第02讲 数式的运算（5个考点6个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题一 数与式的综合问题 第02讲 数式的运算 （思维导图+5考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 有理数的运算 题型01、有理数的四则混合运算 题型02、有理数的四则混合运算应用 考点二 整式有关的运算与应用 考点三 实数的混合运算 考点四 分式的运算与应用 考点五 二次根式的运算 中考考点 新课标要求 命题预测 有理数的运算 能求有理数的相反数和绝对值;会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算;能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)，理解有理数的运算律能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题。 实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查，对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点。 实数的运算 会求实数的相反数、绝对值;知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根; 知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根(及对应的负整数);能用有理数估计一个无理数的大致范围；会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。 式的运算 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值;会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示);理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);知道平方差公式、完全平方公 式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理;能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数);知道分式的分母不能为零，能利用分式的 基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。 中考数学中，整式这个考点 般会考学生对整式化简计算 的应用，偶尔考察整式的基本 概念，对整式的复习，重点是 要理解并学握整式的加减法 则、乘除法则及票的运算，难 度一般不大因式分解作为整式乘法的逆运算,在数学中考中占比不大 旦是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分 内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、有理数的运算 题型01、有理数混合运算 1．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键． 2．（2024·浙江台州·二模）计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．先算乘方，再算乘法，然后算减法即可． 【详解】解： ． 3．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 4．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）设，进而解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）由题意可得， 设， ， ， ， ， ， ， 即被污染的数字是． 5．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，其中，设点所对应数的和是．    (1)若以为原点，写出点所对应的数，并求出的值； (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 【答案】(1)点C表示1，点A表示， (2) 【分析】（1）以B为原点，先分别求出A，B，C三点对应的数即可解决问题； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且，分别求出A，B，C三对应的数即可． 【详解】（1）解：∵ B是原点，， ∴点C表示1，点A表示， ∴； （2）解：∵原点O在图中数轴上点C的右边，且， ∴点C表示，点B表示，点A表示， ∴． 【点睛】本题考查数轴，有理数的加法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2023·浙江杭州·模拟预测）老师在课堂上展示了一个数学问题： 请你利用式子“”编题并解决问题． (1)佳佳：若“”表示，“”表示，求算式的计算结果． (2)琪琪：若“”表示3，且算式的计算结果为13，求“”所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出算式，再进一步计算即可； （2）根据题意列出方程，再进一步计算即可． 【详解】（1）由题意知 ； （2）由题意知 ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 7．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 【答案】(1)-5和-3，15 (2)-5和+3， ； (3)(答案不唯一) 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）把分解因数，可得到，，，然后找到合适的卡片能够通过运算得到的因数即可． 【详解】（1）依题意，积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘 则有， 积最大为， 选择卡片和卡片； 故答案为：-5和-3，15； （2）依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，， 商最小为，所选择卡片和卡片， 故答案为：-5和+3， ； （3） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2)21 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 题型02、有理数混合运算的应用 9．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 10．（2024·浙江·一模）在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“+，-，×，÷”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数． 整数 分数 0，，2024， 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先选出两个整数，两个分数，再按要求计算即可． 【详解】解：选择， （答案不唯一）． 11．（2023·浙江绍兴·模拟预测）为节约用水，我市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量 及以下（含）；第二级为月用水量超过，不到 第三级为月用水量 及以上（含．下面是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水息公司水费专用发票 发票联 计费日期：至 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 本期用水量 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量 单价（元） 金额（元） 用水量 单价（元） 金额（元） 阶梯一： 阶梯二： 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整 注：（居民生活用水水价自来水费污水处理费） (1)若该用户估计5月份的用水量为，则该用户在5月份应交水费多少元？ (2)若某用户该月的实付水费为元，求该用户该月的用水量． 【答案】(1)该用户在5月份应交水费元； (2)该用户该月的用水量为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用； （1）根据月用水量即可求出需要交的水费； （2）设用水量为，根据题意按第二级用水，列出方程即可求出的值，． 【详解】（1）解： （元， 答：该用户在5月份应交水费69.3元； （2）， 该用户该月的用水量小于， 设该用户该月的用水量， ， 解得，， 答：该用户该月的用水量为． 12．（2024·河北沧州·模拟预测）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达A村，继续向东骑行到达B村，然后向西骑行到C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在图中数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)若摩托车每耗油0.04升，这趟路共耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2)这趟路共耗油升 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，绝对值的意义，解题的关键在于读懂题意弄清正方向． （1）根据题意在数轴上分别表示出A，B，C三个村庄的位置即可； （2）根据题意计算出邮递员行驶的总路程，再用总路程乘以每千米的耗油量，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意， ()， ()， 故A，B，C三个村庄的位置如图所示： （2）解：根据题意可得：（升）， 答：这趟路共耗油升． 13．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【详解】（1）解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． （2）解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 14．（2024·山东东营·模拟预测）聪聪收集了枚甲邮票和枚乙邮票，它们的总面值是元，__________．这两种邮票的面值分别是多少元？ ①乙邮票面值是甲邮票的倍 ②甲邮票面值比乙邮票面值少元 ③甲邮票的总面值是元 ④乙邮票的总面值是元 (1)如果要用假设的策略解决上面的问题，那么可以选择（    ）为条件．（填序号） (2)请你从符合的条件中任选一个进行解答． 【答案】(1)①② (2)选择①，解答见详解 【分析】本题考查四则运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题的关键； （1）根据题意选取适当的条件即可； （2）根据题意选取条件计算即可求解； 【详解】（1）解：如果要用假设的策略解决上面的问题，那么可以选择①②为条件； 故答案为：①② （2）解：选择①， 甲：（元）， 乙：（元）， 答：甲邮票的面值为元，乙邮票的面值为元； 考点二、整式有关运算与应用 15．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解． 【详解】 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键． 17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 【答案】(1)③； (2)相等，证明见解析； (3) 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； （3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝； （2）解：相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= （3） 与100a的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9， 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 18．（2024·浙江·模拟预测）化简并求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的运算法则对整式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ， ． 19．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】此题考查了整式的加减－化简求值．先去括号，然后合并同类项得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（2023·浙江宁波·三模）化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 【答案】不正确，，正确解答见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算，根据乘法公式展开，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：不正确， 正确解答： ． 21．（2024·浙江杭州·二模）化简： 圆圆的解答如下： ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 【答案】圆圆的解答过程有错误， 【分析】此题考查整式的混合计算，根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误． ． 22．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． 23．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 主题任务 “我的校园我做主”草坪设计 入项探究环节 任务背景 学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务： 校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路， 具体要求： （1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口； （2）两条小路必须设计成平行四边形； 驱动任务一 九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系　　，　　；（请填“相等”或“不相等”） 深入探究 驱动任务二 验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究： 方案 纵向小路面积 横向小路面积 纵横交叉面积 小路总面积 乙方案 甲方案 丙方案 （2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积：　 　； 驱动任务三 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？ 拓展探究 驱动任务四 为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角． （4）若时，用含的代数式拓表示四边形的边长； （5）若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并写出取值范围． 【答案】（1）相等，不相等；（2）平方米；（3）两条小路的宽度是1米；（4）x米；（5） 【分析】（1）应用平移的性质即可求得答案； （2）根据小路总面积横向小路面积纵向小路面积重叠部分的面积，即可得出答案； （3）表达出草地面积，建立方程求解即可； （4）连接，过点作，交于，由，得出四边形是圆内接四边形，进而可得，即，再运用解直角三角形即可求得答案； （5）连接、、、，过点作，交于，可证得四边形是正方形，边长为，即可得出正方形的面积；当与重合时，最小，即的值最小，而的最大值为1，即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1， ，，不确定， ， 故答案为：相等，不相等； （2）（平方米）， 故答案为：平方米； （3）由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：两条小路的宽度是1米； （4）如图2，连接，过点作，交于， ，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，四边形是平行四边形， ，， （米； （5）如图3，连接、、、，过点作，交于， 则四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 由（4）知：， ， 四边形是矩形， 在中，， 同理可得， ， 四边形是正方形， 两条路重叠部分四边形的面积为平方米； 如图4，当与重合时， ，， ， 此时最小，即的值最小， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题是解直角三角形应用问题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是理解题意，熟练运用解直角三角形解决问题． 24．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． (1)由图2，可得等式_____； (2)利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值； (3)如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)的值为45 (3)阴影部分的面积为20 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式． （1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解； （2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可； （3）根据题意阴影部分的面积=两个正方形的面积-两个直角三角形的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图可得： ； （2）解：由（1）可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴． 26．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】（）根据图，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （）根据（）中结果，求出所求式子的值即可； （）根据已知等式，作出相应图形即可； 此题考查了多项式乘以多项式及完全平方公与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ； （3）如图所示： 27．（2024·浙江杭州·二模）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． (1)计算的结果是4的几倍？ (2)设两个连续偶数较小的一个为（为整数），请论证“发现”中的结论正确； (3)任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？______（填“是”或“否”）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)否 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，整式的运算 （1）直接计算判断； （2）根据完全平方公式展开计算，再根据倍数的定义判断； （3）仿照（2）计算，即可求解． 【详解】（1）， 的结果是4的5倍； （2）两个连续偶数较小的一个为，则较大的一个为， 它们的平方和为 ， ， 为整数， 为偶数， 为奇数， 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． （3）否． 设两三连续偶数为，，， 则 ． 所以任意三个连续偶数得平方和是4的倍数． ∵不一定是奇数， ∴任意三个连续偶数的平方和不一定是4的奇数 故答案为：否． 考点三、实数的混合运算 28．（2024·浙江·中考真题）计算： 【答案】7 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 29．（2023·浙江金华·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算． 30．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值、算术平方根的知识化简，然后再运算即可． 【详解】解： ． 31．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、实数的性质及特殊角三角函数等知识，熟悉这些基础知识是关键；依次计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角三角函数值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 32．（2023·浙江·模拟预测）计算： 【答案】666 【分析】 此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根和绝对值，然后计算加减，求出算式的值即可． 【详解】原式 33．（2023·浙江金华·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上知识点． 首先计算有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 考点四、分式的运算及应用 34．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则，即可求解， （2）括号中两项通分，利用除法法则，约分得到最简结果，将代入，即可求解， 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 当时，原式． 35．（2023·浙江温州·中考真题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先计算绝对值、立方根、负整数指数，再计算加减； （2）根据同分母分式的加减法解答即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算和同分母分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 36．（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程． 【答案】小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的，正确解答见解析 【分析】本题主要考查分式的计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据题意找出错误重新计算即可． 【详解】解：小孙的解答过程不正确，他是从第一步开始出错的． 正确解答过程如下： 原式． 37．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 【答案】(1)①1；②， (2)见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算、规律型问题等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． （1）①根据分式的加法法则计算即可；②利用（1）得出的规律猜想出结论即可； （2）根据分式的加法法则计算即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ． 故答案为1． ②猜想： 故答案为：，． （2）证明：． 38．（2024·浙江温州·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的通分与约分． （1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值，先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）先把分式的分母化成，然后进行计算，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 39．（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的，同时将除法变为乘法，并因式分解，再约分，然后将数值代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 40．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质分别计算，再将结果相加即可； （2）先把括号内分式与1通分再计算出来，将除法运算化为乘法运算，再将可以因式分解的分母因式分解，约分即可． 【详解】解：原式 ； 原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式的化简，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式化简的方法． 41．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 42．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 【答案】(1)②；④ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可； （2）先化简题中的代数式，再将的值代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律； 故答案为：②，④； （2）解： ， 当时，原式． 43．（2024·江苏泰州·二模）张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明，小红 (2)过程见解析； 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 小明计算错误， 小红计算错误； （2）解： ． 44．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 45．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，然后从中选择一个你最喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，零指数幂： （1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后根据分式有意义的条件代入合适的值计算求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 当时，原式；当时，原式． 考点五、二次根式的运算 46．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据零指数幂的性质、二次根式的化简、绝对值的性质依次解答； （2）先移项，再合并同类项，最后化系数为1即可解答． 【详解】解：（1）原式． （2）移项得， 即， ∴． ∴原不等式的解是． 【点睛】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的化简和解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 47．（2019·浙江嘉兴·中考真题）小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图．      请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】步骤①、②有误,. 【分析】异分母分式的加减应通分，而不是去分母，据此可找出小明错误的步骤；然后按照异分母分式的运算法则计算即可. 【详解】步骤①、②有误. 原式：. 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减.分式运算的结果要化为最简分式或者整式.也考查了二次根式的除法. 48．（2023·浙江台州·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再从有意义的范围内选取一个整数作为的值代入求值． 【答案】（1）3；（2），当时，值为2 【分析】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a＝2代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式                        （2）原式             ∵有意义 ∴ ∴          当时，原式 49．（2024·浙江宁波·一模）先化简，再求值： ，其中． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝……① ……② ……③ 当时，原式 【答案】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的加法法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答如下： 当时， 原式 50．（2024·浙江宁波·模拟预测）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成8，请你计算：． (2)若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“□”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角形函数值、负整数次幂、二次根式的乘法等知识，解题的关键是熟练运用相关运算法则． （1）根据整式的运算法则求解即可； （2）设“□”为a，根据整式的运算法则进行化简后，由答案为常数即可求出“□”即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵的结果为有理数， ∴， ∴， ∴． 51．（2024·浙江台州·三模）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的运算等知识， （1）根据实数混合运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则进行计算化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ， 当时，原式． 52．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把和化简，再化为，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】解：小滨的解答过程有错误； 正确的解答过程: ． 53．（2024·浙江·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂的运算、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握以上运算． 先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式， ． 54．（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，以及单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，最后再把所给的a的值代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：， ， ， 将代入上式有， ． 55．（2023·浙江·一模）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】原式利用同分母分式的减法法则变形，约分得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了同分母的分式加减以及二次根式的加减，熟练掌握同分母的分式加减以及二次根式的加减的运算法则是解题的关键． 56．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 试卷第4页，共43页 44 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$专题一 数与式的综合问题 第02讲 数式的运算 （思维导图+5考点+6种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 有理数的运算 题型01、有理数的四则混合运算题型02、有理数的四则混合运算应用 考点二 整式有关的运算与应用 考点三 实数的混合运算 考点四 分式的运算与应用 考点五 二次根式的运算 中考考点 新课标要求 命题预测 有理数的运算 能求有理数的相反数和绝对值;会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算;能熟练地对有理数进行加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)，理解有理数的运算律能合理运用运算律简化运算，能运用有理数的运算解决简单问题。 实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查，对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点。 实数的运算 会求实数的相反数、绝对值;知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根; 知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根(及对应的负整数);能用有理数估计一个无理数的大致范围；会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。 式的运算 能运用代数式表示具体问题中简单的数量关系，体验用数学符号表达数量关系的过程，会选择适当的方法求代数式的值;会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示);理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);知道平方差公式、完全平方公 式的几何背景，并能运用公式进行简单计算和推理;能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数);知道分式的分母不能为零，能利用分式的 基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。 中考数学中，整式这个考点 般会考学生对整式化简计算 的应用，偶尔考察整式的基本 概念，对整式的复习，重点是 要理解并学握整式的加减法 则、乘除法则及票的运算，难 度一般不大因式分解作为整式乘法的逆运算,在数学中考中占比不大 旦是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分 内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、有理数的运算 题型01、有理数混合运算 1．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 2．（2024·浙江台州·二模）计算：； 3．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 4．（2024·浙江杭州·一模）计算：． 芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于4，求被污染的数字． 5．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，其中，设点所对应数的和是．    (1)若以为原点，写出点所对应的数，并求出的值； (2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值． 6．（2023·浙江杭州·模拟预测）老师在课堂上展示了一个数学问题： 请你利用式子“”编题并解决问题． (1)佳佳：若“”表示，“”表示，求算式的计算结果． (2)琪琪：若“”表示3，且算式的计算结果为13，求“”所表示的数． 7．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．这两张卡片上的数字分别是________，积为________； (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．这两张卡片上的数字分别是________，商为________； (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子及运算过程．（写出一种即可） 8．计算： (1)； (2)． 题型02、有理数混合运算的应用 9．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 10．（2024·浙江·一模）在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“+，-，×，÷”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数． 整数 分数 0，，2024， 11．（2023·浙江绍兴·模拟预测）为节约用水，我市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量 及以下（含）；第二级为月用水量超过，不到 第三级为月用水量 及以上（含．下面是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水息公司水费专用发票 发票联 计费日期：至 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 本期用水量 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量 单价（元） 金额（元） 用水量 单价（元） 金额（元） 阶梯一： 阶梯二： 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整 注：（居民生活用水水价自来水费污水处理费） (1)若该用户估计5月份的用水量为，则该用户在5月份应交水费多少元？ (2)若某用户该月的实付水费为元，求该用户该月的用水量． 12．（2024·河北沧州·模拟预测）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达A村，继续向东骑行到达B村，然后向西骑行到C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在图中数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)若摩托车每耗油0.04升，这趟路共耗油多少升？ 13．（2024·北京朝阳·一模）甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 (1)如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； (2)两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 14．（2024·山东东营·模拟预测）聪聪收集了枚甲邮票和枚乙邮票，它们的总面值是元，__________．这两种邮票的面值分别是多少元？ ①乙邮票面值是甲邮票的倍 ②甲邮票面值比乙邮票面值少元 ③甲邮票的总面值是元 ④乙邮票的总面值是元 (1)如果要用假设的策略解决上面的问题，那么可以选择（    ）为条件．（填序号） (2)请你从符合的条件中任选一个进行解答． 考点二、整式有关运算与应用 15．（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 16．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 18．（2024·浙江·模拟预测）化简并求值：，其中． 19．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 20．（2023·浙江宁波·三模）化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 21．（2024·浙江杭州·二模）化简： 圆圆的解答如下： ． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的答案． 22．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 23．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 主题任务 “我的校园我做主”草坪设计 入项探究环节 任务背景 学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务： 校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路， 具体要求： （1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口； （2）两条小路必须设计成平行四边形； 驱动任务一 九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系　　，　　；（请填“相等”或“不相等”） 深入探究 驱动任务二 验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究： 方案 纵向小路面积 横向小路面积 纵横交叉面积 小路总面积 乙方案 甲方案 丙方案 （2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积：　 　； 驱动任务三 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？ 拓展探究 驱动任务四 为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角． （4）若时，用含的代数式拓表示四边形的边长； （5）若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并写出取值范围． 24．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积． 例如，由图1，可得等式：． (1)由图2，可得等式_____； (2)利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值； (3)如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积． 26．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图，可得等式：． (1)由图可得等式： ． (2)利用（）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； (3)利用图中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：． 27．（2024·浙江杭州·二模）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． (1)计算的结果是4的几倍？ (2)设两个连续偶数较小的一个为（为整数），请论证“发现”中的结论正确； (3)任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？______（填“是”或“否”）． 考点三、实数的混合运算 28．（2024·浙江·中考真题）计算： 29．（2023·浙江金华·中考真题）计算：． 30．（2024·浙江金华·模拟预测）计算：． 31．（2024·浙江台州·模拟预测）计算：． 32．（2023·浙江·模拟预测）计算： 此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根和绝对值，然后计算加减，求出算式的值即可． 33．（2023·浙江金华·模拟预测）计算：． 考点四、分式的运算及应用 34．（2023·浙江绍兴·中考真题）解答下列各题： (1)计算： (2)当时，求代数式的值． 35．（2023·浙江温州·中考真题）计算： (1)． (2)． 36．（2024·浙江·模拟预测）小孙同学化简分式，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 你认为小孙的解答过程是否正确？如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程． 37．（2024·浙江金华·模拟预测）已知 ， ，显然，观察下列等式： ， ， ， (1)猜想：①_______．                                     ②__________________________＝_______． (2)请证明猜想②成立． 38．（2024·浙江温州·三模）（1）计算：； （2）化简：． 39．（2024·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中 ． 40．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 41．（2024·浙江·模拟预测）观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 42．（2024·浙江杭州·二模）化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 (1)小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． (2)已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 43．（2024·江苏泰州·二模）张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； (2)请你写出正确的解答过程． 44．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中． 45．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，然后从中选择一个你最喜欢的整数作为的值代入求值． 考点五、二次根式的运算 46．（2023·浙江绍兴·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 47．（2019·浙江嘉兴·中考真题）小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如图．      请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 48．（2023·浙江台州·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再从有意义的范围内选取一个整数作为的值代入求值． 49．（2024·浙江宁波·一模）先化简，再求值： ，其中． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝……① ……② ……③ 当时，原式 50．（2024·浙江宁波·模拟预测）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“□”印刷不清楚． (1)她把“□”猜成8，请你计算：． (2)若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“□”是几． 51．（2024·浙江台州·三模）计算： (1)． (2)先化简，再求值：，其中． 52．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算的解答过程： 解：原式 ． 小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 53．（2024·浙江·一模）计算： 54．（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 55．（2023·浙江·一模）先化简，再求值：．其中． 56．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 试卷第4页，共43页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$