15.3 一元一次不等式组（七大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版七年级下册

15.3 一元一次不等式组 题型一 一元一次不等式组的定义 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 题型二 由一元一次不等式组的解集求参数 1．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·上海·期末）若不等式组 有解，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．（20-21六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 题型三 解不等式组 1．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 2．（2023·上海·模拟预测）解不等式组：并写出其自然数解 3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 4．（2024·上海·模拟预测）求不等式组的非负整数解 题型四 不等式组的实际应用—方案选择问题 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村清理养鱼网箱的人均支出费用是2000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用是3000元．为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有几种分配清理人员方案？请你写出你的分配方案．（本题要求列一元一次不等式组解决问题） 3．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 4．（2023·上海黄浦·二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下： 优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）； 优惠活动二：所有商品打八折． （两种优惠活动不能同享） (1)如果小丽的妈妈看中一件价格元的衣服和一双元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明； (2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？ 题型五 不等式组的实际应用—费用问题 1．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 2．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 题型六 不等式组的实际应用—销售利润问题 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 2．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）六一儿童节当天，七年级（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞的成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求爆米花和蛋挞的售价． (2)临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的份数a满足份，则上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋的售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作的三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 题型七 不等式组的实际应用—其他问题 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 2．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）新田县某家具城要从广东运回一批家具，这批家具共计有138张床，120个衣柜．家具城想联系某物流公司租用10辆货车一次性运回，该物流公司有、两种型号的货车，其中型货车一次能装运15张床、10个衣柜，型货车一次能装运12张床、18个衣柜．请问有哪几种租车方案？ 3．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？ 4．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 1．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． (2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3 一元一次不等式组 题型一 一元一次不等式组的定义 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型二 由一元一次不等式组的解集求参数 1．（23-24六年级下·上海·期中）如果关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集是，即可列式，进行作答． 【详解】解：∵ ∴由，则，解得， ∵解集是，， ∴， 解得， 故选：A． 2．（20-21七年级下·上海·期末）若不等式组 有解，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组有解，可得，即可求解． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 3．（20-21六年级下·上海长宁·期末）若关于x的不等式组的解集是，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是，且， ∴， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 题型三 解不等式组 1．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并在数轴上画出解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式解集，分别求出两个不等式的解集，再求公共解集即可，最后在数轴上表示出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 2．（2023·上海·模拟预测）解不等式组：并写出其自然数解 【答案】，0，1，2． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的解题以及自然数解，先求出不等式组的解集，再根据自然数的定义找出自然数解即可． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， 则不等式组的自然数解为：0，1，2． 3．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式的整数解． 【答案】，数轴见解析，整数解是，，0，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集和解一元一次不等式组等知识点，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 所以不等式组的整数解是，，0，1，2． 4．（2024·上海·模拟预测）求不等式组的非负整数解 【答案】0，1，2，3； 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可； 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 题型四 不等式组的实际应用—方案选择问题 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）某电器厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台，经测算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表： 型号 A型 B型 成本（元/台） 2200 2600 售价（元/台） 2800 3000 (1)电器厂有哪几种生产方案？ (2)该电器厂按哪种生产方案生产，才能使生产成本最低？ 【答案】(1)见解析 (2)生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低 【分析】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意得出关于x的不等式组，求解x的范围即可确定方案； （2）分别求出各方案的成本，比较即得结果. 【详解】（1）设生产A种型号的冰箱x台，则B种型号的冰箱台，根据题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取38，39，40； 故有以下三种生产方案： 方案一 方案二 方案三 A型/台 38 39 40 B型/台 62 61 60 （2）方案一生产所需要的成本为：元， 方案二生产所需要的成本为：元， 方案三生产所需要的成本为：元， 所以该电器厂按方案三生产，即生产A种型号的冰箱40台，B种型号的冰箱60台，才能使生产成本最低. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准不等关系列出需要的不等式组是解题的关键. 2．（20-21七年级下·上海浦东新·期末）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村清理养鱼网箱的人均支出费用是2000元，清理捕鱼网箱的人均支出费用是3000元．为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有几种分配清理人员方案？请你写出你的分配方案．（本题要求列一元一次不等式组解决问题） 【答案】有两种方案，分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱，或分配19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 【分析】设分配x人清理养鱼网箱，则分配人清理捕鱼网箱，根据题中的已知条件列出不等式组，解不等式组，写成分配方案即可． 【详解】解：设分配x人清理养鱼网箱，则分配人清理捕鱼网箱， 根据题意可得 ， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为，又∵x为整数，∴或19， 故有两种方案，分配18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱，或分配19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的实际应用，准确理解题意，找出题中的不等关系，列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数． 【详解】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 共有两种方案， 方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆， 方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆， 方案1的费用为：元； 方案2的费用为：元； ∵， 则选择方案1最省钱， 即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆． 4．（2023·上海黄浦·二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下： 优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）； 优惠活动二：所有商品打八折． （两种优惠活动不能同享） (1)如果小丽的妈妈看中一件价格元的衣服和一双元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明； (2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？ 【答案】(1)选择伏惠活动一更划算，见解析 (2)当裤子价格低于元时，推荐选择优惠活动二，见解析 【分析】（1）分别计算出两种优惠活动的总价格，再比较那个价格更低即可得解答； （2）按照优惠活动列出不等式解答． 【详解】（1）解：选择优惠活动一更划算，理由如下： 活动一价格：（元）， 活动二价格：（元）， ∵， ∴选择优惠活动一更划算． （2）解：当裤子价低于元时，推荐选择优惠活动二， 设裤子的价格为元， 则活动一的价格为元； 活动二的价格为元， 由题意，得， 解，得． ∴当裤子价格低于元时，推荐选择优惠活动二． 【点睛】本题考查了方案选择问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键． 题型五 不等式组的实际应用—费用问题 1．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 2．（24-25七年级上·上海·期中）某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【答案】（1）6 （2）19 （3）该车最多停放了195 （4）①当时，；①当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等关系式． （1）根据夜间时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （2）根据白天时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （3）设该车停放了分钟，根据一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，列出不等式计算即可求解； （4）根据白天时段停车收费标准和的取值不同，可以写出相应的的范围． 【详解】解：（1）（元） 故答案为：6； （2）（元） 故答案为：19； （1）设该车停放了分钟 由题意得：， 解得： 的最大值为：195 答：该车最多停放了195分钟； （4）①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 题型六 不等式组的实际应用—销售利润问题 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）某工厂只生产甲、乙两种型号的机器，已知生产一台甲机器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示： 机器型号 A种材料（千克） B 种材料（千克） 售后利润 （万元） 甲 55 20 5 乙 40 36 6 (1)若生产甲、乙两种机器9台，共获利润50万元，问甲：乙两种机器各生产了多少台？ (2)若库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克， 计划生产甲、乙两种机器共200台，要使工厂所获利润最大，请你帮忙规划一下，如何安排生产？最大利润是多少？ 【答案】(1)生产甲机器4台，生产乙机器5台 (2)生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设生产甲机器x台，则生产乙机器台，根据“总利润为50万元”列方程求解即可； （2）设生产甲机器m台，则生产乙机器台，根据“库存了A 种材料9210千克， B 种材料 5970 千克”列不等式组，求出整数m的值，然后求出每一种方案的利润，最后比较即可． 【详解】（1）解：设生产甲机器x台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：生产甲机器4台，生产乙机器5台； （2）解：设生产甲机器m台，则生产乙机器台， 根据题意，得， 解得， ∴整数m有77，，7，79，80， ∴生产方案如下： ①生产甲机器77台，乙机器123台，利润为（万元）； ②生产甲机器78台，乙机器122台，利润为（万元）； ③生产甲机器79台，乙机器121台，利润为（万元）； ④生产甲机器80台，乙机器120台，利润为（万元）； ∵， ∴生产甲机器77台，乙机器123台，利润最大为1123万元． 2．（23-24六年级下·上海·期中）一件商品售价为120元，如果按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．求商品成本价的范围． 【答案】大于等于90元且小于等于120元 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，设商品成本价为x元，根据“按售价的九折出售，获利不超过百分之二十；如果按售价的七折出售，那么出现亏本．”列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：设商品成本价为x元， 则 解得， 答：商品成本价的范围为大于等于90元且小于等于120元． 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）振兴乡村，打造特色农产品，沙坪坝区中梁镇政府组织销售“诗意田园，中梁好物”特色农产品A，B两种礼盒，端午节前预售A礼盒400盒和B礼盒100盒，且预售中B礼盒的售价是A礼盒售价的2倍． (1)若预售总额不少于21000元，则每盒A礼盒的预售价最少是多少元？ (2)沙坪坝区中梁镇政府在端午节三天假期间计划推出A礼盒3200盒，B礼盒800盒．由于预售的火爆，决定将A礼盒的价格在（1）中最低价格的基础上增加，而B礼盒在（1）中的售价上增加了a元，结果A礼盒的销售量比计划少，B礼盒的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，求a的值． 【答案】(1)35元 (2)20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式即可解决； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程即可解决． 【详解】（1）解：设A礼盒每盒的预售价为元，则礼盒每盒的预售价为元． ， ， ∴A礼盒每盒的预售价最少为35元． （2）解：． 解得：． 答：的值为20． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）六一儿童节当天，七年级（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞的成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求爆米花和蛋挞的售价． (2)临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的份数a满足份，则上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋的售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作的三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 【答案】(1)爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元 (2)167份 (3)739 【分析】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设上午售出蛋挞份，由题意易得，然后根据可得，进而问题可求解； （3）设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，由题意易得，且，进而求解即可 【详解】（1）解：设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元．根据题意，得： ， 解得， 所以． 答：爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元． （2）解：设上午售出蛋挞份．根据题意，得： ． 又因为，所以． 又因为是正整数，所以的最小值为167． 答：上午至少售出蛋挞的份数为167份． （3）解：设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，根据题意，得： ，且， 解得，且． 因为均为正整数，所以当时，取得最大值，． 所以的最大值为739． 题型七 不等式组的实际应用—其他问题 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 2．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）新田县某家具城要从广东运回一批家具，这批家具共计有138张床，120个衣柜．家具城想联系某物流公司租用10辆货车一次性运回，该物流公司有、两种型号的货车，其中型货车一次能装运15张床、10个衣柜，型货车一次能装运12张床、18个衣柜．请问有哪几种租车方案？ 【答案】共有两种方案：需要租用A型车6辆，B型车4辆，或需要租用A型车7辆，B型车3辆． 【分析】设需要租用A种型号的车x辆，则租用B种型号的车，根据题意列出不等式组并解出其整数解，即可解决问题． 【详解】设需要租用A种型号的车x辆，则租用B种型号的车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴或7， ∴或， ∴共有两种方案：需要租用A型车6辆，B型车4辆，或需要租用A型车7辆，B型车3辆． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 3．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．问该敬老院的老人至少有多少人？ 【答案】该敬老院的老人至少有30人 【分析】设该敬老院的老人有x人，根据“如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论． 【详解】解：设该敬老院的老人有x人， 依题意，得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取的最小值为30． 答：该敬老院的老人至少有30人． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 4．（20-21六年级下·上海·期中）有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数． 【答案】63或54或45或36或27或18 【分析】设个位上的数字为，则十位上的数字为，根据题意列出不等式组并求解，然后确定满足条件的数字即可． 【详解】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为， ∵为十位上的数字，且该两位数小于等于63， ∴， 根据题意，可列不等式组， 解得， 又∵为正整数， ∴， 当，即个位数字为3时，十位上的数字为，即两位数为63； 当，即个位数字为4时，十位上的数字为，即两位数为54； 当，即个位数字为5时，十位上的数字为，即两位数为45； 当，即个位数字为6时，十位上的数字为，即两位数为36； 当，即个位数字为7时，十位上的数字为，即两位数为27； 当，即个位数字为8时，十位上的数字为，即两位数为18． 综上所述：该两位数为63或54或45或36或27或18． 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解题关键． 1．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． (2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式 与没有公共整数解， ∴不等式 不是的“和谐不等式”， 故答案为：不是 （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， ∴， 解得． 故m的取值范围是； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，新定义“和谐不等式”，读懂“和谐不等式”的定义是解题的关键． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$