精品解析：湖北省武汉市洪山高级中学2024-2025学年高一下学期2月考试数学试题

武汉市洪山高级中学2027届高一第二学期2月考试 数学试卷 一.单选题 1. 若是第四象限角，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则有（ ） A. B. C. D. 5. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8 已知函数且（ ） A. 函数都偶函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二.多选题 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为 B. C. 的所有零点之和为 D. 三.填空题 12 已知，则______ 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______ 14. 已知a为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则___________，a的取值范围为___________. 四.解答题 15. 已知角的终边经过点，求： （1）的值 （2）求的值. 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 17. 自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式； （2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，） 18. 已知函数在上为奇函数，，. （1）求实数的值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市洪山高级中学2027届高一第二学期2月考试 数学试卷 一.单选题 1. 若是第四象限角，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据的符号确定正确答案. 【详解】由于是第四象限角，所以， 所以在第二象限. 故选：B 2. 将函数图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据，然后判断出平移的过程即可. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位可得到的图象， 而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，不合题意； 把的图象向右平移后的图象对应的函数为，不合题意； 故选：B. 3. 已知且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选:C. 4. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，.根据角范围和正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】， ， ， ，， 即有：. 故选：D 5. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦公式得到，再根据诱导公式即可求解. 【详解】，， ， ， . ，，， 或，即或（舍去）. 故选：A. 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 7. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分，， 三种情况进行讨论，结合函数的图象，即可求出的取值范围. 【详解】设 ，则有且只有一个实数根. 当时，当 时， ，由， 即，解得， 结合图象可知，此时当时，得，则是唯一解，满足题意； 当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意； 当 时，当 时，，此时最小值 ， 结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 . 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数且（ ） A. 函数都是偶函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A，解对数方程即可判断B，解对数方程得，当时，即可判断C，设，求出，即可判断D. 【详解】因为，且，，， 所以，，， 对A,的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误； 对B,当，即， 所以或， 解得，且，故B错误； 对C,当时，，即，即， 同理可得，所以， 当时，，故C错误； 对D,因为， 设，则，，，， 所以，，，， 所以，，所以，故D正确. 故选：D 二.多选题 9. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D：，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，又，所以，所以． 对于A：当时，，故A正确； 对于B：当时，为最小值， 故的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数： 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增， 因为，，， 所以方程在上有两个不相等的实数根时， 的取值范围是，故D正确． 故选：ABD 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ） A. 的周期为 B. C. 的所有零点之和为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D. 【详解】由为偶函数，得，即， 函数的图象关于直线对称， 由为奇函数，得，即，则， 的图象关于点对称， 因此函数是周期为的周期函数，A错误； 由当时，，得，而， ，， 因此，B正确； 的零点可看作与的图象交点的横坐标， 作出与的图象， 观察图形知，直线与的图象共有个交点， 且它们关于点成中心对称，   所以所有零点之和为，C正确； 当时，，，与均为奇函数， 则当时， 因此当时，，又与的周期都为， 所以，D正确． 故选：BCD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三.填空题 12. 已知，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式联立方程组求得，然后化切为弦代入运算即可. 【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得： ，， 联立方程组，可得， 所以． 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性，根据在上单调递减列不等式组求解即可． 【详解】因为在上单调递减，且时，是单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是． 故答案为： 14. 已知a为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则___________，a的取值范围为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据得出大致范围，从而求出的值，再根据的范围即可求出的取值范围. 【详解】由于函数在区间和上的最大值分别记为和，，则，否则，与条件矛盾.所以=1.于是得 所以，结合，所以,所以. 故答案为：1；. 四.解答题 15. 已知角的终边经过点，求： （1）的值 （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求得，从而求得正确答案. （2）利用诱导公式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，角的终边经过点， 所以， 所以. 小问2详解】 . 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 【答案】（Ⅰ），，． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ） ． 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 因为为锐角，所以，， 又因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题． 17. 自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式； （2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，） 【答案】（1）；； （2）2022. 【解析】 【分析】（1）由题可得函数更合适，结合条件即得； （2）由题可得，利用对数的运算可得，即得. 【小问1详解】 因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快， 而函数，随的增长而增长的速度越来越慢， 故由题意应选； 则有，解得， ∴； 【小问2详解】 设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍， 则，即， ∴， ∴， 故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍． 18. 已知函数在上为奇函数，，. （1）求实数的值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 【答案】（1）； （2）减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）因为为奇函数，所以恒成立，据此可求出的值； （2）由（1）可求出，讨论，根据复合函数的单调性可判断的单调性； （3）根据题意，结合（1）对原不等式变形可得， 又根据的单调性得，整理得， 从而转化为求的最小值，再解关于的不等式， 对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案. 【小问1详解】 因为函数在上为奇函数，所以恒成立， 即恒成立， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知 因为在是减函数，又， 所以在上为减函数； 【小问3详解】 因为对任意都有, 所以对任意都有， 由在上为减函数； 所以对任意都有， 所以对任意都有， 因为， 所以即，解得 因为， 令，则， 令，它的对称轴为， 当，即时， 在上是增函数， ， 解得舍去， 当即时， 此时， 解得，所以. 【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高. 19. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将问题转化为在上恒成立，分离参数后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可； （2）根据复合函数的单调性，设，，分类讨论求解即可； （3）设函数在上的“不动点”为m，则，令，，则，将函数在上仅有一个“不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点；设函数在上的“次不动点”为n，则，令，，则，将函数在上仅有一个“次不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 令，则为上的增函数，且 设 当时，函数上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 设函数在上的“不动点”为m，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单减，上单增， 因当时，，，， 所以若与的图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或 设函数在上的“次不动点”为n，则， 即，，所以， 即， 令，，则，则，， 任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，所以在上单增， 因为与的图象在上仅有一个交点，且 所以，又因为，故 综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，a的取值范围为或 【点睛】思路点睛:本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$