABC的周长1的取值范围为(3+33,9]. …13分 16解：(1)如图，取AB的中点E,连接PE,EC.由PA=PB=√5，可得PE⊥AB. 开年摸底联考数学答案第3页（共6页） 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB,所以PE⊥平面ABCD. 因为ECC平面ABCD,所以PE⊥EC, 所以∠PCE为PC与平面ABCD所成的角.…3分 PC:=PE+EC:=PE*+EB*+BC:=PB+BC2=5+16=21, 又PE=VPB-BE=2,所以sin∠PCE=2=2y2I √221 ………5分 故PC与平面ABCD所成角的正弦值为2y② 21 小…6分 (2)取CD的中点F,连接EF,以E为坐标原点，E第，EF的方向分别为x,y轴 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0),C(1,4,0).…7分 设P(0,2cos0,2sin8),8∈(0，π)，平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则BC=(0,4,0),B驴=(-1,2cos0,2sin0).…8分 m⊥BC, 由 =0, 得】 mLB驴，-x+2ycos0+2zsin0=0, 取x=1,得m=(2sin0,0,1). …9分 又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1), 1 所以sin0-3 所以cos0=士 …13分 所以P(0,1w3)或P(0,-1W3) 所以PC=√2+32+3=√/13或PC=√/1+5+3=√29， 所以PC的长为/13或√29.…… 15分 1 9 =1, 17.解：(1)由已知得 解得a2=4,b2=3, b2=3, 所以椭圆E的方程为+学………………4分 (2)解法一：设B(x1,y1),C(x2,y:).由题意，直线1的斜率存在，设直线l的方程为y=x一3， 与+号=1联立消去y,得(3十4块)z2-24红十24=0，…5分 由4=(-24)-4×24(3+4)>0，得>5 或<-6 …6分 24k 24 所以z十王3汁23十4级即十k,……c…8分 设外心Q(xo,y),则由|PQ|=|QB|,得x8+(y。一√3)2=(x。一x1)2+(y。-y1)2, 即x-2x0x1-2y0y1十y十23y0-3=0,…9分 又明=31-)=，-3 开年摸底联考数学答案第4页（共6页） 所以-2x十yz+265+3=0.… ………10分 同理由1PQ=QC,可得生-2(x。十ky)x+23+3y,=0,……11分 所以工1x,为方程 一2(x。十ky。)x+2(,3+3)y。=0的两个不相等的实数根， 所以x1十x:=8(x+y),x1x,=8(W3+3)y,所以1十2=工+。 x1x2(/3+3)y ,……12分 所以无6十=，解得0=2-原，…14分 (5+3)y To 即直线（与直线OQ的斜率之积为定值2一3。……………15分 解法二：设B(x1y1),C(x2,ya).由题意，直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=x一3， 与+号-1联立消去y,得(3十4软)x2-24k红+24=0，①…5分 由4=（-24)2-4X24(3+4)>0,得k>9或6<-5 21 …6分 设△PBC的外接圆的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0, 因为圆过P(0,3),所以F=-3-√5E,所以圆的方程为x2十y2+Dx十Ey-3-V3E=0, 外心Q的坐标为一2，一2 D E …9分 1y=kx-3, x2+y2+Dx十Ey-3-√5E=0, 得(1十k2)x3十(D十Ek-6k)x十6-3E-3E=0.②…10分 因为工1x,为方程①与②的两个根，所以2=-D+E-6k,24二6-3E-3E 3十4k2 1+k23十4k2 1十k 所以D+Ek-6k=6-3E-5E -24k …们2分 24 解得”=2-3， …14分 即直线1与直线OQ的斜率之积为定值2一√3，… …15分 18.(1)解：设h(x)=1n(x+1)-2x x+2x>-1, 则A)克2产-红中0且等号不相成立，…2分 所以h(江)在（一1，十0∞）上单调递增.……4分 又h(0)=0, 所以当x∈(-1,0)时，h(x)<0;… …5分 当江=0时，h(江)=0好…6分 当x∈(0，十o∞)时，h(x)>0.… ……7分 即当x∈(-1,0)时，f(x)<g(x): 当x=0时，f(x)=g(x): 开年摸底联考数学答案第5页（共6页） 当x∈(0，十∞)时，f(x)>g(x),…8分 (2)证明：由(1)知当x>0时，ln(x+1D> x十2 4…9分 2 …11分 7 即ln(n+1)-lnn>2m+ 2 …13分 分别取n=1,2,3,…,8,得 h2>号h8-lh2>号lh4-a3>号lh5-ln4>号h6-1h5>品 h7-lh6>号h8-h7>品h9-lh8>号， …14分 加得19>号+号+号+号+异+后后+品 …15分 所似>++号+写++品+品 …17分 19.1解：由题意，得p,=1p:=号=号：+号1-)=号 …3分 (②)解：由已知得.=专1十号1-p≥2，所以p,= 3-1十 3,…5分 即.-2=-e-》月 …6分 又因为p,一号号所以.一}是首项为分，公比为一的等比数列.…7分 所以，是()厂即p.=()厂+号 …9分 (3)证明：由(2)及题意，得g.=2p.-1-3∈(0,1小. …………11分 设h(x)=x一sinx,x∈(0,1]，则h'(x)=1-cosx>0,所以h(x)在区间(0,1]上单调递增. 又qm>qw+1,则h(qn)>h(g+1),即q。-sin>q+1-sing+1,…13分 所以 3=g。-qa+i>sinq。-sinq.+1, 由0<g+1<g.≤1，得sinq+1<sin q,所以(qm+1一qn)((sin q+1-sing.)< …15分 际29合-G)]县 …17分 0 开年摸底联考数学答案第6页（共6页）2025届高三开年摸底联考 &三枚篮A一BCD的四个1顶点都在率径为5的肆山上，并且AB=8,CD一6，螺三棱 数学试题 懂A一CD的体积的最大算为 A56 且.4w C32 D55 1答花前，专生务必将白己的姓名、考桥号、率位号，准考让号填写在答题#上， 之回容选释超时，选出每小邀容案后，用铅笔把答题卡上对应题日的容案标号涂黑：如高改动，用 二、选择题：本愿共3小题，每小题6分，共1然分。在每小藏给出的选项中，有多项 橡皮脑干净后，再选涂其他答案标号。民答非志择题时，将答案可在答墨卡上，可在本试运上 种合题目要求。全部选对的得6分，即分选对的得部分分，有选错的得分。 无效 身.从(1,2,3引中团跳取一个数记为血，从4,5.61中陆航取一个数记为6：谢下列说法正确 3考试结束后：解本试卷和容题卡一井交国。 的是 考试时间为120分竹，海分150分 人事作。十心为奇数“的气率为号 一，选择题：本姬共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 县事作山为奇数“的题本为号 有一项是符合题目要求的。 C设X■g+b:则X的数学期望E(X》■日 1已知是合A-片2<a,reB=rr.期AnB- ,设Y=动，刚在Y的所有可能的取值中最有可能取到的值是世 A-2.-1.0,1,2 k{-1,0.1.2 10,已知数判w,3的瑞w项和为5，且清足41-1：-3，，-34。一24。-(n2,则下刘 说达正跪的有 C{-2.-1.0,1,2.3 D.-1,1 A数列a,,一山，】为等象数列 我数列1a.,一2a.1为等比数列 1-2 2若一1行蝶： C4.=2"-1 D.s,=2+1-n-2 4分 11,在正方体ABCD一A,B,C,D,中，点M,N分射是棱A,小，A目的中点，则下列选项正 CI 编的是 玉满数华为奇两数：周。 A.AfC⊥D,N 我AD,A半自MNC A.1 且、2 C.3 .4 C异而直线AMD与C所成角修余弦值为号 4,已知再个非零向量a和b:若b1(年一2b),a=b,期ew(@,b》= B,平面NC限止方体所得的假面是五边形 A-号 H,0 n号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2,知周，在△ABC中.B心=gD元.AE=wA店，AF=mAC,m>0w>0,若D.E.F三点 已知a十=3tntn月=g,则cosa一3= 共线，则m十的最小算为 A.-1 C.1 人已知抛物线Cy-2(>0)的盒点为F,点A,在C上，AF一号期p的算是 1怎已知具有线性相关性的变量￥y,设北样本点为A,,·,11一.2,3.…，10.经验回 A.2 B.4 CB 以4或9 归方程为-一3十位，若兰-29，二一5，期一 7已知两数r)=-r-:n号+2e>01怡有-个零点.则。 11.已知由线C+y3一2上+21y,x+y≠0，用曲线C周成区减内（含由线C)格友 A.0 B C.2 D.3 (横坐标纵坐标露从整致的点)的个数为 丹羊板成膜黄颗学试题幕】菊（其4瓦） 开早规成梨考航学认周第2面（兵4或） 四、解答题：本题共5小题，共T?分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15{13分)在模角三角形AB中，内角A.君，C的对边分别为：，，F,已卸594A 线，17分已如两数r)=+1,#》=2 +2>-1以 3-c0 2A. 1)比较/(r)与g《x1的大小： 1)求角A的大小 证明号号号+名品品言京 《2)若丝=3，求△AC的间长的取值厄围. 16.15分)如图，在四棱银P一ABCD中，底面ABCD为矩感，AB=2,B以”=A,PA= PB=5. (1)若平面PAB⊥平直ABCD,求C与平面AD所或角的正弦值： (2)若平重PC与平面A风D的夹角为三，该PC的长. 1.《7分)某排球教练带葡甲，乙平名排博主力运动员训练排球的接保与传球，首先由教练 第一次传球给甲，乙中约某位运动员，然后该运动员再传日教练每次赞海报球后按下列 规球钙球：若教维上一次是传给某运清员，则这次有的概率州传给，蹈动员，有号的展 率传给封一位函动员.已知我体第一次传球传输了甲马动员，且粒第第：次传球转给甲 运动员的餐率为P (1)求PP 1.5分E知指周E号+是-1a>>0过友，}P0、 《2)求P.的表达式： 《1)求棉阔上的方程： a设.一2p.-,证明三4一咖9 《)过点A(0,一3)的直线/与卿E交于B,C两点：△PC的外心为Q,正明：直线 与有线Q的斜率之阴为定算，并求由城定值 开羊规成膜黄顺学试幕意菊（其4瓦） 开平规成梨考戴学认冠第（育（片4或》