压轴题02 常用三角公式（三类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题02 常用三角公式 （三类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2 类型二、二倍角公式 6 类型三、三角变换的应用 9 压轴能力测评（20题） 11 知识点01和角与差角公式 ； 。 【规律方法】熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－. 知识点02倍角公式 ；； 【规律方法】 1.对于给角求值问题，一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 2.证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. 2证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 知识点03三角变换的应用 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 【规律方法】 1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 3．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 7．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 8．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 9．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 11．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 12．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 13．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 类型二、二倍角公式 1．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 4．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 7．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 9．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 10．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 12．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 类型三、三角变换的应用 1．在中，，若，，，且，，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 4．已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 5．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 6．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 7．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 一、填空题 1．已知，若，则 . 2．已知函数在区间上有两个零点、，若，则实数的取值范围为 ． 3．在平面直角坐标系中，已知两点,则的值是 . 4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 5．把化成的形式是 ． 6．对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 . 7．定义运算.若，则 . 8．已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 9．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为 ． 10．已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 11．已知，若，则角的取值范围是 . 二、单选题 12．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 13．将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 14．若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 15．设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 16．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 17．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 18．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”． (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求k的取值范围； (3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值． 19．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 20．设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题02 常用三角公式 （三类压轴必考题型+压轴能力测评） 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2 类型二、二倍角公式 14 类型三、三角变换的应用 23 压轴能力测评（20题） 31 知识点01和角与差角公式 ； 。 【规律方法】熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－. 知识点02倍角公式 ；； 【规律方法】 1.对于给角求值问题，一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 2.证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. 2证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 知识点03三角变换的应用 半角公式 (1)sin＝± ， (2)cos＝± ， (3)tan＝± ， (4)tan＝＝＝， tan＝＝＝. 【规律方法】 1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 类型一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 2．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 3．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 【答案】 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可 【详解】由题意可知 ， 即， 由题意可知， 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可. 11．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 12．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，， 所以，， 所以，. （2）. 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3）原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 13．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质P (1)判断函数是否具有性质P，并说明理由； (2)若函数具有性质P，求出和的值 (3)若函数具有性质P，且当时，，求方程的解的个数 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)2个 【分析】（1）由新定义知识判断即可； （2）结合新定义及取特殊值求解即可； （3）当时，，再结合函数的图象进行求解． 【详解】（1）令， 故， 则不具有性质P． （2）若函数具有性质P， 则， 又，则取，有， ， 则有， 即， ， 又． （3） 当时， 具体如图所示    则方程的解的个数为2个． 【点睛】关键点点睛：第三问中，要求出当时函数解析式，并画出函数的图象进行求解，要充分利用． 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，，设，. (1)若，试求，； (2)若，试求，； (3)若，且，试确定整数的最大值. 【答案】(1)， (2)，或 (3)3 【分析】（1）分别令，，即可求出集合，； （2）由辅助角公式可得的解析式，分别令，即可求出集合，； （3）设，则，由题意可得，可得，然后分和两种情况讨论，由三角函数的有界性，可得，即恒成立，可得整数的值，从而可求得整数的最大值. 【详解】（1）令，即，得，所以， 令，即，得，所以； （2）， 令，则，得, 解得，所以， 令，则， 所以， 解得， 由正弦函数的有界性，可得只有满足，所以， 所以或， 解得，或， 所以或 （3）设，则， 因为，所以， 所以， 所以，得， 所以， 当时，，显然满足条件， 当时，， ， 所以， 因为，，且， 因为，所以，即恒成立， 所以，所以整数为， 所以整数的最大值为3. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质，考查函数与方程的综合问题，解题的关键是对方程的化简，考查计算能力，属于较难题. 类型二、二倍角公式 1．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【详解】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 7．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算即得. （2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由，，得，， 所以. （2）由（1）知，， 所以. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 9．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 10．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【详解】（1） （2）由题意可知 ， ， . 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 12．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 【答案】(1)， (2)，证明见解析， (3) 【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解， （2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证， （3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解. 【详解】（1）由题意可得， 所以， 如图：在单位圆中，设，, 则， 由于，所以，， 因此.    （2）， 方法一：由. 所以， 由于，则，所以 故， 方法二：由于， 令则， 由于，所以， 故， 因此在单调递增，故，所以 因此. （3）方法一：由于 所以， 由于，所以， 故， ， 因此. 方法二：：， 记， ，故在单调递减，故，所以，故在单调递减， 由于，所以. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键. 类型三、三角变换的应用 1．在中，，若，，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，运用二倍角公式，可得，再将条件，做恒等变换，可得，，再结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】， ，，即， 为三角形内角， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故选项正确，选项错误， ，故选项错误， 又， ，故选项错误． 故选：． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知与都是非零有理数，则在，，中，一定是有理数的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，分别用表示，，，进而求得在，，中一定是有理数的个数. 【详解】， ， 则，则， 令，则为非零有理数， 若，则， 结合上述限制条件可得，此时， 故三者中有理数的个数为3个. 若， 则， 解之得，令，则， 由，可得，t为有理数， 则， ， 则均为有理数. 综上，在，，中，一定是有理数的有3个. 故选：D 【点睛】关键点点睛：关键是得到是有理数且，从而即可顺利得解. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【详解】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 4．已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“可平衡” 函数，理由见解析； (3). 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）,所以, ,所以, 由于,所以,, , 由于,所以时,, , 所以, 即. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 5．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案； （2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论. 【详解】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以． （2）， ， 所以， ， 所以， 同理， 所以线段． 6．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． (1)若，求函数的“平衡”数对； (2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 7．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解； （2）先证明一个引理：若，则，回到原题，连结、、，结合重心的特征，及三角恒等变换即可得出结论. 【详解】（1）根据三角函数的定义可得； （2）先证明一个引理：若，则， 因为，所以， 所以， 所以， 回到原题，连结、、， 则 ， 由三角形的重心为原点得，即， 所以两式平方相加可得，所以，同理， 所以， 故三角形面积为定值． 【点睛】关键点点睛：证明一个引理：若，则，是解决本题的关键. 一、填空题 1．已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】将待求式切化弦可得，根据平方可求得的值，然后求出的范围，由此求出的值，代入即可求解. 【详解】， 因为，，两边平方可得，，则， 又因为， 所以，则，， 则，所以， 所以， 则， 故答案为：. 2．已知函数在区间上有两个零点、，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，分析函数与函数在上的两个交点的横坐标、满足，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，， 绘制函数在区间上的图象，如图. 当时，直线与函数在区间 上的图象有三个交点，不合乎题意. 由题意得函数的图象与函数的图象有两个不同的交点， 且交点的横坐标、满足，则和为临界条件， 由图可得，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 3．在平面直角坐标系中，已知两点,则的值是 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式和平方关系结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】， 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】设点的坐标，则， 设为终边上的一点，则，， 则， ， 即，， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 5．把化成的形式是 ． 【答案】 【分析】逆用两角和正弦公式即可得解. 【详解】由 . 故答案为： 6．对集合,,,和常数，把定义为集合,,,相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 . 【答案】/0.5 【分析】根据新定义及三角恒等变换化简即可得解. 【详解】由题意得，集合相对于的“正弦方差为， 所以， 所以， ， ， ， 所以， 故答案为： 7．定义运算.若，则 . 【答案】/ 【分析】利用同角的三角函数的基本关系式可求，再利用两角差的正弦可求的值. 【详解】由题意有，又， 故，而， 于是. 又，故. 故答案为：. 8．已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 9．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，终边经过点A的角为，结合三角函数定义求出，的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可计算作答. 【详解】设，显然，，则有， 依题意，终边经过点的角为，则有， 于是得，解得， ，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 10．已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是 . 【答案】 【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案. 【详解】解：函数 ∵在区间内没有零点， ∴，即 ∴①或②， 解①得，即，由于，故，即 解②得，即，由于，故，即， 综上可得的取值范围是 故答案为： 11．已知，若，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据等式有意义先确定出的前提范围，然后根据等式左端的化简结果进行分类讨论：、，由此确定出满足等式成立的角的取值范围. 【详解】因为且，所以， 等式左端， 当时，即， 等式左端， 若等式成立，则有，所以，所以； 当时，则， 等式左端，等式成立； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 二、单选题 12．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角基本关系式和正余弦的二倍角公式化简得，再分析三角函数符号去绝对值即可求解. 【详解】， 又由弧度的角位于第二象限，可得， 因为，所以为第三象限角， 所以， 所以， 故选：B. 13．将化成（，）的形式，以下式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角和的正弦公式的逆运算及诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：A 14．若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解. 【详解】， 由于，所以，故，, 故， 进而， 故选：D 15．设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设点在角的终边上，求出，由题意可得，再根据两角差的正余弦公式即可得解. 【详解】设点在角的终边上，则， 将点绕着点顺时针旋转后得到， 则， 而， ， 所以的坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用长度不变，两角差的正余弦公式求解即可. 三、解答题 16．已知．其中为常数，且． (1)求； (2)若，，求； (3)分别求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】 （1）把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果； （2）由（1）得，由，，结合两角和差公式可化简求得，利用二倍角余弦公式可得，由此可得结果； （3）根据（2）中运算，讨论或的情况；当均不为时，可求得，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果. 【详解】（1）由得：， 两式作和得：， ，即. （2）由（1）知：当，时，； ， ， ，，， ， . （3）由（2）知：； 当时，由可得：，，则，； 当时，由可得：，，则，； 当且时，， ， ； 验证可知：当或时，与都成立； 综上所述：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值. 17．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； (3)若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)，或， 【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解， （2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解， （3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得，即可结合三角函数的性质求解. 【详解】（1）依题意得，； （2）证明：由“余弦方差”定义得： ， 则分子 ， 为定值，与的取值无关． （3）分子 ． 要使是一个与无关的定值， 则， ， 与终边关于轴对称或关于原点对称， 又，得与终边只能关于轴对称， 又 则当时， 当时，． 故，或， 故，或，时，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值． 【点睛】关键点点睛：利用公式将所给的集合代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简. 18．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格T函数”． (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求k的取值范围； (3)对于定义域为R的函数，函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格T函数”，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取，由题目中的定义，即可证得； （2）由题意得，整理得，由余弦函数的值域，即可求出的范围； （3）由题意得出在上为增函数，设，得出为上的奇函数，由奇函数的对称性及和的值，即可得出的值． 【详解】（1）证明：取非零常数, 对任意的，， ，即， ，是“函数”． （2）函数是“函数”，， ， 即，整理得，， ， ，即， 故． （3）对任意，对任意的正实数，都有， 在上为增函数， 设， 函数是奇函数， 为上的奇函数，即图像关于原点对称， ，， ，， ， ． 19．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】(1) (2)证明见解析，这个常数为； (3)或 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； （2）证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 20．设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质. (1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由； (2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有； (3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立； ②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值. (可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.) 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；②. 【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，； （2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可； （3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明； ②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得. 【详解】（1）令，，，，于是，，显然. 因此函数，不具有M性质. （2）设、，且，令， 显然，且，于是，即. ∵函数在区间上为增函数，∴. （3）①对任意的、、，令，显然. 若，则不等式中等号成立. 下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且. 令，，， 于是，且 ， 故，从而. 又，且， 故，因此. 综上，，其中等号当且仅当时成立. ②当△为锐角三角形时，由①，得， 等号当时成立； 当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是 ； 当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是 ，由， 得，于是，故. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$