第03讲 方程（组）与不等式（组）的解法与应用（4个考点11个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题二 方程（组）、不等式（组）的综合问题 第03讲 方程（组）与不等式（组）的解法与应用 （思维导图+4考点+11种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、方程（组）的解法 题型01、解一元一次方程题 题型02、解二元一次方程组 题型03、解一元二次方程 考点二、方程（组）的实际应用 题型01、一元一次方程的实际应用 题型02、二元一次方程组的实际应用 题型03、一元二次方程的实际应用 题型04、三元一次方程（组）的实际应用 考点三、分式方程的解法与实际应用 题型01、解分式方程 题型02、分式方程的实际应用 考点四、不等式（组）的解法与应用 题型01、解一元一次不等式（组） 题型02、一元一次不等式（组）的实际应用 中考考点 新课标要求 命题预测 方程与方程组 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程解的意义，经历估计方程解的过程;掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形;能根据等式的基本性质解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程;能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;*能解简单的三元一次方程组;能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系;知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题;能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 一元一次方程与二元一次方程(组)在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意 事项是必须掌握的，而在其应用 上也是中考代数部分结合型较强 的一类考点预计 2025 年浙江中考还将继续考查一次方程的解法和应用题为避免丢分，学生应扎实掌握。 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的 应用题为主，既有单独考查，也有和 一次函数、二次函数结合考察，年年 考查，分值为 10 分左右，预计2025 年浙江中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题!(较难)、分 式方程的应用题，为避免丢分，学生 应扎实掌握 不等式与不等式组 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质;能用不等式的基本性质对不等式进行变形;能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一 次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。 中考数学中，一元一次不等式 (组)的解法及应用题时有考察 其中不等式性质、解一元一次不 等式(组)，通常是以选择题或填 空题的形式出现，难度不大,而 不等式(组)相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等)结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元次不等式(组)中含参数问题难度偏大，但是考察几率并不大为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、解方程（组） 题型01、解一元一次方程 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)划线见解析 (2)，过程见解析 【分析】（1）根据解一元一次方程去分母的过程，即可解答； （2）根据解一元一次方程的步骤，计算即可． 【详解】（1）解：划线如图所示： （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解方程的步骤是解题的关键． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2023·全国·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式． 【例题】先去括号，再合并同类项： 解：原式________________ (1)二项式A为_______，二项式B为_______． (2)当x为何值时，A与B的值相等？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意添括号，即可求解； （2）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：依题意，， 解得：． 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】圆圆解方程有错误，正确解答见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等知识，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，逐条验证即可知道解答过程的错误之处，从而按步骤求解即可得到答案，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：圆圆解方程有错误， 正确解答为： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 6．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)第②步开始出现错误 (2)见详解 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）根据等式的基本性质求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：第②步开始出现错误；原②过程应改为，则或， （2）， ， 则， 或， 解得，． 7．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字为3或2 【分析】此题考查了整式加减运算，整式乘法运算和解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）设被污染的数字为x，将化简为，根据化简的结果是单项式，得出或，求出或即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被污染的数字为x，则： ， ∵化简的结果是单项式， ∴或， 解得：或, ∴被污染的数字为3或2． 题型02、解二元一次方程（组） 8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 9．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 10．（2024·浙江嘉兴·三模）现有一列数，，，…，，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，的值为（    ） A．18 B．22 C．2024 D．2032 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的拓展应用，根据题意得，，，依次可求出这一列数的所有的数，代入即可求解，能理解题意得出方程组是就解题的关键． 【详解】解：满足任意相邻三个数的和为同一常数， ， ， ， 解得：， ， ， 同理可求： ， ， ， ； 故选：B． 11．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，比例中项，熟练掌握解二元一次方程组的方法和比例中项的定义是解题的关键．由题给出了关于、满足的二元一次方程组，可以解得，由比例中项的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∵是、的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】 本题考查了解二元一次方程组．观察方程组中未知数的系数的特点直接相减得出的值． 【详解】解：， ，得， 故答案为：2． 13．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同底数幂除法计算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，先利用加减消元法得到，进而得到，再推出，据此根据同底数幂除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 14．（2023·浙江台州·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 15．（2024·浙江湖州·模拟预测）（1）计算：     （2）解方程 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据零次幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为． 【点睛】本题考查了零次幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，分式的加减运算，理解题干信息是解本题的关键． （1）根据题干信息归纳：当两个未知数的系数的和相等，右边的常数也相等时，方程组的解为右边的常数除以系数和，从而可得答案； （2）①根据规律猜想即可；②把猜想的解分别代入方程组中的每个方程进行检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得：的解是： ； （2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是： ； ②把代入①的左边可得： 右边， 把代入②的左边可得： 右边， ∴是方程组的解． 题型03、解一元二次方程 17．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 18．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 【答案】D 【分析】根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜4， 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则判别式大于零，是解题的关键． 19．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 20．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程和解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题的关键. （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用加减法解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解： 原方程可变为：， ∴， 则 ∴或 解得， （2） ①＋②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得， ∴ 21．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 22．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选②，，；选③，， 【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 24．（2024·浙江·模拟预测）若是的根，则（   ） A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵是的根， ∴． 故选：A． 25．（2022·浙江金华·一模）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 26．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数解析式是解题的关键．根据已知条件用表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果． 【详解】解：设经过与两点的直线l的解析式为， 代入得，，解得， 直线l的解析式为， 与二次函数联立则有：， 整理得：， ， 当且仅当时，， 即时，，直线l与二次函数有两个交点． 故选C． 27．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 28．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程的根判别式的值为， 所以， 解得． 故选：B． 29．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 30．（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解． 【详解】解：的两个实数根， ， 解得：， 由题可得：，， ，即， 将，，代入得，即， 解得，， ， ， 故答案为：． 31．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 32．对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 33．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 34．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 35．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； （2）解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 考点二、方程（组）的实际应用 题型01、一元一次方程的应用 36．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 37．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 38．（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可． 【详解】设弹簧秤新读数为x 根据杠杆的平衡条件可得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题是一个跨学科的题目，熟记物理公式动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键． 39．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， 则档速度为米/分，档速度为米/分； （2）小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， 则小丽两次休息时间的总和分； （3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） 可得：， 解得：． 40．（2023·浙江杭州·模拟预测）几个人共同种一批树苗，如果每人种棵，则少棵树苗；如果每人种棵，则剩下棵树苗未种．若设参与种树的人数为人，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设参与种树的人数为人，根据每人种棵，则少棵树苗；每人种棵，则剩下棵树苗未种，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有人参加种树， ． 故选：D． 41．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 根据题意列出方程式即可选出． 【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为 ∴从石头落水时，传到井口用的时间为， ∴从井底到井口的总路程， 将米/秒，石头下落的时间为，代入，得， 即， 故选． 42．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，设点B对应的数为，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设点B对应的数为， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴点B对应的数为3， 故选：C． 43．（2024·浙江杭州·二模）小凡家今年1~4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设2月到3月之间月用电量的增长率为，结合统计图的信息得出月份的是千瓦时电费，月份的是千瓦时电费，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵月份的是千瓦时电费，月份的是千瓦时电费， 则设2月到3月之间月用电量的增长率为， ∴， 解得， 故答案为：． 44．（2024·浙江舟山·一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步， 问题：（1）起点与终点的距离为 米； （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 分钟． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握速度乘以时间等于路程，根据题意，找得等量关系，列出方程，即可； （1）设小红每步跑米，则小明每步跑米，根据题意，则，解出，即可； （2）根据题意，求出小明每分钟跑的步数，根据小明每分钟比小红多跑步，求出小红每分钟跑的步数，根据小红的总步数为步，即可求出跑完步的用时，即可． 【详解】（1）设小红每步跑米， ∴小明每步跑米， ∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步， ∴， 解得：， ∴总路程为：（米）； 故答案为：； （2）∵跑完全程小明的用时为分钟， ∴小明每分钟跑：（步）， ∵小明每分钟比小红多跑步， ∴小红每分钟跑：（步）， ∴小红跑完全程的时间为：（分钟）， ∴小明要在终点处等小红的时间为：． 故答案为：． 45．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日． 【答案】780 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设主人的马的速度为x里/日，根据主人追上客人时两人行驶路程相等列方程，即可求解． 【详解】解：设主人的马的速度为x里/日， 根据题意，得， 解得， 即主人骑马的速度为780里/日． 故答案为：780． 46．（2024·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房 间，客 人． 【答案】 8 63 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设有x间客房，则列方程得，求出x即可得到答案，正确理解题意列得方程是解题的关键． 【详解】解：设有x间客房，则， 解得， ∴ ∴该店有客房8间，客63人， 故答案为：8，63． 47．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）先分别求出阴影部分的周长与长方形的周长，列出方程可求解． 【详解】（1）解：；； （2）长方形的周长， 阴影部分的周长． 阴影部分的周长与长方形的周长比为， ， 解得， 答：的值为3． 48．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 【答案】(1)分 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）先根据列出得分算式，然后再计算即可； （2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”列关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：小曹第一局的得分为（分）． 答：小曹第一局的得分14分． （2）解：由题意可得：，解得． 答：k的值为3． 49．（2023·浙江温州·模拟预测）为了增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自今年1月1日起对山区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价．调整后的收费价格如下表所示． 每月用气量 单价（元/米） 不超出30米3部分 超出30米3不超出45米3部分 3.6 超出45米3部分 甲用户3月的用气量为35米3，则应缴费108元． (1)求的值． (2)若乙用户4月份按照阶梯式气价应缴费162元，则乙用户4月份的用气量为多少米3． (3)若丙用户4月、5月两个月共用气72米3，且4月的用气量不低于5月的用气量，但又不高于5月用气量的2倍，则丙用户4月、5月两个月共需缴费最多为多少元． 【答案】(1)的值为3 (2)乙用户4月份的用气量为49米3 (3)丙用户4月、5月两个月共需缴费最多为229.5元 【分析】（1）根据甲用户3月的用气量为35米且应缴费108元，可列出关于的一元一次方程，解之即可求出的值； （2）设乙用户4月份的用气量为米，根据乙用户4月份按照阶梯式气价应缴费162元，可列出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）设丙用户4月份的用气量为米，则5月份的用气量为米，根据“4月的用气量不低于5月的用气量，但又不高于5月用气量的2倍”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设丙用户4月、5月两个月共需缴费元，分，及三种情况，找出关于的函数关系式（或的值），利用一次函数的性质求出各段的最大值，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 的值为3； （2）解：设乙用户4月份的用气量为米， 根据题意得：， 解得：． 答：乙用户4月份的用气量为49米； （3）解：设丙用户4月份的用气量为米，则5月份的用气量为米， 根据题意得：， 解得：． 设丙用户4月、5月两个月共需缴费元． 当时，； 当时，， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值； 当时，， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． ， 丙用户4月、5月两个月共需缴费最多为229.5元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分，及三种情况，找出关于的函数关系式（或的值）． 题型02、二元一次方程组的应用 50．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 51．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 52．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 【答案】B 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． 53．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 54．（2023·浙江衢州·一模）《九章算术》一共收录了246个数学例题，其中“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个．求“方程”的例题数是多少个？设“方程”的例题数是个，“勾股”的例题数为个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程组，解题的关键在于找准等量关系．根据“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个，列出方程即可解题． 【详解】解：“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题， ， 又且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个， ， 可列方程为， 故选：D． 55．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，根据题意列出方程组即可，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱， 根据题意得：， 故选：． 23．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价单价数量，结合购进两种树苗棵数间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵购进的乙种树木比甲种树木少8棵， ∴； ∵购进这批树木共用去资金8000元， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 56．（2024·浙江舟山·三模）被历代数学家尊为“算经之首 ”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今 有五雀、六燕，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，”译文为：“今有5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．”设雀重 x 斤，燕重y 斤，则可列方 程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的古代问题，设雀重 x 斤，燕重y 斤，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设雀重 x 斤，燕重y 斤， 根据题意得：， 故选：A． 57．（2024·浙江嘉兴·一模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（   ）    A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系， 设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ． 则8个碗放在一起时，它的高度为． 故选B． 58．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设用x 张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意得：， 故选：B． 27．（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．根据“雉的数量兔的数量，雉的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 59．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用，设秤盘的质量为，秤砣的质量为，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得出秤盘的质量为，秤砣的质量为，设这把杆秤的秤星对应的刻度是克，再列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组以及方程是解此题的关键． 【详解】解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为， 由题意得：， 解得：， 秤盘的质量为，秤砣的质量为， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克， 由题意得：， 解得：， 这把杆秤的秤星对应的刻度是克， 故答案为：，． 60．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 61．（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）    （1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为 ； （2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为 ． 【答案】 3 50 【分析】本题考查了有理数的加减法、除法，以及二元一次方程组，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得滑轮组向右滑动的距离为，时间为秒，吊绳匀速收起，障碍物高为，故装置的收绳速度为：； （2）设从点A到最高点的时间为，则，设为两个矩形的顶点，由题意得，只有贴着障碍物右侧P点滑下来，滑到平台的最右侧Q点，物体恰好能以最小速度运至置物台，从点P到点Q分析，水平方向是匀速的，即，从点P到点Q，即水平方向从点C到点E，距离为，则时间为，而竖直方向的时间也为，点P与点Q的竖直高度差为，故从点P到点Q的竖直速度为，设从点F到点Q的时间为，则竖直下落的高度，由，而水平方向从点A到点E的距离为，，故，可得，解得：，故． 【详解】解：（1）根据题意得滑轮组向右滑动的距离为， 时间为秒， 吊绳匀速收起，障碍物高为， ∴装置的收绳速度为：， 故答案为：3； （2）由（1），设从点A到最高点的时间为，则，如图：    设为两个矩形的顶点，由题意得，只有贴着障碍物右侧P点滑下来，滑到平台的最右侧Q点，物体恰好能以最小速度运至置物台， ∵从点P到点Q分析，水平方向是匀速的，即，从点P到点Q，即水平方向从点C到点E，距离为，则时间为，而竖直方向的时间也为， ∵点P与点Q的竖直高度差为， ∴从点P到点Q的竖直速度为， 设从点F到点Q的时间为， ∴竖直下落的高度， ∵， ∵水平方向从点A到点E的距离为， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：50． 62．（2023·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②106元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的实际运用，求解的方法等知识是解题的关键． （1）根据题意，用代数式表示数量关系即可求解； （2）①根据题意列二元一次方程求解即可；②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，可得，根据三种鞋的单价均超过元，不到元，通过代入合适的数字计算即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 故答案为：，，，． （2）解：①依题意有：，解得； ②设型鞋单价为元，型鞋单价为元，则型鞋单价为元，依题意有：，即，则， ∵三种鞋的单价均超过元，不到元， ∴，． ∴型鞋的单价可能为元． 63．（2023·浙江台州·三模）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查杠杆平衡的条件，整式的混合运算，函数思想的运用，理解题目中的数量关系，掌握函数思想解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，杠杆平衡时空桶和悬挂物理的情况进行分析即可求解； （2）根据杠杆平衡的条件，得到空桶内注满液体时的数量关系，联立方程组求解即可； （3）根据空桶时杠杆平衡的条件，倒满液体时平衡的条件列方程组求解即可； （4）根据杠杆平衡条件，可得，结合函数的增减性知识即可求解． 【详解】（1）解：将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体在点时，杠杆水平平衡，此时桶中没有液体， ∴密度为， 故答案为：； （2）解：在点悬挂空桶时，杠杆平衡，根据题意，，即， 在点的空桶内注满液体，空桶容积为，则液体的重力， ∵此时移动物体至，杠杆在水平位置平衡， ∴根据杠杆平衡条件得，，即， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：当测量密度为的液体时，由的刻度线与零刻度线之间的距离为，即此时的物体的力臂为：()， ∴，即， 当测量密度为的液体时，此时的物体的力臂为：（）， ∴，即， ∴， 解得，； （4）解：设物体对杆秤的力为动力，则液体和桶对杆秤的力为阻力， ∴，即， 在动力与阻力臂不变的情况下，增大液体重力，即增加空桶的容积，则变大，即该密度秤的精度会增加， ∴应该选择规格的空桶， 故答案为：． 题型03、一元二次方程的实际应用 64．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 65．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 66．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 67．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 68．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．将值代入等式中检验即可判断． 【详解】解：A．当时， ，不符合题意； B．当时， ，当时，，符合题意； C．当时， ，不符合题意； D．当时， ，不符合题意； 故选：B． 69．（2023·浙江杭州·模拟预测）某地年、年、年的森林面积（单位：）分别是，，，若年与年森林面积增长率相同，则，，满足的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、增长率问题等知识点，根据各数量之间的关系、列出代数式是解题的关键． 设年与年森林面积增长率为，利用该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率及该地年的森林面积该地年的森林面积森林面积增长率，可用含，的代数式表示出，，进而可得出． 【详解】解：设年与年森林面积增长率为，则，， ， ，，满足的数量关系为． 故答案为：． 70．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，准确列出等式列出关于m的方程，是解题的关键．根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式变形为，，然后得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图， 由第一个图可得，则， 由第二个图可得，则， ∴， 解得：，负值舍去， 故答案为：10． 71．（2024·浙江绍兴·二模）已知点为线段上一点．如果的比值为关于的方程的解，那么点为的阶黄金分割点． 已知阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点作的垂线，在垂线上取，连接； 步骤二：以点为圆心，为半径作弧交于点； 步骤三：以点为圆心，为半径作弧交于点； 结论：点为线段的阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点为线段的 阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当 （结果用的代数式表示）时，点为线段的阶黄金分割点． 【答案】 1/一 / 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，根式的化简，解题的关键是熟练掌握勾股定理，公式法解一元二次方程． （1）根据勾股定理得出，求出，根据的比值为关于的方程的解，得出，求出，即可得出答案； （2）根据勾股定理得出，求出，解方程得出，根据的比值为关于的方程的解，且的比值大于0，得出，求出k的值即可． 【详解】解：（1）当时，， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∵的比值为关于的方程的解， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴当时，点为线段的1阶黄金分割点； 故答案为：1； （2）∵， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 解方程得：， ∵， ∴，， ∵的比值为关于的方程的解，且的比值大于0， ∴， ∴， 令， 则 ， ∴， ∴． 故答案为：． 724．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 【答案】(1)5 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程． （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，则，根据梯形的面积公式可列方程：，解方程可得解； （2）作，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． （3）需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2， 则， 根据梯形的面积公式得， 解之得， ∴从出发开始到5秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，      作，垂足为E， 则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得． （3）解：过点P作于M，于N    则 分三种情况； ①当时，则． ∵． ∴； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得， ， ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得， （舍去）， 综上所述，经过或或或秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 73．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 74．（2024八年级下·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【答案】（1）；（2）符合要求；（3）40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围； （2）根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，再根据总利润销售利润承包费列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 题型04、三元一次方程组的解法和应用 75．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 76．（2024·浙江宁波·模拟预测）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于（y可以消掉）的三元一次方程组，解之可用含x的代数式表示出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设左下角的空格中的数字为， 根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：． 77．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ． 【答案】116 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，求平均数，正确解三元一次方程组是解题关键．根据题意列三元一次方程求出x、y、z的值，再求平均数即可． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， x、y、z的平均数是， 故答案为：116． 78．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形；先设出直角三角形的边长，然后根据“弦图”中大正方形面积为，，可以求得三角形的三边长，然后即可得到小正方形的边长，从而可以求得小正方形的面积． 【详解】解：设直角三角形长的直角边长为，短的直角边长为，斜边为， “弦图”中大正方形面积为，， ， 解得， 小正方形的边长为， 小正方形的面积为， 故答案为：． 79．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 80．（2023·浙江嘉兴·一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要 元． 【答案】26 【分析】设1瓶牛奶x元，1个面包y元，1盒饼干z元，根据题意列出三元一次方程组，然后利用即可求解． 【详解】设1瓶牛奶x元，1个面包y元，1盒饼干z元， ∴， ∴得，． ∴小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要26元． 故答案为：26． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数列出方程． 81．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 【答案】7 【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解． 【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9， 则有方程，x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数； 当x=0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即， 55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片； 当z=0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即， 55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当y=0时的情况， 综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张， 则有，即， 即B型纸张最多用了7张， 故答案为：7． 【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大． 82．（2020·浙江杭州·模拟预测）一辆货车、一辆客车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的正中间，过了，小轿车追上了客车；又过了；小轿车追上了货车；再过了 客车追上了货车． 【答案】 【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，客车与货车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了分钟，小轿车追上了客车可以列出方程，由又过了分钟，小轿车追上了货车列出方程，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程，联立所有方程求解即可求出t的值． 【详解】解：设在某一时刻，客车与货车、小轿车的距离均为S千米，再过t分钟，客车追上了货车，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分）， 由题意可得：   由②×2①×3 得：④， ④代入③中得：， ∴（分）． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确变为题目的数量关系，然后列出方程组解决问题． 83．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元． (1)求x和y的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元? 【答案】(1) x的值为2800，y的值为3；(2) 190元． 【详解】分析：（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的值； （2）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案． 解：(1)由题意，得， 解得， 即x的值为2800，y的值为3；     (2)设一件甲服装为a元，一件乙服装为b元，一件丙服装为c元， 则， 将两方程相加得，4a+4b+4c=760， 则a+b+c=190， 即购买一件甲、一件乙、一件丙服装共需190元． 点睛：本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 考点三、分式方程的解法与应用 题型01、解分式方程 1．（2024·浙江·中考真题）若，则 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 化系数为1，得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 4．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 【答案】 4或 【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是通过将等式两边构造成相似的形式， （1）通过将等式两边构造成相似的形式，可得，故可得 （2）由题意可得，故可得 【详解】（1）， ， 可得或， 故答案为：或； （2）， ， 故可得 故答案为： 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 6．（2022·浙江衢州·二模）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 7．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解 【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母， ∴在去分母时应为：，故从①步开始出错； 正确的解析过程如下， 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴是原分式方程的解． 8．（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，从第①步开始错，，解答过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 题型02、分式方程的实际应用 9．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量， 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 10．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 11．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 【答案】3 【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验． 【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得 去分母，得 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：3 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根． 12．（2020·浙江湖州·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人；②选择方案一能更节省开支． 【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可； ②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得： ， 解得． ∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得： =， 解得m=5． 经检验，m=5是原方程的解，且符合题意， ∴乙车间需临时招聘5名工人； ②企业完成生产任务所需的时间为： =18（天）． ∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）． 选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）． ∵17700＜18000， ∴选择方案一能更节省开支． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 13．（2024·浙江金华·三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．如果设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳，根据：“相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下”，据此可列出方程． 【详解】解：设小季每分钟跳下，那么小范每分钟跳， 根据题意得：， 故选：B． 14．（2024·浙江台州·二模）为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天完成x 米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．设原计划每天完成x米的清淤任务，则实际施工时每天完成米的清淤任务，根据实际比原计划提前10天完成任务，列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天完成x米的清淤任务，则实际施工时每天完成米的清淤任务， 根据题意，得， 故选：D． 15．（2024·浙江·一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 16．如图，，分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 先得出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】解：设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油车每千米所需的费用为元， 可列方程为， 故选：D． 17．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：； 故答案为： 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 19．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 【答案】(1)款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元 (2)最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； （1）设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设租款野餐垫张，则租款野餐垫张，根据是正整数，得出的范围，设提供人就坐，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解， ∴元， 答：款野餐垫的租赁单价为元，则款野餐垫单价是元； （2）解：设租款野餐垫张，则租款野餐垫张， ∵是正整数， ∴ 设提供人就坐，根据题意得， ∴当取得最大值时，， ∴ 此时的租赁方案为：租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 答：最多提供人就坐；租款野餐垫张，则租款野餐垫张． 20．（2024·浙江·一模）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价． 【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：第一家网店每支签字笔的价格是10元． 考点四、一元一次不等式（组）的解法与实际应用 题型01、解一元一次不等式（组） 21．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 22．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： ． 故选：A． 23．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B．无解 C． D． 【答案】D 【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 不等数组的解集为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 24．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解不等式组： 解：由①得，； 由②得， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键． 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据零指数幂的性质、二次根式的化简、绝对值的性质依次解答； （2）先移项，再合并同类项，最后化系数为1即可解答． 【详解】解：（1）原式． （2）移项得， 即， ∴． ∴原不等式的解是． 【点睛】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的化简和解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 26．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 【答案】 【分析】根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 27．（2022·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 【答案】 【分析】分别解出不等式①和②，再求两不等式解的公共部分，即可． 【详解】解不等式①： 解不等式②： ∴原不等式组的解是 【点睛】本题考查解不等式组，注意最终结果要取不等式①和②的公共部分． 28．（2022·浙江宁波·中考真题）计算 (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案； （2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解是． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键． 29．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及数轴的表示，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出的解集为，由数轴可得不等式组的解集为，故另一个不等式的解集为，，再从选项出发求解即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴可得不等式组的解集为， ∴另一个不等式的解集为，， A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故本选项符合题意； D、，，故本选项不符合题意， 故选：C． 30．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 数轴表示如下： ． 故选：B． 31．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集是， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 32．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是象限点的坐标特征及解一元一次不等式组，熟知第一象限内点的坐标特点是解答此题的关键．根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出的范围． 【详解】解：当点在第一象限时得出不等式组为， 解得：， 所以点不在第一象限时的取值范围是或． 故答案为：或． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步          …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步 【答案】见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解． 【详解】解：第三步， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解是． 34．（2024·浙江·模拟预测）小丁和小迪分别解不等式的过程如下： 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内（    ）处打“√”；若错误，请划出错误之处．若你觉得两人的解法均错，请写出正确的解答过程． 小丁：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得 小迪：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以2，得 【答案】均错误，，过程见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：两人均错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得． 35．（2024·浙江·模拟预测）． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母，得：，   去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 36．（2023·浙江温州·二模）（1）计算： （2）解不等式，并把解在数轴上表示出来 【答案】（1）7（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集： （1）先进行开方，乘方，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）移项，合并，系数化1求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； 数轴表示如图： 37．（2024·浙江宁波·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为：． 38．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组： (1)当时，求该不等式组的解； (2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，解不等式组的解集的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解，再根据不等式的解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解； （2）根据不等式的性质求解，再根据不等式取值的方法可得解集，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，原不等式组为， 解得，， 解得，， ∴原不等式组的解为：； （2）解：， 解得，， 解得，， ∵该不等式组有且只有三个整数解，即，，， ∴， ∴的最大值为． 39．（2024·浙江宁波·一模）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示实数x与，且满足，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下： 小宁： 解： ① ② ∵点A在原点左侧 小波： 解： ③ ④ (1)不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是 ；（填写序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①③④ (2) 【分析】（1）根据解不等式的步骤判断即可； （2）根据解不等式的步骤去分母，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解：， 去分母得， 移项，合并得， 系数化1得， ∵点A在原点左侧， ， ． 题型02、一元一次不等式（组）的实际应用 40．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+×月数＞小明原来存款数+×月数，把相关数值代入即可； 【详解】解：根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键． 41．（2023·浙江金华·中考真题）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：    (1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图． (2)本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间． 【答案】(1)本次调查抽取的学生人数为50人，见解析 (2)6间 【分析】（1）根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙” “做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统计图即可； （2）根据选择“折纸龙”人数的占比乘以1000，可求出学校选择“折纸龙”的总人数，设需要x间教室，根据题意列方程，取最小整数即可得到答案． 【详解】（1）解：由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得， ∴本次调查抽取的学生人数为50人． 其中选“采艾叶”的人数：． 补全条形统计图，如图：    （2）解：选“折纸龙”课程的比例． 选“折纸龙”课程的总人数为（人）， 设需要间教室， 可得， 解得取最小整数6． ∴估计至少需要6间教室． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，用一元一次不等式解决实际问题，结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键． 42．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，由此即可得； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元， 答：新能源车的每千米行驶费用为元． （2）解：①由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得， 答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键． 43．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是理解题意，根据酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，列出不等式组即可． 【详解】解：∵脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于， ∴， 故选：A． 44．（2024·浙江杭州·二模）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨答错了x道题，则答对道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合小滨的竞赛成绩超过30分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设小滨答错了x道题，则答对道题， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为自然数， ∴x的最大值为2， ∴小滨至多答错了2道题． 故答案为：2． 45．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，列式即可． 本题考查了不等式的性质，正确理解题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】根据题意，得． 故答案为：． 46．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 【答案】大于小于等于 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找到不等关系是解题的关键．根据“放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出”列不等式组求解． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为， 则：， 解得：， 答：一个玻璃球体积的取值范围为大于小于等于． 47．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【答案】(1)六条板凳总高度为 (2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设增加一条板凳将增高，根据五条板凳的总高度为列得，求出一条板凳的高度即可求出六条板凳的高度； （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，列不等式求解． 【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得； 六条板凳总高度：. 答：六条板凳总高度为. （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞， ；解得． 答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞． 48．（2024·广东惠州·一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元． (1)求两次各摘龙眼多少吨？ (2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 【答案】(1)第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨 (2)至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，根据两次一共卖了9万元列出方程求解即可； （2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，根据销售额不少于36万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨， 由题意得：， 解得：， ∴（吨）， 答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨； （2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干， 由题意得： 解得：， 答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉． 49．（2023·浙江湖州·模拟预测）今年以来，“新冠”疫情形势严峻，在全国范围内呈多地散点爆发的态势，经济形势不容乐观．湖州某地一水果商店积极开展应对措施，实行线上线下同步销售．已知该商店中某热销水果线上销售和线下销售的销售额相同；线上销售，线下销售，共获得元． (1)求该水果线上销售和线下销售的单价分别为每千克多少元？ (2)若该水果月份的进价为每千克元，线上和线下共销售． ①若要使月份该水果的总销售利润达到元，则该水果线上销售了多少千克？ ②由于疫情形势严峻，运输受阻，月份该水果的进价提高了元，线下销售的单价不变，线上销售单价同步提高元，总销售量下降了%，线下销售量至少应达到多少千克才能使销售毛利润不低于？（） 【答案】(1)该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元 (2)①该水果线上销售了千克；②线下销售量至少应达到千克才能使销售毛利润不低于 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程即可求解． （2）①设该水果线上销售了千克，则线下销售了千克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设线下销售量应达到千克才能使销售毛利润不低于，依题意得不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元，依题意得， 解得： 答：该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元； （2）①设该水果线上销售了千克，则线下销售了千克，根据题意得， 解得： 答：该水果线上销售了千克； ②设线下销售量应达到千克才能使销售毛利润不低于，依题意得， 解得： ∴的最小值为 答：线下销售量至少应达到千克才能使销售毛利润不低于 试卷第2页，共68页 101 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $$专题二 方程（组）、不等式（组）的综合问题 第03讲 方程（组）与不等式（组）的解法与应用 （思维导图+4考点+11种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、方程（组）的解法 题型01、解一元一次方程题 题型02、解二元一次方程组 题型03、解一元二次方程 考点二、方程（组）的实际应用 题型01、一元一次方程的实际应用 题型02、二元一次方程组的实际应用 题型03、一元二次方程的实际应用 题型04、三元一次方程（组）的实际应用 考点三、分式方程的解法与实际应用 题型01、解分式方程 题型02、分式方程的实际应用 考点四、不等式（组）的解法与应用 题型01、解一元一次不等式（组） 题型02、一元一次不等式（组）的实际应用 中考考点 新课标要求 命题预测 方程与方程组 能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程解的意义，经历估计方程解的过程;掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形;能根据等式的基本性质解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程;能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;*能解简单的三元一次方程组;能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系;知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题;能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。 一元一次方程与二元一次方程(组)在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意 事项是必须掌握的，而在其应用 上也是中考代数部分结合型较强 的一类考点预计 2025 年浙江中考还将继续考查一次方程的解法和应用题为避免丢分，学生应扎实掌握。 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的 应用题为主，既有单独考查，也有和 一次函数、二次函数结合考察，年年 考查，分值为 10 分左右，预计2025 年浙江中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题!(较难)、分 式方程的应用题，为避免丢分，学生 应扎实掌握 不等式与不等式组 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质;能用不等式的基本性质对不等式进行变形;能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;能根据具体问题中的数量关系，列出一元一 次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。 中考数学中，一元一次不等式 (组)的解法及应用题时有考察 其中不等式性质、解一元一次不 等式(组)，通常是以选择题或填 空题的形式出现，难度不大,而 不等式(组)相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等)结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元次不等式(组)中含参数问题难度偏大，但是考察几率并不大为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、解方程（组） 题型01、解一元一次方程 1．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 4．（2023·全国·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式． 【例题】先去括号，再合并同类项： 解：原式________________ (1)二项式A为_______，二项式B为_______． (2)当x为何值时，A与B的值相等？ 5．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 6．（2024·浙江·一模）小红解方程的过程如下： 解：       ① ，    ② ，       ③ ．        ④ (1)小红的解答过程是有错误的，请指出开始出现错误的那一步的序号； (2)写出你的解答过程． 7．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 题型02、解二元一次方程（组） 8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 10．（2024·浙江嘉兴·三模）现有一列数，，，…，，满足任意相邻三个数的和为同一常数，当，，时，的值为（    ） A．18 B．22 C．2024 D．2032 11．（2024·浙江宁波·二模）已知两条线段的长度、满足 ，且，若另一线段长度是、的比例中项，则 ． 12．（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ． 本题考查了解二元一次方程组．观察方程组中未知数的系数的特点直接相减得出的值． 13．（2024·山东菏泽·三模）若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 14．（2023·浙江台州·三模）解方程组：． 15．（2024·浙江湖州·模拟预测）（1）计算：     （2）解方程 16．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组                解                (1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． (2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 题型03、解一元二次方程 17．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 18．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 19．（2023·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 20．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 21．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 22．（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 23．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 24．（2024·浙江·模拟预测）若是的根，则（   ） A． B．7 C．6 D． 25．（2022·浙江金华·一模）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中有与两点（），关于过两点的直线与二次函数图像的交点个数判定，哪项为真命题（    ） A．只有，才一定有两交点 B．只有，才一定有两交点 C．只有，才一定有两交点 D．只有，才一定有两交点 27．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·浙江温州·三模）若一元二次方程的根判别式的值为，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 29．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 30．（2024·浙江温州·模拟预测）关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ． 31．（2024·浙江杭州·二模）关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 32．对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ． 33．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 34．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 35．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P (1)依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记的两种变形为和，求的值． 考点二、方程（组）的实际应用 题型01、一元一次方程的应用 36．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 38．（2022·浙江舟山·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）． 39．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 40．（2023·浙江杭州·模拟预测）几个人共同种一批树苗，如果每人种棵，则少棵树苗；如果每人种棵，则剩下棵树苗未种．若设参与种树的人数为人，则下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 41．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 42．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，点A，C分别表示数与5，点B在线段上，且，则点B对应的数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2024·浙江杭州·二模）小凡家今年1~4月份的用电量情况如图所示，则2月到3月之间月用电量的增长率为 ． 44．（2024·浙江舟山·一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题． 信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下： 小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步， 问题：（1）起点与终点的距离为 米； （2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 分钟． 45．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日． 46．（2024·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房 间，客 人． 47．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 48．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 49．（2023·浙江温州·模拟预测）为了增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自今年1月1日起对山区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价．调整后的收费价格如下表所示． 每月用气量 单价（元/米） 不超出30米3部分 超出30米3不超出45米3部分 3.6 超出45米3部分 甲用户3月的用气量为35米3，则应缴费108元． (1)求的值． (2)若乙用户4月份按照阶梯式气价应缴费162元，则乙用户4月份的用气量为多少米3． (3)若丙用户4月、5月两个月共用气72米3，且4月的用气量不低于5月的用气量，但又不高于5月用气量的2倍，则丙用户4月、5月两个月共需缴费最多为多少元． 题型02、二元一次方程组的应用 50．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 51．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 52．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（    ）    A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 53．（2023·浙江嘉兴·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ． 54．（2023·浙江衢州·一模）《九章算术》一共收录了246个数学例题，其中“方程”和“勾股”这两章共收录了42个例题，且“方程”的例题数比“勾股”的例题数的一半多6个．求“方程”的例题数是多少个？设“方程”的例题数是个，“勾股”的例题数为个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 55．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． 23．（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 56．（2024·浙江舟山·三模）被历代数学家尊为“算经之首 ”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今 有五雀、六燕，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，”译文为：“今有5只雀、6只燕，将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．”设雀重 x 斤，燕重y 斤，则可列方 程组为（   ） A． B． C． D． 57．（2024·浙江嘉兴·一模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（   ）    A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 58．（2024·浙江金华·二模）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 27．（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 59．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      60．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 61．（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）    （1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为 ； （2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为 ．    62．（2023·浙江金华·模拟预测）回力运动鞋专卖店出售A，B，C三种版型的运动鞋，该店某天的销售量（单位：双）记录如下： A B C 合计 上午的销售量 ________ y ________ 20 下午的销售量 x 合计 10 ________ ________ (1)根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含x，y的代数式表示）； (2)已知A型鞋上午销售量是B型鞋上午销售量的两倍，且这一天C型鞋的总销售量比A，B型鞋总销售量少6双． ①求x，y的值； ②已知A型鞋的单价是B型鞋单价的2倍，如果A，B，C三种版型的鞋的上午的总销售额为3000元，那么A型鞋的单价可能为______元，（三种鞋的单价均超过100元，不到215元，单价为整数） 合计 上午的销售量 下午的销售量 合计 63．（2023·浙江台州·三模）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（和）、质量为的物体、细线．设计过程如下：    (1)将杠杆在点悬挂起来，空桶悬挂在点，质量为的物体悬挂在点时，杠杆水平平衡．测出点到点的距离为，点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度刻度线应标注为 ； (2)在点的空桶内注满液体，空桶容积为，移动物体至位置，使杠杆在水平位置平衡．点到点的距离为，此时满足，即：，则点的密度值为 （用表示）； (3)已知密度为刻度线与零刻度线之间的距离为，求密度为刻度线与零刻度线之间的距离是多少？ (4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“”或“”）． 题型03、一元二次方程的实际应用 64．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 65．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 66．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．    （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 67．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 68．（2024·浙江台州·模拟预测）某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到的a元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为，则下列说法符合题意的是为（    ） A． B． C． D． 69．（2023·浙江杭州·模拟预测）某地年、年、年的森林面积（单位：）分别是，，，若年与年森林面积增长率相同，则，，满足的数量关系为 ． 70．（2024·浙江·模拟预测）小明利用杠杆原理称药品质量，其知识是“杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂”．如图，当质量为m克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放了重20克、5克的砝码时杠杆平衡，则m的值为 ． 71．（2024·浙江绍兴·二模）已知点为线段上一点．如果的比值为关于的方程的解，那么点为的阶黄金分割点． 已知阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点作的垂线，在垂线上取，连接； 步骤二：以点为圆心，为半径作弧交于点； 步骤三：以点为圆心，为半径作弧交于点； 结论：点为线段的阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点为线段的 阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当 （结果用的代数式表示）时，点为线段的阶黄金分割点． 724．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点， ，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点 P 以的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q以的速度向点 D 移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点 P 和点Q 的距离是？ (3)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是等腰三角形（精确到）？ 73．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 74．（2024八年级下·浙江·专题练习）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 题型04、三元一次方程组的解法和应用 75．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 76．（2024·浙江宁波·模拟预测）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 77．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ． 78．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中大正方形面积为，，则小正方形的面积为 ．    79．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 80．（2023·浙江嘉兴·一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要 元． 81．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 82．（2020·浙江杭州·模拟预测）一辆货车、一辆客车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的正中间，过了，小轿车追上了客车；又过了；小轿车追上了货车；再过了 客车追上了货车． 83．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元； 营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元； 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元． (1)求x和y的值； (2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元? 考点三、分式方程的解法与应用 题型01、解分式方程 1．（2024·浙江·中考真题）若，则 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 4．（2024·浙江·模拟预测）仔细观察下面的等式，试解答下面的题目： （1）解方程：，解得 ； （2）解方程：，解得 ． 5．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 6．（2022·浙江衢州·二模）解分式方程： 7．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 8．（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 题型02、分式方程的实际应用 9．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 10．（2023·浙江杭州·中考真题）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 11．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 12．（2020·浙江湖州·中考真题）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由． 13．（2024·浙江金华·三模）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分钟比小季多跳下，设小季每分钟跳下，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江台州·二模）为进一步深入开展“五水共治”工作，提升水环境质量，某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天完成x 米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江·一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 16．如图，，分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 17．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 19．（2024·浙江温州·三模）如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动，准备租赁，两款野餐垫．已知款野餐垫单价是款的倍，用元租款比租款多张． (1)求，两款野餐垫的租赁单价． (2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完，每张野餐垫都坐满，最多能提供多少人就坐？写出此时的租赁方案． 20．（2024·浙江·一模）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价． 考点四、一元一次不等式（组）的解法与实际应用 题型01、解一元一次不等式（组） 21．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   22．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 23．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B．无解 C． D． 24．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是 ． 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 26．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 27．（2022·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 28．（2022·浙江宁波·中考真题）计算 (1)计算：． (2)解不等式组： 29．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（   ） A． B． C． D． 30．（2024·浙江湖州·模拟预测）将不等式组中不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·浙江·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 32．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点不在第一象限，则的取值范围是 ． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程． 解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步          …………………………第四步 不等式组的解是 ………………第五步 34．（2024·浙江·模拟预测）小丁和小迪分别解不等式的过程如下： 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内（    ）处打“√”；若错误，请划出错误之处．若你觉得两人的解法均错，请写出正确的解答过程． 小丁：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得 小迪：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以2，得 35．（2024·浙江·模拟预测）． 36．（2023·浙江温州·二模）（1）计算： （2）解不等式，并把解在数轴上表示出来 37．（2024·浙江宁波·模拟预测）（1）计算： （2）解不等式组． 38．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于的不等式组： (1)当时，求该不等式组的解； (2)若该不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 39．（2024·浙江宁波·一模）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示实数x与，且满足，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下： 小宁： 解： ① ② ∵点A在原点左侧 小波： 解： ③ ④ (1)不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是 ；（填写序号） (2)请写出正确的解答过程． 题型02、一元一次不等式（组）的实际应用 40．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 41．（2023·浙江金华·中考真题）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：    (1)求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图． (2)本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．    42．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 43．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 44．（2024·浙江杭州·二模）一次生活常识知识竞赛一共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小滨有1道题没答，竞赛成绩超过30分，则小滨至多答错了 题． 45．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为 ． 46．（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 47．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 48．（2024·广东惠州·一模）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元． (1)求两次各摘龙眼多少吨？ (2)由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 49．（2023·浙江湖州·模拟预测）今年以来，“新冠”疫情形势严峻，在全国范围内呈多地散点爆发的态势，经济形势不容乐观．湖州某地一水果商店积极开展应对措施，实行线上线下同步销售．已知该商店中某热销水果线上销售和线下销售的销售额相同；线上销售，线下销售，共获得元． (1)求该水果线上销售和线下销售的单价分别为每千克多少元？ (2)若该水果月份的进价为每千克元，线上和线下共销售． ①若要使月份该水果的总销售利润达到元，则该水果线上销售了多少千克？ ②由于疫情形势严峻，运输受阻，月份该水果的进价提高了元，线下销售的单价不变，线上销售单价同步提高元，总销售量下降了%，线下销售量至少应达到多少千克才能使销售毛利润不低于？（） 试卷第2页，共68页 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$