江苏省南京市南京师范大学附属中学新城初级中学2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

江苏省南京市南京师范大学附属中学新城初级中学2024-2025学年 七年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（2分）2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 2．（2分）图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列运算正确的是（　　） A．2x2+3x2＝5x2 B．2x2+3x2＝5x4 C．2x2+3x2＝6x2 D．2x2+3x2＝6x4 4．（2分）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥 5．（2分）在桌面上，把一副三角板摆成如图的位置．若∠1比∠2大22°，则∠2的度数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 6．（2分）某商品的进价为200元，按标价的8折出售，仍可获利20%，则该商品的标价是（　　） A．240元 B．260元 C．280元 D．300元 7．（2分）学习了《多边形》后，我们有了过多边形（边数大于3）的一个顶点作对角线的学习经验．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线；六边形有3条对角线；…按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 8．（2分）如图，点C、D、E在线段AB上，CD＝2，DE＝4．若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D、E这五点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　） A．81 B．82 C．83 D．84 二、填空题（每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9．（2分）单项式的系数是 　 　． 10．（2分）盐水鸭是南京的著名特产，至今已有一千多年历史．据南京鸭产业联盟不完全统计，南京每天产销约30万只．用科学记数法表示300000是 　 　． 11．（2分）代数式ax+b的值随着x的取值的变化而变化．如表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程ax＝8﹣b的解是 　 　． 12．（2分）如图，直线l1∥l2．下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°．其中所有正确结论的序号是 　 　． 13．（2分）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示140°的点在直线b上，则∠1＝ 　 　°． 14．（2分）如图，数轴上的点A、B对应的数分别为a、b，且AB＝4，则代数式2a﹣2b+1的值是 　 　． 15．（2分）如图，∠AOB＝α，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；画射线O'A'，以点O′为圆心，OC为半径画弧交O'A'于点C'；依次截取C′E＝EF＝FG＝CD，分别交前弧于点E、F、G；画射线O′G，反向延长O′A′至点H；画出∠HO′G的角平分线O′M．则∠MO′H＝ 　 　．（结果用含α的代数式表示） 16．（2分）若a+b＜0，ab＞0，且a＜b，则|a|　 　|b|（填“＞”、“＜”或“＝”）． 17．（2分）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a＝ 　 　． 18．（2分）将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）化简： （1）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）； （2）． 20．（8分）解方程： （1）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2）； （2）． 21．（6分）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． （1）现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． （2）一位A村庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 22．（6分）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． （1）△ABC的面积＝ 　 　； （2）只用直尺画出△ABC的高AH； （3）只用直尺过点C画CD∥AB． 23．（8分）（1）如图①，B是线段AD上的一点，C是线段BD的中点，AD＝100，BC＝30．求线段AB的长． （2）如图②，OB是∠AOD内部的一条射线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOD＝100°，∠BOC＝30°，求∠AOB的度数． 24．（6分）如图，AB∥CD，∠A+∠C＝180°，则AD∥CE．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为AB∥CD， 所以∠A＝∠　 　（ 　 　）． 又因为∠A+∠C＝180°， 所以∠　 　+∠C＝180°． 所以AD∥CE．（ 　 　）． 25．（6分）列方程解应用题： 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后、如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．求天头长． 26．（6分）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确． 如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，说明∠A+∠B+∠C＝180°． 27．（10分）定义：在同一平面内有OA，OB，OC三条射线．若OC分别与OA，OB形成的角的度数成2倍关系，即∠AOC＝2∠BOC或∠BOC＝2∠AOC，则称射线OC是∠AOB的“倍距线”．如图①，若∠AOC＝40°，∠BOC＝20°，满足∠AOC＝2∠BOC，则OC是∠AOB的一条“倍距线”． （1）若∠AOB＝30°，OC是∠AOB的一条“倍距线”，则∠AOC的度数为 　 　°．（写出一个答案即可） （2）如图②，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠BON＝20°． ①射线OC从ON开始，绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜18），当t为何值时，OC是∠AOB的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点O处（∠POQ＝30°），一边OP在射线ON上，另一边OQ在直线MN的下方．将三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜18），若OB是∠POQ的“倍距线”，则t＝ 　 　． 江苏省南京市南京师范大学附属中学新城初级中学2024-2025学年 七年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A． B B D A D 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．（2分）2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 【分析】根据相反数的定义进行求解即可． 【解答】解：2025的相反数是﹣2025， 故选：A． 【点评】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键． 2．（2分）图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据面动成体的原理：上面的长方形旋转一周后是一个圆柱，下面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，所以应是圆锥和圆柱的组合体． 【解答】解：∵上面的长方形旋转一周后是一个圆柱，下面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥， ∴根据以上分析应是圆锥和圆柱的组合体． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平面图形与立体图形的联系，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合，学生应注意培养空间想象能力． 3．（2分）下列运算正确的是（　　） A．2x2+3x2＝5x2 B．2x2+3x2＝5x4 C．2x2+3x2＝6x2 D．2x2+3x2＝6x4 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、2x2+3x2＝5x2，故A正确； B、2x2+3x2＝5x2≠5x4，故B错误； C、2x2+3x2＝5x2≠6x2，故C错误； D、2x2+3x2＝5x2≠6x4，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 4．（2分）如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱柱 D．圆锥 【分析】根据四棱锥的特征进行判断即可． 【解答】解：这个几何体有四个三角形的侧面，底面是四边形，因此这个几何体是四棱锥， 故选：B． 【点评】本题考查几何体的展开图，掌握棱锥、棱柱的展开图的特征是正确解答的关键． 5．（2分）在桌面上，把一副三角板摆成如图的位置．若∠1比∠2大22°，则∠2的度数为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【分析】根据图形得出∠1+∠2＝90°，然后根据∠1的度数比∠2的度数大22°列出方程，求解即可． 【解答】解：由图可知∠1+∠2＝90°， 由题意可知∠1﹣∠2＝22°， ∴∠2＝（90°﹣22°）÷2＝34°． 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，能根据题意得出算式∠1+∠2＝90°是解此题的关键． 6．（2分）某商品的进价为200元，按标价的8折出售，仍可获利20%，则该商品的标价是（　　） A．240元 B．260元 C．280元 D．300元 【分析】设该商品的标价是x元，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该商品的标价是x元， 根据题意得：80%x﹣200＝200×20%， 解得：x＝300， ∴该商品的标价是300元． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．（2分）学习了《多边形》后，我们有了过多边形（边数大于3）的一个顶点作对角线的学习经验．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线；六边形有3条对角线；…按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【分析】根据多边形对角线的性质即可求得答案． 【解答】解：过十二边形一个顶点的对角线有12﹣3＝9（条）， 故选：A． 【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键． 8．（2分）如图，点C、D、E在线段AB上，CD＝2，DE＝4．若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D、E这五点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　） A．81 B．82 C．83 D．84 【分析】先找出图中以任意两点为端点的所有线段，根据已知条件求出CE，再设AC＝x，则AD＝AC+CD＝x+2，AE＝AC+CE＝x+6，再把所有线段的和用AB表示出来，然后令所有线段的和等于各个选项中的数，列出关于AB的方程，求出AB，再根据线段AB的长度是一个正整数，判断各个选项的掌握即可． 【解答】解：图中以任意两点为端点的所有线段有：AC，CD，DE，BE，AD，CE，BD，AE，BC，AB， ∵CD＝2，DE＝4， ∴CE＝CD+DE＝2+4＝6， 设AC＝x，则AD＝AC+CD＝x+2，AE＝AC+CE＝x+6， ∴AC+CD+DE+BE+AD+CE+BD+AE+BC+AB ＝AC+CD+DE+（AB﹣AE）+AD+CE+（AB﹣AD）+AE+（AB﹣AC）+AB ＝x+2+4+AB﹣（x+6）+x+2+6+AB﹣（x+2）+x+6+AB﹣x+AB ＝x+6+AB﹣x﹣6+x+8+AB﹣x﹣2+x+6+AB﹣x+AB ＝4AB+12， A．令4AB+12＝81，4AB＝69，解得AB＝17.25，∵AB长为正整数，故此选项不符合题意； B．令4AB+12＝82，4AB＝70，解得AB＝17.5，∵AB长为正整数，故此选项不符合题意； C．令4AB+12＝83，4AB＝71，解得AB＝17.75，∵AB长为正整数，故此选项不符合题意； D．令4AB+12＝84，4AB＝72，解得AB＝18，∵AB长为正整数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，熟练掌握两点间的距离公式． 二、填空题（每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9．（2分）单项式的系数是 　　． 【分析】根据单项式系数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数． 【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式系数的定义．确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键． 10．（2分）盐水鸭是南京的著名特产，至今已有一千多年历史．据南京鸭产业联盟不完全统计，南京每天产销约30万只．用科学记数法表示300000是 　3×105　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：300000＝3×105． 故答案为：3×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．（2分）代数式ax+b的值随着x的取值的变化而变化．如表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程ax＝8﹣b的解是 　x＝1　． 【分析】可先求出a、b的值，再解方程；亦可根据方程解的定义直接得结论． 【解答】解：由于x＝﹣1时，ax+b＝0，x＝0时，ax+b＝4， ∴． ∴a＝4，b＝4． ∴方程4x＝8﹣4的解为x＝1． 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 12．（2分）如图，直线l1∥l2．下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°．其中所有正确结论的序号是 　①③④　． 【分析】根据平行线的性质并结合图形，逐一判断即可解答． 【解答】解：如图： ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠6（两直线平行，内错角相等）， ∠4＝∠5（两直线平行，同位角相等）， ∠2+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3≠∠6， ∴∠2≠∠3， 所以，上列结论，其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（2分）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示140°的点在直线b上，则∠1＝ 　80　°． 【分析】根据图示，可算出直线a，b的夹角，根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：根据题意得，直线a，b的夹角为140°﹣60°＝80°， ∴根据对顶角相等可得，∠1＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题主要考查对顶角、邻补角相，掌握图形结合分析的解题思想，对顶角相等的知识是解题的关键． 14．（2分）如图，数轴上的点A、B对应的数分别为a、b，且AB＝4，则代数式2a﹣2b+1的值是 　﹣7　． 【分析】根据数轴易得a﹣b＝﹣4，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：由题意可得a﹣b＝﹣4， 则2a﹣2b+1 ＝2（a﹣b）+1 ＝2×（﹣4）+1 ＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查代数式求值，数轴，结合已知条件求得a﹣b＝﹣4是解题的关键． 15．（2分）如图，∠AOB＝α，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；画射线O'A'，以点O′为圆心，OC为半径画弧交O'A'于点C'；依次截取C′E＝EF＝FG＝CD，分别交前弧于点E、F、G；画射线O′G，反向延长O′A′至点H；画出∠HO′G的角平分线O′M．则∠MO′H＝ 　　．（结果用含α的代数式表示） 【分析】连接OE，OF，根据尺规作图可知∠C'O'E＝∠EO'F＝∠FO'G＝∠AOB＝α，则∠A'O'G＝3α，再根据邻补角的定义得∠HO'G＝180°﹣3α，然后再根据角平分线的定义可得出∠MO′H的度数． 【解答】解：连接OE，OF，如图所示： 由尺规作图可知：∠C'O'E＝∠EO'F＝∠FO'G＝∠AOB＝α， ∴∠A'O'G＝3α， ∵点H在O′A′反向延长线上， ∴∠HO'G＝180°﹣∠A'O'G＝180°﹣3α， ∵O′M平分∠HO′G， ∴∠MO′H∠HO'G． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了尺规作图，角平分线的定义，列代数式，理解角平分线的定义，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角是解决问题的关键． 16．（2分）若a+b＜0，ab＞0，且a＜b，则|a|　＞　|b|（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】根据有理数乘法，加法的计算方法得出a＜b＜0，再根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵a+b＜0，ab＞0，且a＜b，即a＜b＜0， ∴|a|＞|b|， 故答案为：＞． 【点评】本题考查绝对值，有理数的加法、乘法，掌握有理数加法、乘法的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 17．（2分）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a＝ 　4　． 【分析】由对角线和第三行上的三个数之和相等，可求出第一行第三个方格中的数为24，由第二行和第三列上的三个数字之和相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵对角线和第三行上的三个数之和相等， ∴第一行第三个方格中的数为24+16﹣26＝14； ∵第二行和第三列上的三个数字之和相等， ∴a+26＝14+16， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18．（2分）将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　①　． 【分析】设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，用a、b、c、d表示出右上角、左下角阴影部分的周长，利用整式的加减混合运算法则计算，得到结果． 【解答】解：设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d， 由题意得，左上角的阴影部分周长为（a+BC）+c+BC+AB+a+（c﹣AB）＝2a+2c+2BC， 右下角的阴影部分周长为b+c﹣（b﹣BC）+（b﹣d）+d+d+（c﹣d﹣b+BC）＝2c+2BC， 两块阴影周长之差为2a+2c+2BC﹣（2c+2BC）＝2a+2c+2BC﹣2c﹣2BC＝2a， 只需知道正方形①的边即可． 故答案为：①． 【点评】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）化简： （1）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）； （2）． 【分析】（1）去括号，合并同类项计算； （2）先通分，将分母都化成30，然后分子乘以分母乘的倍数，然后将分子去括号，然后合并同类项，然后将分子分母约分计算． 【解答】解：（1）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b） ＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b ＝（15a2b﹣12a2b）+（﹣5ab2+4ab2） ＝3a2b﹣ab2； （2） ． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 20．（8分）解方程： （1）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2）； （2）． 【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【解答】解：（1）4x+2＝1﹣5x+10， 4x+5x＝1+10﹣2， 9x＝9， x＝1； （2）5（x﹣3）﹣3（x﹣1）＝30， 5x﹣15﹣3x+3＝30， 5x﹣3x＝30+15﹣3， 2x＝42， x＝21． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 21．（6分）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． （1）现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． （2）一位A村庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【分析】（1）结合两点之间线段最短，取AB与直线l的交点C，即可得出答案． （2）结合垂线段最短，过点A作AH⊥l于点H，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，取AB与直线l的交点C， 则点C即为所求． 理由：两点之间线段最短． （2）如图，过点A作AH⊥l于点H， 则点H即为所求． 理由：垂线段最短． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（6分）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． （1）△ABC的面积＝ 　　； （2）只用直尺画出△ABC的高AH； （3）只用直尺过点C画CD∥AB． 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）借助网格，根据三角形的高的定义画图即可． （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【解答】解：（1）△ABC的面积为10﹣3． 故答案为：． （2）如图，AH即为所求． （3）如图，直线CD即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（8分）（1）如图①，B是线段AD上的一点，C是线段BD的中点，AD＝100，BC＝30．求线段AB的长． （2）如图②，OB是∠AOD内部的一条射线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOD＝100°，∠BOC＝30°，求∠AOB的度数． 【分析】（1）先根据BC长及点C是线段BC的中点，得出BD的长，再结合AD的长即可求出AB的长． （2）先根据∠BOC的度数及OC是∠BOD的角平分线，得出∠BOD的度数，再结合∠AOD的度数即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点C是线段BD的中点，且BC＝30， ∴BD＝2BC＝60． 又∵AD＝100， ∴AB＝AD﹣BD＝100﹣60＝40． （2）∵OC是∠BOD的角平分线，且∠BOC＝30°， ∴∠BOD＝2∠BOC＝60°． 又∵∠AOD＝100°， ∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝100°﹣60°＝40°． 【点评】本题主要考查了线段的和差及角的计算，能根据所给图形发现线段及角度之间的关系是解题的关键． 24．（6分）如图，AB∥CD，∠A+∠C＝180°，则AD∥CE．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为AB∥CD， 所以∠A＝∠　D　（ 　两直线平行，内错角相等　）． 又因为∠A+∠C＝180°， 所以∠　D　+∠C＝180°． 所以AD∥CE．（ 　同旁内角互补，两直线平行　）． 【分析】根据题意，填写成立的条件或结论，即可得到结果． 【解答】解：因为AB∥CD， 所以∠A＝∠D（ 两直线平行，内错角相等）， 又因为∠A+∠C＝180°， 所以∠D+∠C＝180°， 所以AD∥CE（ 同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，内错角相等；D；同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 25．（6分）列方程解应用题： 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后、如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．求天头长． 【分析】设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为cm，根据装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2列出方程即可解得x的值，从而可得答案． 【解答】解：设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为cm， ∵装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2， ∴， ∴x＝10.5， ∴3×10.5＝31.5（cm）， 答：天头长为31.5cm． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，比的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 26．（6分）在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用“撕角”的办法来说明的．请你再用平行线的性质定理或判定定理说明其正确． 如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，说明∠A+∠B+∠C＝180°． 【分析】过点A作EF∥BC，从而利用平行线的性质可得∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，然后利用平角定义可得∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，从而利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答． 【解答】解：过点A作EF∥BC， ∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（10分）定义：在同一平面内有OA，OB，OC三条射线．若OC分别与OA，OB形成的角的度数成2倍关系，即∠AOC＝2∠BOC或∠BOC＝2∠AOC，则称射线OC是∠AOB的“倍距线”．如图①，若∠AOC＝40°，∠BOC＝20°，满足∠AOC＝2∠BOC，则OC是∠AOB的一条“倍距线”． （1）若∠AOB＝30°，OC是∠AOB的一条“倍距线”，则∠AOC的度数为 　10°（或20°或60°）　°．（写出一个答案即可） （2）如图②，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠BON＝20°． ①射线OC从ON开始，绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜18），当t为何值时，OC是∠AOB的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点O处（∠POQ＝30°），一边OP在射线ON上，另一边OQ在直线MN的下方．将三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为t秒（0＜t＜18），若OB是∠POQ的“倍距线”，则t＝ 　3或4或8　． 【分析】（1）根据新定义可得当OC在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠BOC，当OC在∠AOB 的内部时，OC为∠AOB的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）①根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解； ②同（1）的方法，得出当OB在∠POQ 的内部时，当OB在∠POQ 的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）∵OC是∠AOB的一条“倍距线”， ∴∠AOC＝2∠BOC或∠BOC＝2∠AOC， 如图所示，当OC在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠BOC， 当OC在∠AOB 的内部时，OC为∠AOB的三等分线， ∵∠AOB＝30°， 当OC 在∠AOB 的外部时，∠AOB＝∠BOC＝30°，则∠AOC＝60°， 当OC在∠AOB 的内部时，OC为∠AOB 的三等分线，则∠AOC＝20°或0°， 综上，∠AOC 的度数为10°或20°或60°， 故答案为：10°（或20°或60°）； （2）①射线OC从ON开始，绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为t秒， ∴∠CON＝10t°， ∵OA⊥MN，∠BON＝20°， ∴∠AOB＝∠90﹣∠BON＝70°， ∵OC是∠AOB 的“倍距线”， 由（1）可得当OC 在∠AOB的内部时，或， 即或， 解得：或， 当OC在∠AOB的外部时，∠COA＝∠AOB， 即10t﹣90＝70， 解得：t＝16， 综上，或或16； ②∵OB是∠POQ的“倍距线”， ∴∠POB＝2∠BOQ 或∠BOQ＝2∠BOP， 当OB在∠POQ 的内部时， 或， 即10t﹣20＝10或10t﹣20＝20， 解得：t＝3或t＝4， 当OB在∠POQ的外部时， ∠QOB＝∠POQ＝30°，则∠PON＝∠POQ+∠BOQ+∠BON＝30°+30°+20°＝80°， ∴10r＝80， 解得：t＝8， 综上：t＝3或4或8， 故答案为：3或4或8． 【点评】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$