精品解析：云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

宣威六中高一年级第二次月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解并判断即可. 【详解】集合，所以. 故选：A 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】 利用反例或不等式的性质逐项检验后可得正确的选项. 【详解】对于AC，取，则，但，，故AC错. 对于D，取，，则，， 但，故D错误. 对于B，因为，故，故. 故选：B. 4. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，恒成立；当时，利用二次函数的图象与性质解一元二次不等式. 【详解】当时，恒成立； 当时，由不等式对恒成立得， ， 解得. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 5. 已知函数，则“是幂函数”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的知识求得，根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若函数为幂函数，则，解得或． 故“是幂函数”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求的范围，然后解不等式可得. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 7. 日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ） A. 250 B. 375 C. 500 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可. 【详解】由题意得，解得， 令，则，解得. 故选：C. 8. 已知正数x，y满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令，，则， 即， ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，代入列方程组求解即可. 【详解】设， 由题意可知， 所以，解得或， 所以或. 故选：AD. 10. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：ACD 11. 函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. . B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数图像性质直接判断. 【详解】由题意得，中若，，则， 若，，则； 中表示纵截距. 对于A，图像中，图像中，故A错误； 对于B，图像中，图像中，故B正确； 对于C，图像中，图像中，故C错误； 对于D，图像中，图像中，故D正确； 故选：BD 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为______元． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分段讨论折扣优惠金额元与总金额元的函数关系，列式计算判断即得. 【详解】设顾客选购物品的总金额为元，获得的折扣优惠金额为元，则当时，， 当时，， 令，得，解得，不符合题意； 当时，， 令，所以，解得，符合题意， 所以他实际所付金额为元． 故答案为：1610 13. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 14. 已知函数对一切实数都满足，且当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式． 【详解】函数对一切实数都满足， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以 所以. 故答案为：． 四、解答题（共5小题77分） 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16. 设不等式的解集为，关于x的不等式的解集为． （1）求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合，进而求得取值范围. 【小问1详解】 解：由不等式，可得， 即，且，所以，所以． 【小问2详解】 解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 由不等式，可得， 当时，不等式的解集为，即，因为，则； 当时，不等式为，解得，即；成立； 当时，不等式的解集为，即，因为，则， 综上所述，即的取值范围是． 17. 设函数. （1）证明函数是奇函数； （2）证明函数在内是增函数. 【答案】（1） 由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2） 设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如 （1）将的解析式写成分段函数的形式; （2）请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象; （3）根据图象写出函数的值域. 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件给的新定义，可以将函数分为三段，分别求解析式即可. (2)根据写出的分段函数画图. (3)由图像就可以观察出函数的值域. 【小问1详解】 当时，所以 当时，，所以 当时，，所以. 综上， 【小问2详解】 函数的图象如图所示. 【小问3详解】 由图象，得函数的值域为. 19. 已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： （1）试求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减，证明如下： 函数的单调性必然涉及到， 于是由已知，我们可以联想到：是否有（*） 这个问题实际上是：是否成立？ 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即与的关系． 由于，所以在中， 令，得．所以函数为奇函数．故（*）式成立． 所以． 任取，且，则，故且． 所以，； 所以，函数在上单调递减． （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法代入计算，再根据函数值域即可得； （2）根据已知条件可证明得出，再由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）结合函数奇偶性，将不等式恒成立问题转化为，再由单调性即可求得结果. 【小问1详解】 在中，令， 则有．即． 也即． 由于函数的值域为，所以， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知为奇函数，且对恒成立， 即对恒成立， 由（2）知为减函数，所以对恒成立， 所以，令， 因为在上单调递增，，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：在解决第三问中求解取值范围的关键是利用函数奇偶性将不等式恒成立转化为求解函数最小值的问题，再结合函数单调性即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威六中高一年级第二次月考数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“是幂函数”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ） A. 250 B. 375 C. 500 D. 1000 8. 已知正数x，y满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 10. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 3 11. 函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. . B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为______元． 13. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 14. 已知函数对一切实数都满足，且当时，，则________． 四、解答题（共5小题77分） 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16. 设不等式的解集为，关于x的不等式的解集为． （1）求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 设函数. （1）证明函数是奇函数； （2）证明函数在内是增函数. 18. 已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如 （1）将的解析式写成分段函数的形式; （2）请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象; （3）根据图象写出函数的值域. 19. 已知定义在上的函数满足： ①值域为，且当时，； ②对于定义域内任意的实数，均满足；试回答下列问题： （1）试求的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $