精品解析：山西省临汾市霍州市第三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

山西省2024~2025学年第一学期九年级期中质量监测数学试卷（华师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 若（均不为零），则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形绸布中，边的长为，沿图中实线部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布．若裁出的绸布与绸布相似，则绸布边的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示是钢材质人字梯的侧面示意图，是人字梯两条斜撑的连接点，，是人字梯两条斜撑的触地点，，，，是人字梯后斜撑上的分割点，且，，，，，是人字梯前斜撑上的分割点，且，若，则人字梯前斜撑触地点到连接点的钢材长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算的结果为_______． 12. 山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为__________． 13. 如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小道．若要使种植面积为，则小道的宽为_____m． 15. 如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段的顶点坐标分别为，． （1）将线段先沿轴向右平移3个单位，再沿轴向上平移4个单位得到线段，点，的对应点分别为，，画出线段，连结，，并直接写出四边形的形状． （2）画出四边形关于轴对称的四边形． （3）画出线段以为位似中心，放大到原来2倍的线段． 19. 如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ． 20. 某综合与实践小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动，他们在李老师的带领下制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．记录如下表： 活动内容 测量本校教学楼高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺 测量示意图 说明：某组员从树的点C处后退一定距离到点E处，可以透过树的顶端D观察到救学楼的顶端A，点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内 测量数据 教学楼到树的距离 树到该组员的距离 该组员眼睛到地面的距离 树的高度 请利用表中提供的信息，求教学楼的高度．（结果精确到） 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，四边形是学校劳动实践基地的一块试验田，其中，，，，．现要对该试验田内种植区域进行划分，以种植不同的农作物，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计： 晓晓的设计方案如下： 第一步：在田边，上分别取点，，放入一段篱笆，使，篱笆的左侧区域种植谷物，其种植面积占试验田总面积的． 第二步：在田边上取点，使，用篱笆沿，将篱笆的右侧区域分割成，和三个区域，分别种植红薯，土豆和胡萝卜三种农作物． 方案实施： 学校采用了晓晓的方案，在完成第一步分割后，发现学校仅剩篱笆．若要继续完成第二步的分割，需确定和的长度．为此，晓晓在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的设计方案解决下列问题． （1）请直接写出线段的函数表达式． （2）为完成第二步的分割，求学校还需要准备的篱笆长度．（结果精确到；参考数据：） 23. 综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024~2025学年第一学期九年级期中质量监测数学试卷（华师大版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若要使有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，， ， 故选A． 2. 我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程的过程即可得到答案． 【详解】解： 将其左边分解因式得到， ∴或， 解得， 这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选：C 3. 下列各式化简后，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．对二次根式进行化简，找到与为同类项的即是答案． 【详解】解：无法进行化简，不能与合并，故选项A不符合题意； ，不能与合并，故选项B不符合题意； ，能与合并，故选项C符合题意； ，不能与合并，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键． 求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论． 【详解】解：A.，故有两个不相等的实数根，不合题意； B. ，故有两个不相等的实数根，不合题意； C. ，故有两个相等的实数根，不合题意； D. ，故没有实数根，合题意； 故选D． 5. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 6. 若（均不为零），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查的知识点是比例的性质，解题的关键是准确掌握其性质进行运算．首先设，得出，，，然后代入，再代入求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故选：D． 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 8. 如图，在矩形绸布中，边的长为，沿图中实线部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布．若裁出的绸布与绸布相似，则绸布边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据题意可得，矩形矩形，然后利用多边形的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，矩形矩形， ， ， 解得或（舍去）， 故选C． 9. 如图所示是钢材质人字梯的侧面示意图，是人字梯两条斜撑的连接点，，是人字梯两条斜撑的触地点，，，，是人字梯后斜撑上的分割点，且，，，，，是人字梯前斜撑上的分割点，且，若，则人字梯前斜撑触地点到连接点的钢材长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例、比例性质，根据平行线分线段成比例正确得到比例式是解答的关键．先求得，再根据平行线分线段成比例得到，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由可得，由可得，于是可得，进而可得，由和是共底同高的三角形，且可得，进而可得，再根据即可求出的面积． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 和是共底同高的三角形，且， ， ， ， 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的3个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，娘子关瀑布的坐标为，则壶口瀑布的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题关键． 根据云冈石窟和子关瀑布的坐标建立直角坐标系，然后确定壶口瀑布的坐标即可． 【详解】解：根据题意建立如图坐标系： 所以壶口瀑布的坐标为． 故答案为． 13. 如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理推出三角形的面积以及四边形的面积即可得到答案． 【详解】解：为边的中点，过点作交边于点E， ∴， ∴，是的中位线， ， ∵的面积为， ， ， 是的中位线， 与同底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 14. 如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小道．若要使种植面积为，则小道的宽为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道的宽为∶，则把小道分别移到矩形的上边和左边，可得矩形的长为，宽为，根据要使种植面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解∶ 设小道的宽为：，依题意得： 整理，得： 解得：， (不合题意，舍去) 即小道的宽为． 故答案为：2． 15. 如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，运用等面积法求出，结合勾股定理得，，然后在中，，则在中，，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在中，， 则， 解得， 依题意，设， ∴， 在中， ， 解得， ∴， 在中， ∵，， 则在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减； （2）先根据乘法公式、乘法分配律计算，再算加减． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程，即可得到答案． 【详解】移项：． ∴，， ∴， ∴ ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，线段的顶点坐标分别为，． （1）将线段先沿轴向右平移3个单位，再沿轴向上平移4个单位得到线段，点，的对应点分别为，，画出线段，连结，，并直接写出四边形的形状． （2）画出四边形关于轴对称的四边形． （3）画出线段以为位似中心，放大到原来2倍的线段． 【答案】（1）如图， 四边形是菱形 （2） 如图，四边形即为所求； （3） 如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变换—平移，位似图形，菱形的判定，勾股定理： （1）根据平移的性质画出线段，可得四边形是平行四边形，然后根据勾股定理可得的长，可得到，从而判断四边形的形状； （2）分别作出点A，B，C，D四点关于y轴的对称点，即可求解； （3）根据位似图形的性质解答，即可求解． 【小问1详解】 解：线段，，即为所求； 由平移的性质得：， ∴四边形是平行四边形， 根据题意得：， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，然后利用两角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： 20. 某综合与实践小组开展了测量本校教学楼高度的实践活动，他们在李老师的带领下制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．记录如下表： 活动内容 测量本校教学楼高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺 测量示意图 说明：某组员从树的点C处后退一定距离到点E处，可以透过树的顶端D观察到救学楼的顶端A，点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内 测量数据 教学楼到树的距离 树到该组员的距离 该组员眼睛到地面的距离 树的高度 请利用表中提供的信息，求教学楼的高度．（结果精确到） 【答案】教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点，证明，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形，四边形和四边形都是矩形． ，，，． ， ． ． ． ． 答：教学楼的高度约为． 21. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，四边形是学校劳动实践基地的一块试验田，其中，，，，．现要对该试验田内种植区域进行划分，以种植不同的农作物，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计： 晓晓的设计方案如下： 第一步：在田边，上分别取点，，放入一段篱笆，使，篱笆的左侧区域种植谷物，其种植面积占试验田总面积的． 第二步：在田边上取点，使，用篱笆沿，将篱笆的右侧区域分割成，和三个区域，分别种植红薯，土豆和胡萝卜三种农作物． 方案实施： 学校采用了晓晓的方案，在完成第一步分割后，发现学校仅剩篱笆．若要继续完成第二步的分割，需确定和的长度．为此，晓晓在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的设计方案解决下列问题． （1）请直接写出线段的函数表达式． （2）为完成第二步的分割，求学校还需要准备的篱笆长度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】（1） （2）学校还需要准备的篱笆长度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂题意，列出关系式是解题的关键． （1）设函数解析式为，将代入函数解析式，即可得到答案． （2）依据题意得，，，则，设，则，得到，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 将代入函数解析式， ， 解得， 故线段的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：，， ． 设，则． ． ．解得，（舍去）． ，． ． ，， ． ． ． ，， ． ． ，． ． ． ．解得． ． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． 学校还需要准备的篱笆长度为． 答：学校还需要准备的篱笆长度约为． 23. 综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）的长为 （2）此时的值为4或9 （3）或或 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； 【小问2详解】 如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； 【小问3详解】 是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $