第15讲 几何图形初步（讲义）【2大考点10大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第15讲 几何图形初步【2大考点10大题型】 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 【题型1 直线、射线和线段】 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1-1】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【变式1-2】（2024·浙江温州·中考真题）下面给出的四条线段中，最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【变式1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 【题型2 线段长度的相关计算】 【例2】（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【变式2-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，，，m，n满足． (1)求线段的长． (2)P为线段延长线上一点，若以，，的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段的长． 【变式2-2】（2024·山东菏泽·中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm． 【变式2-3】（2024·河南驻马店·一模）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【题型3 确定线段之间的关系】 【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知M是线段的中点，N是上一点且满足，P为的中点，则（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3-1】（2024·江西·中考模拟）如图，C，B是线段AD上的两点，若，，则AC与CD的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段，则线段 【变式3-3】（2024·江苏·模拟预测）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【题型4 与角平分线相关的计算】 【例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，是的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则 度． 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 【题型5 与对顶角、邻补角相关的计算】 【例5】（2024·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 【变式5-1】（2024·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·福建莆田·中考真题）将一副三角尺按如图所示放置，则 度． 【变式5-3】（2024·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【题型6 确定角度之间的关系】 【例6】（2024·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【变式6-1】（2024·浙江衢州·中考真题）已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【变式6-2】（2024·山西太原·一模）综合与探究：如图，射线在上方，射线在下方，，（，），与分别是和的平分线． 操作发现：（1） 当，时，求的度数； （2）继续探究，当固定不变，把扩大为80°时，求的度数； 探索发现：（3）在完成（1） （2） 时，小亮发现与，之间存在一个固定关系，你认为小亮说的对吗?请说明理由． 【变式6-3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（   ） A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝360° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ 【题型7 平行线的性质】 【例7】（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·湖北·中考真题）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积． 【变式7-3】（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN． 【题型8 平行线的判定】 【例8】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【变式8-1】（2024·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式8-2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【题型9 平行线与几何教具的综合考查】 【例9】（2024·湖南邵阳·中考真题）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 【变式9-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，将量角器置入一组平行线a，b之间，A，B分别是量角器上两点，连接并延长交直线a于点C，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·湖南益阳·中考真题）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含角的三角板OCD绕点O逆时针旋转，在这个过程中． （1）如图2，当OD平分时，试问OC是否也平分，请说明理由． （2）当OC所在的直线平分时，求的度数； （3）试探究与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【题型10 平行线的实际应用】 【例10】（2024·广西·中考真题）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】（2024·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【变式10-2】（2024·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式10-3】（2024·浙江湖州·中考真题）如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2  所示的∠1  与∠2 ，则∠1  与∠2  的度数和是 度． 【新考向：新考法】 1．（2024·云南昭通·中考真题）进入2024年以来，云南持续发生冬春连旱，某地为缓解取水难的问题，计划把河水引到水池A中，如图所示，先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 2．（2024·福建泉州·中考真题）图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，的度数为a．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第2024次折叠后，的度数（    ） A． B． C． D． 3．（2024·青海海东·中考真题）2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（    ） A． B． C． D． 【新考向：新趋势】 1．（2024·广东湛江·中考真题）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，∠1 (填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是 (只需写出一个) 2．（2024·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是 ，最小值是 ． 3．（2024·江苏常州·一模）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 【新考向：新情境】 1．（2024·浙江宁波·中考真题）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知 ，点是线段的“巧分点”，则 ． 2．（024·湖北随州·中考）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则 cm． 3．（2024·山东青岛·一模）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 5．（2024·浙江台州·中考真题）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【新考向：跨学科】 1．（2024·江苏南京·中考真题）光线以如图所示的角度α，照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东日照·中考真题）六分仪（如图①）是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度．其原理如图②所示，所观测星体记为，两个反射镜面位于，两处，处的镜面所在直线与刻度线保持平行（即），并与处的镜面所在直线交于点，所在直线与水平线交于点，六分仪上刻度线与刻度线的夹角，观测角为．已知某一时刻测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为． （1）点F的高度为 m． （2）设，则与的数量关系是 ． 1．（2024·湖北随州·中考真题）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2．（2024·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 3．（2024·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（2024·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（   ） A．57° B．63° C．67° D．73° 7．（2024·江苏常州·中考真题）把一根木条固定在墙上，至少要钉 根钉子，根据是 8．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠ACE=100°，则∠A= ． 9．（2024·湖南湘潭·中考真题）已知＝20°，则的余角等于 ． 10．（2024·江苏淮安·中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ． 11．（2024·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于 ．    12．（2024·广西贵港·中考真题）如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是 ． 13．（2024·上海·中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ． 14．（2024·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数 16．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 17．（2024·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 18．（2024·广西桂林·中考真题）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 19．（2024·山东烟台·中考真题）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 几何图形初步【2大考点10大题型】 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 【题型1 直线、射线和线段】 【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 【变式1-1】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可． 【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近， 其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式1-2】（2024·浙江温州·中考真题）下面给出的四条线段中，最长的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】本题考查线段的应用，通过观察比较即可得出答案． 【详解】解：通过观察比较：d线段长度最长． 故选：D． 【变式1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点 【答案】190 【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：． 【详解】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有个交点； 4条直线相交最多有个交点； 5条直线相交最多有个交点； 20条直线相交最多有． 故答案为：190． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有． 【题型2 线段长度的相关计算】 【例2】（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .    【答案】2或4或3 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． 【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、 三种情况， ①时，，    ②时，，    ③时，．    故答案为：2或4或3． 【变式2-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，，，m，n满足． (1)求线段的长． (2)P为线段延长线上一点，若以，，的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由非负数的性质可得，，可得，，再结合线段的和差关系可得答案； （2）分情况讨论，结合等腰三角形的定义可得，再结合线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，以，，的长为边长的三角形为等腰三角形， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意； ∴； 【点睛】本题考查的是非负数的性质，线段的和差运算，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，掌握相关的基础知识是解本题的关键． 【变式2-2】（2024·山东菏泽·中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm． 【答案】5或11 【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解． 【详解】由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论： 当C点在B点右侧时，如图所示： AC=AB+BC=8+3=11cm； 当C点在B点左侧时，如图所示： AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm； 所以线段AC等于11cm或5cm. 【变式2-3】（2024·河南驻马店·一模）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴，即 ∴； ②如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为2或14． 故选：C 【题型3 确定线段之间的关系】 【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知M是线段的中点，N是上一点且满足，P为的中点，则（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】设AN=x，利用求出MN=2x，AM=3AN=3x，根据M是线段的中点，求出BN=BM+MN=5x，根据P为的中点，求出MP=BM-BP=0.5x，列得，求出答案． 【详解】设AN=x， ∵， ∴MN=2x，AM=3AN=3x， ∵M是线段的中点， ∴BM=AM=3x，AB=6x， ∴BN=BM+MN=5x， ∵P为的中点， ∴BP=2.5x， ∴MP=BM-BP=0.5x， ∴， 即AB=12MP， 故选：D． 【点睛】此题考查线段的和差计算，线段中点的计算，理解图形中各线段之间的关系是解题的关键． 【变式3-1】（2024·江西·中考模拟）如图，C，B是线段AD上的两点，若，，则AC与CD的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD， ∴AC+BC=BC+BD， 即AC=BD， 又∵BC=2AC， ∴BC=2BD， ∴CD=3BD=3AC. 故选B． 【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段，则线段 【答案】5 【分析】根据图形得出AD-BC=AB+CD即可求解． 【详解】解：∵AB+CD=5， ∴AD-BC=AB+CD=5． 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查线段的和差，结合图形求解是解题关键． 【变式3-3】（2024·江苏·模拟预测）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，图形见解析；结论理由见解析 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 【题型4 与角平分线相关的计算】 【例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解． 【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°， ∴∠BOD=180°-∠AOD=42°， 又∵OM是∠BOD的角平分线， ∴∠DOM=∠BOD=21°， ∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 【变式4-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，是的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、平角定义及三角形外角性质等知识，先由角平分线定义得到，进而由平角定义得到，再由外角性质即可得到答案，熟练掌握三角形外角性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解： 是的平分线，， ， ， 是的一个外角，， ， 故选：D． 【变式4-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案． 【详解】∵， ∴∠CEF=140°， ∵射线平分， ∴∠CEB=∠BEF=70°， ∵， ∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键． 【变式4-3】9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则 度． 【答案】60 【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：设， 是的平分线， ， 平分， ， 又， ， 解得，即， 由对顶角相等得：， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 【题型5 与对顶角、邻补角相关的计算】 【例5】（2024·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 【答案】A 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【变式5-1】（2024·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键． 【变式5-2】（2024·福建莆田·中考真题）将一副三角尺按如图所示放置，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角尺的性质，三角形外角的性质，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角尺的性质可知，，，先利用三角形外角的性质，求出的度数，再利用邻补角，即可求出的度数． 【详解】解：如图，由三角尺的性质可知，，， 是的外角， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（2024·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 【题型6 确定角度之间的关系】 【例6】（2024·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质的应用，平行公理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可． （2）首先由（1），可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1），可得，；然后根据，，推得，即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． （2）如图2，    由（1），可得，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即∶， ∴． （3）由（1），可得，， ∵，， ∴ ， ∴． 【变式6-1】（2024·浙江衢州·中考真题）已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，互补、互余的概念，根据图示可得，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴， ∴， ∴与互余， 故选：B ． 【变式6-2】（2024·山西太原·一模）综合与探究：如图，射线在上方，射线在下方，，（，），与分别是和的平分线． 操作发现：（1） 当，时，求的度数； （2）继续探究，当固定不变，把扩大为80°时，求的度数； 探索发现：（3）在完成（1） （2） 时，小亮发现与，之间存在一个固定关系，你认为小亮说的对吗?请说明理由． 【答案】（1）50°；（2）60°；（3）小亮的说法正确，见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质, ,,代入数值计算后再相加即可. （2）根据角平分线的性质, ,,代入数值计算后再相加即可. （3）根据角平分线的性质, ,,代入与后再相加即可. 【详解】解：（1）当时， . 与分别是和的平分线， ， . （2）当时， 同理可得：， . （3）小亮的说法正确. 由题可知么， 与分别是和的平分线， ， . 即小亮的说法正确. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与角之间的关系，观察图形，找到数量关系是解答关键. 【变式6-3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（   ） A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝360° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ 【答案】B 【分析】如图，作GH∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】如图，作GH∥AB． ∵AB∥EF，GH∥AB， ∴GH∥EF， ∴∠BCG+∠CGH＝180°，∠FDG+∠HGD＝180°， ∴∠BCG+∠CGH+∠HGD+∠FDG＝360°， ∴α+β+γ＝360°， 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 【题型7 平行线的性质】 【例7】（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 【变式7-1】（2024·湖北·中考真题）如图，一条公路的两侧铺设了，两条平行管道，并有纵向管道连通．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【变式7-2】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由； （2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积． 【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18 【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解； （2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）结论：点在直线上； ∵，， ∴， ∴，即． ∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上． （2）作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即以、为邻边的正方形面积． 【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键． 【变式7-3】（2024·浙江绍兴·中考真题）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN． 【答案】（1）33°（2）证明见解析 【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°． 又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°． 由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°． （2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB， ∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN． 又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC． 在△ACN和△MCN中， ∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）． （1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数． （2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN="∠MAB" =∠CMN． 从而得证． 【题型8 平行线的判定】 【例8】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 【变式8-1】（2024·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明； （2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． （2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM， ∵，CM＝CB， ∴ 垂直平分BM， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键． 【变式8-2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式8-3】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 【题型9 平行线与几何教具的综合考查】 【例9】（2024·湖南邵阳·中考真题）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F， （1）求证：CF∥AB， （2）求∠DFC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）105° 【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF； （2）利用三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE， ∴∠1=∠2=∠DCE． ∵∠DCE=90°， ∴∠1=45°． ∵∠3=45°， ∴∠1=∠3． ∴AB∥CF． （2）∵∠D=30°，∠1=45°， ∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°． 【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键． 【变式9-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 【变式9-2】（2024·安徽马鞍山·三模）如图，将量角器置入一组平行线a，b之间，A，B分别是量角器上两点，连接并延长交直线a于点C，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点B作，得出，根据平行线的性质得出，根据题意可得出，从而算出，，，，即可求解． 【详解】如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， 根据题意可得出， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式9-3】（2024·湖南益阳·中考真题）如图，将一幅三角板按照如图1所示的位置放置在直线EF上，现将含角的三角板OCD绕点O逆时针旋转，在这个过程中． （1）如图2，当OD平分时，试问OC是否也平分，请说明理由． （2）当OC所在的直线平分时，求的度数； （3）试探究与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）OC平分，理由见解析；（2）；（3）或或，理由见解析． 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，从而可得，再根据互补角的定义可得的度数，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差即可得； （3）设旋转角的度数为，分、和三种情况，分别根据角的和差即可得． 【详解】（1）OC平分，理由如下： OD平分，且， ， ， ， 又， ， ， 即OC平分； （2）当OC所在的直线平分时， 由角平分线的定义得：， 则； （3）设旋转角的度数为，则， 由题意，分以下三种情况： ①当时，在内部， 则， ， ， ， ②当时，在外部，且， 则， ， ， ， ③当时，， 则， ， ， 综上，或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差、互补角、旋转的定义，较难的是题（3），根据旋转角的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键． 【题型10 平行线的实际应用】 【例10】（2024·广西·中考真题）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，如果，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可得到． 【详解】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，熟知平行线的性质定理，根据题意得到是解题关键． 【变式10-1】（2024·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 【变式10-2】（2024·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键． 【变式10-3】（2024·浙江湖州·中考真题）如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2  所示的∠1  与∠2 ，则∠1  与∠2  的度数和是 度． 【答案】90． 【详解】解：如图2，AB∥CD，∠AEC=90°，作EF∥AB，根据平行线的传递性得到EF∥CD，则根据平行线的性质得∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEC=90° 如图2，AB∥CD，∠AEC=90°， 作EF∥AB，则EF∥CD， 所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF， 所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90° 【新考向：新考法】 1．（2024·云南昭通·中考真题）进入2024年以来，云南持续发生冬春连旱，某地为缓解取水难的问题，计划把河水引到水池A中，如图所示，先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：计划把河水引到水池A中，先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 故选：D． 2．（2024·福建泉州·中考真题）图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，的度数为a．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第2024次折叠后，的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查折叠问题，平行线的性质，根据折叠的性质和平行线的性质推出． 【详解】解：由折叠的性质和可知： 折叠1次：， 折叠2次：， 折叠3次：， 折叠4次：， … ∴折叠次：， ∴． 故选：C． 3．（2024·青海海东·中考真题）2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 【新考向：新趋势】 1．（2024·广东湛江·中考真题）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，∠1 (填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，可以是 (只需写出一个) 【答案】 不是 AC＝FD(或∠BAC＝∠EDF或∠B＝∠E) 【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角，根据三角形全等的条件即可得解． 【详解】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角． 要使△ABC≌△DEF，已知∠1＝∠2，BC＝EF，则 只需补充AC＝FD或∠BAC＝∠EDF都可， 故答案为：不是，AC＝FD(或∠BAC＝∠EDF或∠B＝∠E) 【点睛】本题考查了对顶角以及三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 2．（2024·河北·二模）宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 5 2 【分析】利用已知规则，结合题意利用图形分别得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：=3， =5，=2，=3， ∴最大值是5，最小值是2， 故答案为：5，2． 【点睛】此题主要考查了新定义以及实际问题应用，利用数形结合是解题关键． 3．（2024·江苏常州·一模）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 【答案】 【分析】要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45°，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，如图所示， ∵， ∴设，， ∵，互为半余角， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【新考向：新情境】 1．（2024·浙江宁波·中考真题）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知 ，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， ， ； 故答案为2或6． 2．（024·湖北随州·中考）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则 cm． 【答案】2或6/6或2 【分析】题目主要考查线段的和差计算，根据题意分两种情况讨论：当点P在线段之间时；当点P在的反向延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段之间时， 根据题意可得：，即， ∴ ∴cm； 当点P在的反向延长线上时，如图所示： 根据题意得：，即， ∴cm； 故答案为：2或6． 3．（2024·山东青岛·一模）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或8 【分析】本题考查了对题干的理解，线段的和差，绝对值和平方式的非负性，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意可得，再由点G在线段上即可解题； （2）根据题意可得，从而得到点H的位置，再根据即可得出，从而求得线段的长； （3）根据即可得出m、n的值，再根据推出点Q不在线段上，再分类讨论当点Q在点M的左侧时和当点Q在点N的右侧时两种情况即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：，   点G在线段上，即， ， 故答案为：1； （2）解：如图1，   ，， ， ， ， ； （3） ， ，， ， 又， ， 点Q不在线段上， ①如图2，当点Q在点M的左侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的负半轴， ； ②如图3，当点Q在点N的右侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的正半轴上， ． 或8． 5．（2024·浙江台州·中考真题）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 【新考向：跨学科】 1．（2024·江苏南京·中考真题）光线以如图所示的角度α，照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】光线照射到平面镜上的入射角等于反射角，并根据三角形内角和求解．此题主要考查了镜面对称，根据镜面反射原理，入射角与反射角相等的性质求出． 【详解】解：如图所示，分别过入射点作垂线，根据入射角等于反射角可知： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．（2024·山东日照·中考真题）六分仪（如图①）是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度．其原理如图②所示，所观测星体记为，两个反射镜面位于，两处，处的镜面所在直线与刻度线保持平行（即），并与处的镜面所在直线交于点，所在直线与水平线交于点，六分仪上刻度线与刻度线的夹角，观测角为．已知某一时刻测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角的性质，坐标与图形的性质等知识，根据平行线的性质，三角形的外角的性质判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 是的外角， ， 即， ， ， 故选：C． 3.（2024·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为． （1）点F的高度为 m． （2）设，则与的数量关系是 ． 【答案】 9 【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG的长度即可． （2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可． 【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G． ∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°， ∴四边形ABEG是矩形， ∴EG=AB=1m，AG=EB=8m， ∵∠AFG=45°， ∴FG=AG=EB=8m， ∴EF=FG+EG=9(m)． 故答案为：9； （2）．理由如下： ∵∠ E=∠EG=∠EG=90°， ∴四边形 EG是矩形， ∴EG= =1m，G=E=， ∴tan∠FG=， ∴∠FG=60°，∠FG=30°， 根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FM=2n， ∵ 光线是平行的， ∴AN∥M， ∴∠GAN=∠GM， ∴45°+2m=30°+2n， 解得n-m=7.5°， 根据光路图，得， ∴， 故， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键． 1．（2024·湖北随州·中考真题）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，准确分析判断是解题的关键． 2．（2024·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断． 【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足， 即， 解得：，符合题意，故选项A正确； ②点B在A、C两点之间，则满足， 即， 解得：，不符合题意，故选项B错误； ③点C在A、B两点之间，则满足， 即， 解得：a无解，不符合题意，故选项C错误； 故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键． 3．（2024·山东济南·中考真题）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注，   ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 4．（2024·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作平面镜，    ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 5．（2024·山东聊城·中考真题）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（   ） A．57° B．63° C．67° D．73° 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质可求出，可得出，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：∵AC=BC， ∴是等腰三角形， ∵ ∴ ∴ ∵a∥b， ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出是解答本题的关键． 7．（2024·江苏常州·中考真题）把一根木条固定在墙上，至少要钉 根钉子，根据是 【答案】 2 两点确定一条直线 【详解】考点：直线的性质：两点确定一条直线． 专题：常规题型． 分析：根据直线的性质，两点确定一条直线解答． 解答：解：往墙上固定一根木条至少需要2个钉子，根据两点确定一条直线的数学原理． 故答案为2，两点确定一条直线． 点评：本题主要考查了两点确定一条直线的性质，熟记性质是解题的关键，是基础题，比较简单． 8．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠ACE=100°，则∠A= ． 【答案】50 【详解】略 9．（2024·湖南湘潭·中考真题）已知＝20°，则的余角等于 ． 【答案】700 【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；根据已知条件可直接求出角α的余角． 【详解】解：∵∠α=20°， ∴∠α的余角=90°-20°=70°． 故答案为70°． 【点睛】本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键． 10．（2024·江苏淮安·中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 ． 【答案】75° 【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合， ∴AB//CD， ∴∠3=∠4=45°， ∴∠2=∠3=45°， ∵∠B=30°， ∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°， 故答案为：75° 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质． 11．（2024·青海·中考真题）如图，已知，，，则等于 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，由垂线的定义得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（2024·广西贵港·中考真题）如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行． 【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行． 故答案是：同位角相等，两直线平行． 【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定． 13．（2024·上海·中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ． 【答案】45 【详解】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB． ②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135° ∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45． 14．（2024·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数 【答案】45° 【详解】解：设这个角为度 则： 解得： 答：这个角为45度． 16．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 17．（2024·浙江衢州·中考真题）如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论． 【详解】（1）证明：∵=， ∴∠ACD＝∠DBA，      又∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD，   ∴； （2）解：如图，连结OC，OD． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°, ∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°． ∵， ∴S△DOC=S△DBC，                              ∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD， ∵AB＝4， ∴OA＝2， ∴S扇形COD=．                       ∴S阴影=． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键． 18．（2024·广西桂林·中考真题）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 19．（2024·山东烟台·中考真题）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$