专题2.5 一元一次不等式与一次函数（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.5 一元一次不等式与一次函数（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次不等式 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系可从“数”与“形”上理解： 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 【知识点2】一次函数与一元一次不等式联系的拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 【知识点3】利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 2. 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集. 【知识点4】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤： （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 【考点与题型目录】 【考点一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【题型1】由直线与坐标轴的交点求不等式的解....................................2 【题型2】由直线与坐标轴的交点求区间最值......................................3 【题型3】直线与坐标轴的交点坐标求解集与几何综合..............................4 【考点二】根据两条直线的交点求不等式的解集 【题型4】根据两条直线的交点求不等式的解集....................................5 【题型5】根据两条直线与坐标轴的交点坐标求解集与面积..........................6 【题型6】根据两条直线与坐标轴的交点坐标解集与最值............................7 【考点三】一元一次不等式与一次函数的应用 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题........................................7 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考............................................................8 【题型9】拓展延伸..................................................,.........9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【题型1】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． （1）求出，的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【题型2】由直线与坐标轴的交点求区间最值 【例2】（22-23九年级上·北京西城·开学考试）已知一次函数，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在的图象上，则k的值是______． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式； （3）对于一次函数＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，＜都成立，求k的取值范围． 【变式1】（20-21八年级下·全国·课后作业）已知一次函数； （1）画出函数的图象； （2）当x为何值时，？ （3）当时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【题型3】直线与坐标轴的交点坐标求解集与几何综合 【例3】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中画出的函数图象，利用图象回答下列问题： （1）不等式的解集为_________； （2）已知点，点B在直线上，直线与y轴的交点为C．若的面积为4，则点B的坐标为_________． 【变式1】（22-23八年级下·上海·单元测试）一次函数的图像如图所示，下列说法正确的是 ．（只填序号）①点在其图像上；②方程的解为；③当时，；④原点到直线的距离为． 【变式2】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求，，的值； （2）直接写出不等式组的解集：_____________； （3）点是直线上一点，且满足，求点的坐标． 【考点二】根据两条直线的交点求不等式的解集 【题型4】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例4】（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【题型5】根据两条直线与坐标轴的交点坐标求解集与面积 【例5】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． （3）若是轴上一点，且，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（20-21九年级上·吉林长春·阶段练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是 ． 【题型6】根据两条直线与坐标轴的交点坐标解集与最值 【例6】（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）一次函数（a为常数，且）． （1）若点在一次函数的图象上，求a的值； （2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求出此时一次函数的表达式； （3）对于一次函数，若对任意实数都成立，求k的取值范围． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【变式2】（19-20八年级·浙江金华·期末）在计算机编程中有这样一个数字程序：对于二个数，用表示这两个数中较小的数．例如：，则的最大值为 ． 【考点三】一元一次不等式的运用 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题 【例7】（23-24八年级下·全国·期末）端午节期间，甲、乙两商场出售同种小香囊的方案如图，要使乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场，则乙商场至少应销售 件小香囊． 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系；l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象判断，该公司盈利时，销售量（    ） A．小于12件 B．等于12件 C．大于12件 D．不低于12件 【变式2】（2024·河南·模拟预测）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元． （1）求太阳帽、旅行包每个的进价； （2）该景区的太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 第二部分【直通中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【例2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【题型10】拓展延伸 【例1】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元一次不等式与一次函数（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次不等式 一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0）（k，b为常数，且k≠0）的关系可从“数”与“形”上理解： 数：函数y=kx+b中，函数值y＞0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，函数值y＜0时自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 形：函数y=kx+b的图像中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＞0的解集，位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx+b＜0的解集. 【知识点2】一次函数与一元一次不等式联系的拓展 直线=与直线的交点的纵坐标即为方程的解；不等式（）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的x的取值范围. 【知识点3】利用图像法解一元一次不等式的一般步骤： 1. 将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）的形式； 2. 画出函数y=ax+b（a≠0）的图像，并确定函数图像与x轴的交点坐标； 3. 根据函数图像确定对应不等式的解集. 【知识点4】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数综合 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案.常用的问题有购物问题、利润问题、支出问题等. 2.解答方案决策问题的一般步骤： （1）根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式=和. （2）根据之间的大小关系（＞或或），分情况求得相应的x的值或取值范围. （3）比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策. 【考点与题型目录】 【考点一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【题型1】由直线与坐标轴的交点求不等式的解.................,,,,,,,,,............2 【题型2】由直线与坐标轴的交点求区间最值...................,,,,,................4 【题型3】直线与坐标轴的交点坐标求解集与几何综合............,,..................8 【考点二】根据两条直线的交点求不等式的解集 【题型4】根据两条直线的交点求不等式的解集..................,,,,,,,,,..........13 【题型5】根据两条直线与坐标轴的交点坐标求解集与面积...........................15 【题型6】根据两条直线与坐标轴的交点坐标解集与最值............,,,,.............19 【考点三】一元一次不等式与一次函数的应用 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题.........................................22 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型8】直通中考.............................................................24 【题型9】拓展延伸..................................................,..........25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【题型1】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． （1）求出，的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）的取值范围为． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，学会根据图象法解不等式是解题的关键． （1）代入点，到，再解二元一次方程组即可； （2）根据函数图象进行解答即可． 解：（1）解：由图象可知，一次函数的图象经过点，， 代入得：， 解得：， ． （2）由图象得，当时，的取值范围为， 的取值范围为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线（k、b为常数且）经过和两点，当x 时，． 【答案】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得：当时，，y随着x的增大而减小，根据数形结合求解即可． 解：由图象得：当时，，y随着x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 【题型2】由直线与坐标轴的交点求区间最值 【例2】（22-23九年级上·北京西城·开学考试）已知一次函数，其中k≠﹣1． （1）若点（﹣1，2）在的图象上，则k的值是______． （2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求的函数表达式； （3）对于一次函数＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，＜都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）0；（2）的函数表达式为＝4x﹣3或＝﹣x+7；（3）k＞﹣2 【分析】（1）把（-1，2）代入=（k+1）x-2k+3中可求出k的值； （2）讨论：当k+1＞0，即k＞-1时，根据一次函数的性质得到x=3时，y=9，然后把（3，9）代入=（k+1）x-2k+3中求出k得到此时一次函数解析式；当k+1＜0，即k＜-1时，利用一次函数的性质得到x=-2时，y=9，然后把（-2，9）代入=（k+1）x-2k+3中求出k得到此时一次函数解析式； （3）先整理得到=mx-m+6，再对一切实数x， ＜都成立，则直线与平行，且在的上方，所以k+1=m且-2k+3＜-m+6，进而即可求得k的取值范围． 解：（1）解：∵点（﹣1，2）在的图象上， ∴﹣（k+1）﹣2k+3＝2， 解得k＝0； 故答案为：0． （2）解：当k+1＞0，即k＞﹣1时，则x＝3时，y＝9， 把（3，9）代入＝（k+1）x﹣2k+3得3（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝3，此时一次函数解析式为＝4x﹣3； 当k+1＜0，即k＜﹣1时，则x＝﹣2时，y＝9， 把（﹣2，9）代入＝（k+1）x﹣2k+3得﹣2（k+1）﹣2k+3＝9，解得k＝﹣2，此时一次函数解析式为＝﹣x+7； 综上，的函数表达式为＝4x﹣3或＝﹣x+7． （3）解：y2＝m（x﹣1）+6＝mx﹣m+6， ∵对一切实数x，＜都成立， ∴k+1＝m且﹣2k+3＜﹣m+6， ∴﹣2k+3＜﹣k﹣1+6， 解得k＞﹣2． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 【变式1】（20-21八年级下·全国·课后作业）已知一次函数； （1）画出函数的图象； （2）当x为何值时，？ （3）当时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？ 【答案】（1）见分析；（2）；（3），当时，y取最大值7 【分析】（1）根据一次函数y＝﹣2x+3，其图象是一条直线，画其图象时只需找两个点，再由两点确定一条直线可画出图象； （2）列出不等式即可求解． （3）根据函数解析式得出用用含y的式子表示x的式子，列出不等式即可求解． 解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线， 当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝， ∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0）， 其图象如下： （2）由题意得，，解得， 当x＜时，． （3）∵y＝﹣2x+3， ∴用含y的式子表示x得：， 又∵﹣2≤x≤3， ∴， 解得：﹣3≤y≤7． ∵－2＜0， ∴当时，y取最大值7． 【点拨】本题考查一次函数的图象画法和性质，一次函数与不等式的关系，解题关键是明确一次函数图象是一条直线，能熟练运用不等式的知识求变量的取值范围． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数的四条性质，其中错误的（    ） A．当时，具有最小值为 B．如果的图象与直线有两个交点，则 C．当时， D．的图象与轴围成的几何图形的面积是8 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．画出函数的大致图象，结合函数的性质对各个选项进行一一判断，即可求解． 解：A．当时，原函数为， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，原函数为， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为，选项A正确，不符合题意； B．当时，， 解得：或， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． 的图象与直线有两个交点， ，选项B正确，不符合题意； C．观察函数图象，可知：当时，，选项C错误，符合题意； D．当时，， 解得：或， 的图象与轴的交点坐标为，， 的图象与轴围成的几何图形的面积，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【题型3】直线与坐标轴的交点坐标求解集与几何综合 【例3】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在平面直角坐标系中画出的函数图象，利用图象回答下列问题： （1）不等式的解集为_________； （2）已知点，点B在直线上，直线与y轴的交点为C．若的面积为4，则点B的坐标为_________． 【答案】（1）图见分析，；（2）或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． （1）直线中，当时，；当时，，过点，画直线即可得到的图象，根据图象即可得到答案； （2）根据题意得到，继而得到，设，得到，得到，代入，即可到达答案． 解：（1）解：如图， 不等式的解集为， 故答案为：； （2）解： 直线与y轴的交点为C， ， ， ， 点B在直线上，设， ， ， ， 当时， ； 当时，， ； 综上，若的面积为4，则点B的坐标为或， 故答案为：或． 【变式1】（22-23八年级下·上海·单元测试）一次函数的图像如图所示，下列说法正确的是 ．（只填序号）①点在其图像上；②方程的解为；③当时，；④原点到直线的距离为． 【答案】①②③④ 【分析】①②③从图像即可看出答案；④设原点到直线的距离为，根据三角形面积公式：，即可求解． 解：①从图像看，当时，，故正确； ②从图像看，时，，故正确； ③从图像看，当时，，故正确； ④设原点到直线的距离为，如图所示： 根据三角形面积公式可知：，即，解得，故正确； 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像上点的坐标特征、一次函数与方程、一次函数与不等式及一次函数与图形面积问题，掌握点在图像上是把点坐标代入函数表达式求解是解决问题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求，，的值； （2）直接写出不等式组的解集：_____________； （3）点是直线上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1），，；（2）；（3）或 【分析】此题考查一次函数的图像和性质，以及两直线相交问题，解决此类题目的关键是灵活运用待定系数法求函数的解析式，进而利用图形的面积确定点的坐标． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由图可得时，在点的右侧，而当时，，由此可得出不等式组的解集； （3）设点的坐标为，根据即可求解． 解：（1）解：把点代入，得， 解得， 分别把点和点代入， 得， 解得， 即，，的值分别为，，； （2）若，即， 由图可知时在点的右侧，包括点， ，则， 而当时，， 不等式组的解集为：； （3）由（1）知，， 当时，，解得， 即， ， 由点的坐标，得， ， 设点的坐标为， 则． 由，得： ， 整理得：， 或， 解得或， 当时，；当时，， 点的坐标为或． 【考点二】根据两条直线的交点求不等式的解集 【题型4】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例4】（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图象交点问题，利用函数图象解不等式，求出点C的坐标是解题的关键． （1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象找到一次函数图象在正比例函数图象下方的部分即可得到答案． 解：（1）解：∵函数与函数的图象交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得： ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象可得，当时，函数的图象在函数的图象的下方， ∴，即的解集是． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一次函数交点求不等式组的解集，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 利用图象法，根据函数图象求解即可． 解：∵函数和的图象交于点， ∴由图象可得：的解集为：， 由的图象可得：的解集为：， ∴当时的取值范围是． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用函数图像求一元一次不等式的解集，确定点坐标是解题关键．首先将点代入函数，求解即可获得点坐标，然后结合图像即可获得答案． 解：将点代入函数， 可得，解得， ∴， 结合图像可知，不等式的解集是． 故答案为：． 【题型5】根据两条直线与坐标轴的交点坐标求解集与面积 【例5】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出的解集__________． （3）若是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）根据函数图象写出一次函数在的上方的自变量取值范围，即可求解． （3）设点，则，据此即可求解； 解：（1）解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵两直线交点， 根据图象，的解集为， 故答案为：． （3）解：∵、 ∴ 设点，又 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 【变式1】（23-24八年级下·湖北孝感·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①，；②关于x，y的方程的一组解是；③关于x的不等式的解集是；④两直线与y轴围成的三角形的面积是．其中，结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案． 解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 由图象可知一次函数的图象经过一、三、四象限， ， ，故①正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点，的坐标为， 即的一组解是， 故②正确，符合题意； 一次函数与的图象交于点的坐标为， 关于x的不等式的解集是，故③正确，符合题意； 直线与和的交点的纵坐标分别为和，距离为， 直线与的交点的坐标为， 两直线与y轴围成的三角形的面积是，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的为①②③， 故选：C． 【变式2】（20-21九年级上·吉林长春·阶段练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点，直线分别与两条直线交于，两点，若的面积不小于时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】把点A（1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M、N的坐标，再求出MN的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案． 解：由图可知， 点A为（1，2），直线与y轴的交点为（0，1）， 把点A（1，2）代入，则； ∴； 把点A（1，2）和点（0，1）代入， ，解得：； ∴； 把分别代入两条直线方程，则 ，， ∴点M的坐标为（m，2m），点N的坐标为（m，m+1）， ∴， ∴△AMN边MN上的高为： ∵， 当的面积等于时，则 ， ∴或， 结合的面积不小于， ∴或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题． 【题型6】根据两条直线与坐标轴的交点坐标解集与最值 【例6】（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）一次函数（a为常数，且）． （1）若点在一次函数的图象上，求a的值； （2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求出此时一次函数的表达式； （3）对于一次函数，若对任意实数都成立，求k的取值范围． 【答案】（1）-1；（2）或；（3）且 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把代入中可求出a的值即可； （2）分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值M，所以当时，y有最小值时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值M，当时，y有最小值N，然后代入，计算对应a的值； （3）对任意实数都成立，则直线 与 平行，且 在 的上方，所以 且 ，解得即可； 解：（1）把代入得， 解得：； （2）① 时， 随 的增大而增大， 则当 时， 有最大值 ， ∴， 所以当 时， 有最小值 ； ② 时， 随 的增大而减小， 所以当 时， 有最大值 ， 当 时， 有最小值 ， 故此时一次函数 的表达式为 或 ； （3）依题意得 ， ∵对任意实数 都成立， 即：， ， 解得 ， ∴ 的取值范围是 且 ． 【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，根据题意可得y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，据此联立函数解析式求出点A和点B的坐标即可得到答案． 解：联立，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∵无论x取何值，y总是取，，中的最小值， ∴y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B， ∴y的最大值是2， 故选：D． 【变式2】（19-20八年级·浙江金华·期末）在计算机编程中有这样一个数字程序：对于二个数，用表示这两个数中较小的数．例如：，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】分别画出函数，的图象，根据图象可知在时有最大值，求出此时的值即可． 解：令函数，， 联立得， 函数图象如下， 根据函数图象可知， 当时，min{x+1，-2x+2}的最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式．掌握数形结合思想，能借助图形分析是解题关键． 【考点三】一元一次不等式的运用 【题型7】用一元一次不等式解决实际问题 【例7】（23-24八年级下·全国·期末）端午节期间，甲、乙两商场出售同种小香囊的方案如图，要使乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场，则乙商场至少应销售 件小香囊． 【答案】40 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是从实际问题中整理出一次函数的模型，根据“乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场”反映到图象上就是甲商场的图象在乙商场的图象的下方，根据图象交点直接回答即可． 解：乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场， ， 乙商场至少应销售40件小香囊． 故答案为：． 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系；l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象判断，该公司盈利时，销售量（    ） A．小于12件 B．等于12件 C．大于12件 D．不低于12件 【答案】C 【分析】根据图象找出在的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可． 解：根据函数图象可知，当时，，即产品的销售收入大于销售成本，该公司盈利． 故选：C． 【点拨】本题考查函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，能够通过图象得到该公司盈利时x的取值范围是本题的关键． 【变式2】（2024·河南·模拟预测）河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元． （1）求太阳帽、旅行包每个的进价； （2）该景区的太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）太阳帽每个的进价元，旅行包每个的进价元；（2）购进旅行包个，则购进太阳帽个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用与二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设太阳帽每个的进价元，旅行包每个的进价元，根据“购进3个太阳帽和2个旅行包需要42元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要65元”列二元一次方程组，解方程即可； （2）设购进旅行包个，则购进太阳帽个，设销售完后获得的利润为元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 解：（1）设太阳帽每个的进价元，旅行包每个的进价元，根据题意，得 ， 解得： 答：太阳帽每个的进价元，旅行包每个的进价元． （2）设购进旅行包个，则购进太阳帽个，设销售完后获得的利润为元，根据题意，得 ， 解得：， ∵随的增大而增大， ∴当时，的最大值（元） 答：购进旅行包个，则购进太阳帽个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润为元． 第二部分【直通中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 【例2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 【题型10】拓展延伸 【例1】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$