精品解析：山西省晋中市左权县城区学校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期阶段评估（四） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1． 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3． 答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义，可得几何体的形状． 【详解】解：从俯视图是圆环，推出几何体的上下是圆，由此利用推出几何体的选项D. 故选：D 【点睛】本题考查三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型． 2. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 3. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 4. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 6. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数“－1”“1”“2”．随机摸出一个小球（不放回），其数记为p，再随机摸出另一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2－px＋q＝0有实数根的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画树状图，然后求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2-px+q=0有实数根的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵x2+px+q=0有实数根， ∴Δ=b2-4ac=p2-4q≥0， ∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，-1），（2，-1），（2，1）共3种情况， ∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 7. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求出的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵ H是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时，y有最大值 C. 若点，都在抛物线上，则 D. 经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的增减性，可判断A，B；再由二次函数的对称性，可判断C；求出抛物线的对称轴为直线，最低点为，与y轴交于正半轴，可判定D，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意； 当时，y有最小值，故B选项错误，不符合题意； ∵点，都在抛物线上，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，最低点为， ∵，且， ∴抛物线与y轴交于正半轴， ∴抛物线经过第一、二、四象限，故D选项正确，符合题意； 故选：D 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】解：由方程组得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 10. 如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】①利用翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；③等腰三角形性质，∠EBP＝∠EPB．根据折叠性质得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性质得出∠PBC＝∠BPH．再根据平行线性质得出AD∥BC即可解决；④构造全等三角形即可解决问题；⑤只要证明∠MPB＝45°，再利用反证法可解决问题． 【解答】解：∵折痕为EF， ∴四边形EBCF与四边形EPGF全等 ∴BE=PE， 故①正确； 如图2，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°， ∵FK⊥AB， ∴∠FKB=90°， ∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°， ∴四边形BCFK是矩形， ∴KF＝BC＝AB， ∵EF为对称轴，点B与点P为对称点， ∴EF⊥PB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°， ∴∠ABP＝∠EFK， 在△ABP和△KFE中， ， ∴△ABP≌△KFE（ASA）， ∴EF＝BP，故②正确， ∵BE=PE， ∴∠EBP＝∠EPB． 又∵∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP． 即∠PBC＝∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC． ∴∠APB＝∠BPH．故③正确； 如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q． ∴∠PQB=∠HQB=90°， 由（1）知∠APB＝∠BPH， 在△APB和△QPB中， ， ∴△ABP≌△QBP（AAS）， ∴AP＝QP，AB=QB， 又∵AB＝BC， ∴BC＝BQ． ∵∠HQB=90°，∠C=90° 在Rt△BCH和Rt△BQH中 ， ∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）， ∴CH＝QH， ∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正确； 设EF与BP的交点为点N，如图4， ∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH， ∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH， ∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH， 即∠PBM＝45°， 由折叠知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN， ∵在四边形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°， ∴∠MFH+∠DPN＝180°， ∵∠DPN+∠APN＝180°， ∴∠APN＝∠MFH， 假设MH=MF， ∴∠MHF=∠MFH=∠APB， 在△ABP和△CBH中， ， ∴△ABP≌△CBH（AAS）， ∴∠ABP=∠CBH， ∵∠ABP+∠CBH=45°， ∴∠ABP=∠CBH=22.5°， ∵点P在AD上， ∴0≤∠ABP≤45°， ∴∠ABP=22.5°与0≤∠ABP≤45°相矛盾， ∴假设不正确，故⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的常数项为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项把一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：（、、是常数且），叫二次项，叫一次项，是常数项，其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程化成一般式为：， ∴常数项为． 故答案为：． 12. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵点A在图象上，连接交图象于点B， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为： 13. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：P是的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，掌握黄金分割中相关线段的比例关系是解题的关键． 14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 是等边三角形是解题的关键．先求得是等边三角形，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值． 【详解】解：∵轴, ， ， ， ， ， 是等边三角形， 如图，过点作轴于点， ， ∴， ∴， ∴， ， ∵双曲线 经过点， ， 故答案为： 15. 如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值． 【详解】解： 又 设，则． ，化简得， 整理得， 所以当时，y有最大值为4． 故答案为4． 【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）5；（2），． 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的运算，解一元二次方程． （1）代入特殊角的三角函数值，计算乘方，去绝对值，然后根据，，进行计算，即可； （2）利用配方法解出方程，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 整理得， 配方得，即， ∴，． 17. 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG． （1）证明：△AFC∽△AGD； （2）若＝，请求出的值． 【答案】（1）证明： 四边形，是正方形， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形，是正方形，推出，得，由于，得到，列比例式即可得到结果； （2）设，，则，根据勾股定理得到，由于，，于是得到，得到比例式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设，，则， ，， 四边形，是正方形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键． 18. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）100； 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识， （1）根据篮球的人数除以所占的百分比得出本次被调查的学生人数，即可解决问题； （2）用乘以选择羽毛球的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可； 熟练掌握用树状图法求概率并能灵活运用扇形统计图和条形统计图的关联信息是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生人数为（人）． 选择“足球”的人数为（人）． 故答案为：100； 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 19. 某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量件与时间天的关系如下表： 时间天 1 3 5 10 36 日销售量件 94 90 86 76 24 未来40天内，前20天每天的价格元件与时间天的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格元件与时间天的函数关系式为（且t为整数）． 下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的件与天之间的表达式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【答案】（1）m=-2t+96；（2）第14天日销售利润最大，最大利润为578元． 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式； （2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论． 【详解】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0）， 将t=1，m=94，t=3，m=90 代入， 解得， ∴m=-2t+96； 验证：当t=5时，m=-2×5+96=86， 当t=10时，m=-2×10+96=76， 当t=5时，m=-2×36+96=24， 所以，件与天之间的表达式为：m=-2t+96； （2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元， 则P1=（-2t+96）（t+25-20）=-（t-14）2+578， ∴当t=14时，P1有最大值，为578元． P2=（-2t+96）•（t+40-20）=-t2+8t+1920=（t-44）2-16， ∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小， ∴t=21时，P2有最大值，为513元． ∵513＜578， ∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围． 20. 如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． （1）求扶手前端到地面的距离； （2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）如图2，过作，垂足为，又过作，垂足为，过作，构造和中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度； （2）由平行线的性质知；根据题意得到，，，如图2，过作，垂足为，设，通过解和，根据等量关系列出方程，通过解方程求得答案． 【小问1详解】 解：如图2，过作，垂足为， 又过作，垂足为，过作，垂足为，则． 则四边形为矩形，， ，、所在直线与地面的夹角分别为、， ， 则在中，． 在中，，， ． 又，前后车轮半径均为， 扶手前端到地面的距离为； 【小问2详解】 解：， ， ，椅子的支点到点的距离为，， ， 如图2，过作，垂足为，设， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， 解得． ． 答：坐板的宽度为． 21. 阅读下列材料，完成任务： 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于E，F两点（E，F不与A重合），则有结论：．理由如下： 证明：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵点E，F在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， …… ∴． 任务一：请把上述证明过程补充完整； 任务二：沿着将矩形折叠使A，D两点重合．如图2，当点D恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； 任务三：若折叠后，是等腰三角形，直接写出此时点D的坐标． 【答案】 任务一：证明：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵点E，F在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴； 任务二：2； 任务三：D点坐标为或 【解析】 【分析】（1）先证明，从而得即可得出结论； （2）如图2中，连接交于M，利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明即可； （3）分三种情况讨论：①，②，③，分别计算和的长确定点D的坐标即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，∵， ∴， 连接交于M点， 由折叠知， ∴， ∴， ∴； （3）连接交于M，过D点作于N， 由折叠的性质得， ①当时，如图3， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时，如图4， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意，舍去， ∴， 综上所述，所求D点坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 22. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 23. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段． （1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路， ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示） （3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）任选一个思路求解即可，下面两种思路求解如下： 小聪解题思路：过点作交的延长线于点，如图1， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 小慧解题思路：在上截取，使得，连接，如图所示： ，， ，， ， 又，， ， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）小聪解题思路：由“”可证，可得，，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；小慧解题思路：由“”可得，可得，即可求解； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3，由题中条件得到，由相似三角形的性质；上截取，使，连接，作于点，如图所示，通过证明，由相似三角形的性质，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）在上截取，使得，连接，如图2， 四边形是菱形，， ，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作交的延长线于点，设菱形的边长为3， ， ，， ， ， ，， ， ，由（2）知，， ， ， ， ， ， 上截取，使，连接，作于点，如图所示： 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，旋转性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段评估（四） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1． 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3． 答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 一个立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 4. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（ ） A. B. C. D. 6. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数“－1”“1”“2”．随机摸出一个小球（不放回），其数记为p，再随机摸出另一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2－px＋q＝0有实数根的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 当时，y有最大值 C. 若点，都在抛物线上，则 D. 经过第一、二、四象限 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的常数项为______． 12. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 13. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为_____． 14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________． 15. 如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG． （1）证明：△AFC∽△AGD； （2）若＝，请求出的值． 18. 2024年巴黎奥运会上，王楚钦、孙颖莎战胜韩国队，夺得中国乒乓球历史上首枚混双金牌；郑钦文战胜克罗地亚选手，夺得我国首枚奥运会网球女单金牌，潘展乐男子100米自由泳游出46秒40，打破世界纪录的同时赢得冠军……他们无一不淋漓尽致地展现了中国体育健儿的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙同学同时被选中的概率． 19. 某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量件与时间天的关系如下表： 时间天 1 3 5 10 36 日销售量件 94 90 86 76 24 未来40天内，前20天每天的价格元件与时间天的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格元件与时间天的函数关系式为（且t为整数）． 下面我们就来研究销售这种商品的有关问题： （1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的件与天之间的表达式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 20. 如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，． （1）求扶手前端到地面的距离； （2）手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号） 21. 阅读下列材料，完成任务： 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于E，F两点（E，F不与A重合），则有结论：．理由如下： 证明：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵点E，F在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， …… ∴． 任务一：请把上述证明过程补充完整； 任务二：沿着将矩形折叠使A，D两点重合．如图2，当点D恰好落在矩形的对角线上时，求的长度； 任务三：若折叠后，是等腰三角形，直接写出此时点D的坐标． 22. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 23. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段． （1）【问题情景】：如图（1），正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转90°得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路， ①小聪：过点作的延长线的垂线； ②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】：如图（2）点是菱形边上一点（不与点、重合），，将绕点顺时针旋转得到，使得（），则的度数为______（用含的代数式表示） （3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结，与相交于点，当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $