精品解析： 湖南省长沙市北雅中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷

2025年春季九年级入学练习试卷 数学科目 命题人：万瀚文 审题人：张丽宏 考生注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的知识，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可获得答案． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：B． 2. 下列几何体中，俯视图的形状为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】俯视图是指立体图中从上往下看后得到的平面图形，据此即可求解． 【详解】解：A、俯视图为圆，符合题意； B、俯视图为正方形，不符合题意； C、俯视图为三角形，不符合题意； D、俯视图为长方形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从上边看到的图形是俯视图． 3. 近年来，我国持续加大对铁路行业的投资力度，《中长期铁路网规划》提出，到2025年，铁路网规模达到千米左右，其中高速铁路万公里左右，数据“千米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义即可得到答案． 【详解】解：， 故选A． 4. 某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 最高分 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数从小到大排列取中间值的特点，小颖只需要知道中位数即可． 【详解】A：中位数：由小到大排列取中间值，符合题意； B：众数：一组数据中出现最多的数据，不符合题意； C：平均数：数据的平均值，不符合题意； D：最高分：数据中的最大值，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题主要考查了数据的平均数，中位数，众数的性质，熟记数据的特点是解题的关键． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则以及完全平方公式对各项进行计算即可解答． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意； B. 与不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算法则以及完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，，将一块直角三角板的角的顶点放在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角板性质可知，再根据平行线的性质可得出的度数． 【详解】解：如图： ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，明确两直线平行同位角相等是解答本题的关键． 7. 正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是(　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 【详解】正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 8. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的性质，根据一次函数和反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴对于函数，当时，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B、∵， ∴对于函数，当时，随增大而减小，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴对于函数，当时，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； D、∵， ∴对于函数，当时，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可． 【详解】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个， 由题意得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 分式的值为0．则 x 的值为_________． 【答案】－5 【解析】 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0，据此可以解答本题． 【详解】解：由题意可得且x-5≠0， 解得x＝±5且x≠5， ∴x＝－5， 故答案是：－5． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 13. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径==3， 所以这个圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14. 如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为______． 【答案】9 【解析】 【分析】设经过点的反比例函数表达式为，根据反比例函数的比例系数的意义得到，再根据位似图形的相似比得到面积之比，从而求出四边形的面积，可得k值． 【详解】解：设经过点的反比例函数表达式为， ∵点A在反比例函数的图象上，，， ∴， ∵四边形和四边形的相似比为， ∴面积之比为， ∴四边形的面积为， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，位似图形的性质，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值． 16. 在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是： 第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字； 第二步：把喜欢的数字乘以2再加上6，得到一个新的数； 第三步：把新得到的数除以2，写在纸条上交给小民． 小民打开纸条看到数字6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】设小刚心里想的数字是x，根据题意列出等式，整理即可求出所求． 【详解】设小刚心里想的数字是x， 第二步结果： 第三步结果： ∴，解得 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，按题目要求进行运算得出方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将代入求值即可． 【详解】解：， 将代入得， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键． 19. 如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面的坡度，斜面的坡度，根据图中数据，求： （1）斜坡的长（结果保留小数点后一位）； （2）梯形的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 【答案】（1）斜坡的长约为； （2）梯形的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用： （1）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出答案； （2）直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出，进而得出答案． 【小问1详解】 解：斜面的坡度，， ， ， ， ， 答：斜坡的长约为； 【小问2详解】 解：斜面的坡度，， ， 解得：， ， 梯形的周长为：， 答：梯形的周长为． 20. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】（1）20人 （2）36 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数； （2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果； （3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率． 【小问1详解】 由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：（人） 故答案为：20人 【小问2详解】 由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36° 故答案为：36 【小问3详解】 C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为：（人） D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为：（人） 补充完整的条形统计图如下： 【小问4详解】 记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下： 男1 女1 女2 男 男男1 男女1 男女2 女 女男1 女女1 女女2 则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为： 【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息． 21. 如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积． 【答案】（1）见详解；（2）120 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质以及面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD． ∵AE=CF， ∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF． ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AC⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． （2）解：菱形EBFD的面积=． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，菱形的面积，正确掌所握菱形的判定和性质是解题的关键． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； （2）个； （3）能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案：采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 【解析】 【分析】（）设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案； 本题考查了二元一次方程组和不等式的综合应用，解题的关键是根据题意列方程组和不等式并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． 【小问1详解】 设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意，得 ， 解得，； 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； 【小问2详解】 设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， ∴的最大值为； 答：最多可购进乙型头盔个； 【小问3详解】 能，根据题意，得：； 解得：； ∴； ∵为整数， ∴可取或，对应的的值分别为或， 因此能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案： 采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 23. 如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10． 【解析】 【分析】（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证． 【详解】（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°． ∵OA=OB，BA⊥PO于D， ∴AD=BD，∠POA=∠POB． 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PBO． ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴直线PA为⊙O的切线． （2）由（1）可知，， ， ， =90， ， ， ，即， 是直径， 是半径 ， ， ， 整理得； （3）是中点，是中点， 是的中位线， ， ， ， 是直角三角形， 在中，， ， ， ， ，则， 、是半径， ， 在中，，， 由勾股定理得： ，即， 解得：或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 24. 已知：关于的函数． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）0或2或 （2）①6，②存在， 【解析】 【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值． （2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积． ②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：函数的图象与坐标轴有两个公共点， ， ， ， 当函数为一次函数时，， ． 当函数为二次函数时， ， 若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时， ， ． 当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点， ， ， ． 综上所述，或0． 故答案为：0或2或． 【小问2详解】 解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点． 依题意得：，解得： 抛物线的解析式为：． 点抛物线顶点时，，， ，， 由，得直线的解析式为， 在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标， ， ，， ， ． 故答案为：6． ②存在最大值，理由如下： 如图，设直线交轴于． 由①得：，，，，， ， ，， ， ， 即， ，， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题． 25. 了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 【答案】（1）；（2）四边形ABCD对余四边形，证明见解析；（3）u＝（0＜t＜4）． 【解析】 【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值． （2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD对余四边形． （3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题． 【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F． ∵AC＝AB， ∴BE＝CE＝3， 在Rt△AEB中，AE＝， ∵CF⊥AD， ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC， ∴， ∴， ∴CF＝， ∴sin∠CAD＝． （2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形． 理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM． ∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∵∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM， ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC＝BM， ∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2， ∴CM2+CB2＝BM2， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴∠DAB+∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形． （3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠ACE＝∠ADE， ∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE， ∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴， ∴ ∴u＝， 设D（x，t）， 由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2， ∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2， 整理得（x+1）2＝4t﹣t2， 在Rt△ADH中，AD＝， ∴u＝＝（0＜t＜4）， 即u＝（0＜t＜4）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季九年级入学练习试卷 数学科目 命题人：万瀚文 审题人：张丽宏 考生注意：本练习共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列几何体中，俯视图的形状为圆的是（ ） A B. C. D. 3. 近年来，我国持续加大对铁路行业的投资力度，《中长期铁路网规划》提出，到2025年，铁路网规模达到千米左右，其中高速铁路万公里左右，数据“千米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 某校有21名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这21名同学成绩的（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 最高分 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，将一块直角三角板的角的顶点放在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是(　　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 4 8. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 9. 某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件个，依题意列方程为（ ） A B. C. D. 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__． 12. 分式的值为0．则 x 的值为_________． 13. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 14. 如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为______． 16. 在“双减”政策下，我校开展了丰富多彩的兴趣小组和社团活动．活动中小民邀请小刚玩“你想我猜”的游戏，游戏规则是： 第一步：请小刚在心中想一个喜欢的数字，并记住这个数字； 第二步：把喜欢的数字乘以2再加上6，得到一个新的数； 第三步：把新得到的数除以2，写在纸条上交给小民． 小民打开纸条看到数字6，马上就猜出了小刚喜欢的数，这个数是________． 三、解答题（本大题共9道小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面的坡度，斜面的坡度，根据图中数据，求： （1）斜坡的长（结果保留小数点后一位）； （2）梯形的周长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 20. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为________； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是________°； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 21. 如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积． 22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 如图，是外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于，是的切线，为切点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 已知：关于的函数． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 25. 【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$