第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷-2024-2025学年高一数学春季讲义（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．（5分）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（5分）（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 4．（5分）（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 5．（5分）（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 6．（5分）（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 7．（5分）（23-24高一下·河北邯郸·期末）在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 8．（5分）（23-24高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·贵州黔西·期末）对于任意的两个非零向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且与不共线，则与的夹角等于与的夹角 C． D．若，，则 10．（6分）（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 11．（6分）（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量，，若，则正数的值为 ． 13．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 14．（5分）（23-24高一下·北京·期末）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为，，则的值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 16．（15分）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 17．（15分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 18．（17分）（23-24高一下·北京·期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且. (1)求； (2)求的取值范围. 19．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【解题思路】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【解答过程】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 2．（5分）（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 3．（5分）（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【解题思路】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【解答过程】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 4．（5分）（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 【解题思路】根据题意求出，，，在中利用正弦定理可求得，然后在中利用勾股定理可求得结果. 【解答过程】在中，由题意得， 所以，. 在中，由题意得，，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，， 所以海里. 故选：A. 5．（5分）（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【解题思路】依题意设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，整理得解. 【解答过程】因为，所以， 设， 则 ， 又，且、不共线， 则，所以．    故选：C. 6．（5分）（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【解题思路】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【解答过程】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 7．（5分）（23-24高一下·河北邯郸·期末）在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出，表达出，利用三角换元求出最小值. 【解答过程】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，则，且，故， 所以， 令，则， 则， 因为，所以，， 故， 所以的最小值为，当且仅当时取得.    故选：D. 8．（5分）（23-24高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出，可得，由正弦定理得的周长为 ，再求出，进而可得答案. 【解答过程】因为 所以， ∵，∴， ，∵，∴，， ∴，∴，由正弦定理得 ∴，， 所以的周长为 ∵， ∴的周长为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·贵州黔西·期末）对于任意的两个非零向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且与不共线，则与的夹角等于与的夹角 C． D．若，，则 【解题思路】利用向量垂直的数量积可得，即A正确，由向量夹角公式代入计算可得B正确，根据向量的三角不等式可得C正确，由向量的坐标表示以及模长公式可得D错误. 【解答过程】对于A，若可得，所以， ，因此可得，即A正确； 对于B，易知与的夹角为， 与的夹角为， 又因为且与不共线，所以，即B正确； 对于C，由向量的三角不等式可得， 当与同向时满足，因此可得，即C正确； 对于D，由，可得，所以，即D错误. 故选：ABC. 10．（6分）（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【解题思路】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【解答过程】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD. 11．（6分）（23-24高一下·四川内江·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则面积的最大值为 B．若，且只有一解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为 D．若为锐角三角形，，则AC边上的高的取值范围为 【解题思路】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A；根据正弦定理即可求解B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D. 【解答过程】由正弦定理可得，即 因为，所以，所以， 对于A，若， 由余弦定理得， 由，，可得， 即，当且仅当时等号成立， 则面积，所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以， 当时，即，时有一解，故B错误； 对于C，若，由正弦定理得，所以 ， 由于为锐角三角形，故且，故， 因此，故，故C正确； 对于D，由于为锐角三角形，，， 所， 故AC边上的高为，故D错误． 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知向量，，若，则正数的值为 ． 【解题思路】求出向量，利用平面向量垂直的坐标表示可求得正数的值. 【解答过程】因为向量，，则， 因为，则，可得， 因为，解得. 故答案为：. 13．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【解答过程】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·北京·期末）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为，，则的值为 ．    【解题思路】根据余弦定理得，，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 16．（15分）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示， (2)若，，求的最小值. 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 17．（15分）（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【解题思路】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【解答过程】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 18．（17分）（23-24高一下·北京·期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）由余弦定理求得，再由平方即可求出； （2）以A为原点建立直角坐标系，设，则可得，即可求出范围. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理，， 即，解得或（舍）， 所以. 所以. （2）以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 设，则点坐标为. 由（1）知，，， 所以点坐标为，点坐标为. 所以. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 所以的取值范围是所以. 19．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【解题思路】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【解答过程】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$