第01讲 规律探究题（5个考点5个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题一 数与式的综合问题 第01讲 规律探究题 （思维导图+5考点+5种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 数字规律探究 考点二 数式规律探究 考点三 周期规律探究 考点四 图形规律探究 考点五 函数规律探究 01·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 规律探究 数与式的教学。教师应把握数与式的整体性，一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义务教育数学课程标准(2022年版)义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。 规律探究问题的特点:问题的结论不是直接给出的，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或 给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理、探究其中蕴含 的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”的思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有较高的要求规律探究问题根据问题背景的不同，主要分为数式规律图形规律和点的坐标规律探究。这类题的解题策略是由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题。基本思维过程是“特殊-一般一特殊” 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、数字规律探究 1．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 3．（2023·浙江衢州·一模）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·浙江绍兴·二模）数独顾名思义----每个数字只能出现一次，数独源自18世纪末的瑞士．数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，如图，在★处应填的数字是（　　） A．2 B．6 C．7 D．8 5．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当时，的值是（　　） … … … A． B． C． D． 6．（2023·浙江衢州·模拟预测）根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024，箭头的方向是以下图示中的（    ） A． B． C． D． 7．如图，一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是0，第二行的数是6，第三行的数是21，…，第六行的数是（　　） A．78 B．120 C．145 D． 8．（2023·浙江·模拟预测）设表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：．则的值为（    ） A．28127 B．28128 C．28107 D．28117 9．（2019·浙江绍兴·中考真题）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是 . 10．（2023·浙江·模拟预测）设实数，这个小数从小数点后，以1开头一直写到得到的，那么小数点后第位的数字是 ． 11．（2021·浙江宁波·一模）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 ． 12．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ． 13．（2019·浙江台州·中考真题）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个． 考点二、数式规律探究 14．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 15．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 16．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 17．（2024·浙江·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； ； … 根据上述规律，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的． 18．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 19．（2024·浙江温州·一模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 20．计算 （1）计算：；      （2）找规律： 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1） ； （2） ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算： 21．（2024·浙江嘉兴·二模）规定：n个实数依次排列（，且n为整数），对于任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数之间，得到新的一列数，这样的操作称为“繁衍操作”．例如：依次排列的两个数5，3．第一次“繁衍操作”后得到新的一列数5，2，3；第二次“繁衍操作”后得到新的一列数5，3，2，，3；依次类推． (1)已知依次排列的两个数2，．写出这组数第一次“繁衍操作”后得到的新的一列数． (2)已知依次排列的两个数x，y，且，将这组数进行第一次“繁衍操作”，所得到新的一列数的各数之和为K，再进行第二次“繁衍操作”，所得到新的一列数的各数之和为T，求的值． 22．（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 考点三、周期规律探究 23．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 24．（2023·四川宜宾·模拟预测）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，的值是（  ） A． B． C． D．5 25．等边三角形纸板在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若三角形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点所对应的数为1，则翻转第2023次后，点所对应的数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 26．（2024·贵州·模拟预测）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ） A．7 B．52 C．154 D．310 27．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 28．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）． 考点四、图形规律探究 29．（2011·浙江衢州·中考真题）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由． （2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10= ； （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 30．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 31．（2022·浙江绍兴·一模）现有一个方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走．若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 32．（2022·浙江丽水·一模）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数最多是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 33．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是（    ） A．39 B．44 C．49 D．54 34．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 35．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（    ） A． B． C． D． 36．（2023·浙江衢州·模拟预测）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 考点五、函数图象规律探究 37．（2013·河北·中考真题）如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m = ． 38．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 39．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 40．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 41．（2024·山东青岛·三模）在直角坐标系中，点在函数（k是常数，，）上，点，，，⋯⋯在x轴上，，，，⋯均为等边三角形． 42．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 43．（2024·黑龙江伊春·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，以x轴为对称轴作直线的轴对称图形直线，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴正半轴上，点，，，…在直线上，若，，，…，均为等边三角形，菱形，菱形，菱形……菱形的面积分别是，，，…，，则 ． 44．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 试卷第20页，共42页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 数与式的综合问题 第01讲 规律探究题 （思维导图+5考点+5种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 数字规律探究 考点二 数式规律探究 考点三 周期规律探究 考点四 图形规律探究 考点五 函数规律探究 01·目标导航 中考考点 新课标要求 命题预测 规律探究 数与式的教学。教师应把握数与式的整体性，一方面，通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，另一方面，通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义务教育数学课程标准(2022年版)义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。 规律探究问题的特点:问题的结论不是直接给出的，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或 给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理、探究其中蕴含 的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”的思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有较高的要求规律探究问题根据问题背景的不同，主要分为数式规律图形规律和点的坐标规律探究。这类题的解题策略是由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题。基本思维过程是“特殊-一般一特殊” 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、数字规律探究 1．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 2．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 【答案】(1)③； (2)相等，证明见解析； (3) 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； （3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝； （2）解：相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= （3） 与100a的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9， 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 3．（2023·浙江衢州·一模）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减，然后列式计算即可得解． 【详解】∵， ， ， ， ， …， ∴第个数据是：， 故选：． 【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减是解题的关键． 4．（2022·浙江绍兴·二模）数独顾名思义----每个数字只能出现一次，数独源自18世纪末的瑞士．数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，如图，在★处应填的数字是（　　） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意以填好的九宫格中的数字，可以得到★的值，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 和★一行的数字有1，4，9 和★一列数的有8，5，6 和★在同一个九宫格中的数字有：1，3，9 ∴★对应的数字不是1，3，4，5，6， 8，9 ∴★对应的数字为2，或7 根据同一个九宫格中，每行每列不能重复，2在其他行会重复 因此★对应的数字只能为2 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出★的值． 5．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当时，的值是（　　） … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格中的数据得：，，即可求出的值． 【详解】解：由表格中的数据得：，， ， 当时，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股数，掌握表中数据的变化规律，找到数据的关系是解答本题的关键． 6．（2023·浙江衢州·模拟预测）根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024，箭头的方向是以下图示中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了图形类规律探究，关键是能根据图示进行准确地归纳、应用．根据图示归纳出箭头的方向规律，再运用规律求解． 【详解】解：由题意得，图示中箭头方向按“上”、“右”、“下”、“右”4次一循环的规律出现， ， 从2022到2023再到2024，箭头的方向是：“下”、“右”， 故选：B． 7．（20-21七年级上·浙江台州·期中）如图，一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是0，第二行的数是6，第三行的数是21，…，第六行的数是（　　） A．78 B．120 C．145 D． 【答案】B 【分析】观察根据排列的规律得到第一行为0，第二行为0加6个数即为6，第三行为从6开始加15个数得到21，第四行为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一行加的数多9，由此得到第6行的数． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为， 第三个数字为， 第四个数字为， 第五个数字为， 第六行的数字为， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 8．（2023·浙江·模拟预测）设表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：．则的值为（    ） A．28127 B．28128 C．28107 D．28117 【答案】B 【分析】根据题意可得：从而得到，再求出；，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ； ； ， ， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 9．（2019·浙江绍兴·中考真题）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是 . 【答案】4 【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15-2-5=8， ∴m=15-8-3=4． 故答案为4 【点睛】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 10．（2023·浙江·模拟预测）设实数，这个小数从小数点后，以1开头一直写到得到的，那么小数点后第位的数字是 ． 【答案】 【分析】首先确定一位数，以及二位数的个数，判断排的右边第个数字是第几个三位数的数字，从而确定． 【详解】解：从到都是一位数，共有个； 从到共有个数，都是二位数，则数字是由依次写下正整数～是的前位数； 则以后是三位数，，， 则最后一位是从开始的三位数的第个数，即是，的第二个数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确确定第个数字是第几个三位数的数字是关键． 11．（2021·浙江宁波·一模）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为 ． 【答案】119 【分析】观察序号与网格中上面最左边的数字的关系，第二个数字与序号的关系，左下角的数字与序号的关系，右下角数字与上面所说三个数字的关系，确定好计算即可 【详解】根据题意，得网格中上面最左边的数字等于序号，第二个数字与序号+1，左下角的数字与序号+2，右下角数字等于对角线上的数字积加上序号， ∴第n个网格中，右下角的数字=（n+1）（n+2）+n， 当n=9时，（n+1）（n+2）+n=10×11+9=119， 故答案为：119． 【点睛】本题考查了数字中规律，仔细思考各数字与序号的关系是解题的关键． 12．（2024·浙江绍兴·一模）某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律题和一元一次方程的应用，设第一轮第一位报数同学的学号是a，共40人，依次进行运算即可得到答案． 【详解】解：设第一轮第一位报数同学的学号是a，共40人， 则第一轮报号40的同学学号为, ∴第二轮第一个报号的同学学号仍为a，共39人， 则第二轮报号40的同学学号为, ∴第三轮第一个报号的同学学号仍为，共38人， 则第三轮报号40的同学学号为, ∴第四轮第一个报号的同学学号仍为，共37人， 则第四轮报号40的同学学号为, ∴第五轮第一个报号的同学学号仍为，共36人， 则第五轮报号40的同学学号为, ∵在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏， ∴， ∴， 故答案为：9 13．（2019·浙江台州·中考真题）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个． 【答案】3 【分析】根据题意第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下个金蛋，重新编号；第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下个金蛋，重新编号；第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下个金蛋，由即可得出砸到编号是“66”的“金蛋”的个数为3. 【详解】∵， ∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140； ∵， ∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94； ∵， ∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下个金蛋， ∵， ∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查有理数的应用，解题的关键是根据题意找到规律进行求解. 考点二、数式规律探究 14．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6(2)n(3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 15．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可． 【详解】解：解：∵， ， ， ， ， …… 由上可知，第n个单项式是：． 故选：C． 16．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 17．（2024·浙江·模拟预测）观察下列等式： ； ； ； ； … 根据上述规律，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)用含n（n是正整数）的等式表示这一规律，证明你的结论是正确的． 【答案】(1)48，72． (2)，证明见详解 【分析】（1）按题所给算式计算即可； （2）分别探索三个数列的规律，再按照等式形式表示即可，将结论按照平方差公式展开计算即可． 本题考查了数字规律的探究，等差数列规律的性质及平方差公式的应用是解题关键． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：48，72． （2）解：由数列3，5，7，，得第个数为：， 由数列1，3，5，，得第个数为：， 由数列8，16，24，，得第个数为：， 该等式的规律为：． 等式左边： ， 结论正确． 18．（2024·浙江·一模）观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… (1)写出第n个等式，并进行证明． (2)问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)可以，和 【分析】本题考查了整式的规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可． （2）令，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由，可得； 由，可得； 由，可得；…… ∴可推导一般性规律为：第n个等式是：； 证明：左边右边． （2）解：令， 解得，， ∴． 答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差． 19．（2024·浙江温州·一模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)结论：，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，数学常识．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出念 n的等式证明成立即可． 【详解】（1）根据材料中等式反映的规律知， （2）．理由： ∵右边， 左边 ， ∴左边＝右边， ∴成立． 20．计算 （1）计算：；      （2）找规律： 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1） ； （2） ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算： 【答案】（1）；（2）225；；41075 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及数字的变化规律探索. （1）本题主要考查了实数的混合运算． （2）本题主要考查数字的变化规律，（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；（2）根据所给的各式，得到规律，即可求解；（3）先根据规律，可求出和，然后相减即可求解． 【详解】解：（1） （2）（1）根据题意得：， 故答案为：225． （2） 故答案为： （3）由（2）得， ． 21．（2024·浙江嘉兴·二模）规定：n个实数依次排列（，且n为整数），对于任意相邻的两个数，都用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数之间，得到新的一列数，这样的操作称为“繁衍操作”．例如：依次排列的两个数5，3．第一次“繁衍操作”后得到新的一列数5，2，3；第二次“繁衍操作”后得到新的一列数5，3，2，，3；依次类推． (1)已知依次排列的两个数2，．写出这组数第一次“繁衍操作”后得到的新的一列数． (2)已知依次排列的两个数x，y，且，将这组数进行第一次“繁衍操作”，所得到新的一列数的各数之和为K，再进行第二次“繁衍操作”，所得到新的一列数的各数之和为T，求的值． 【答案】(1)2，3， (2) 【分析】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）根据题中规律解答即可； （2）先根据题意写出第一次“繁衍操作”和第二次“繁衍操作”后产生的一列数，再表示出代入计算即可； 【详解】（1）解：， ∴第一次“繁衍操作”后产生的新的一列数为2，3，． （2）第一次“繁衍操作”后产生的一列数为， 第二次“繁衍操作”后产生的一列数为， ， ． 22．（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果； （2）根据（1）中结果求解即可； （3）由（1）的规律代入进行运算求解即可． 【详解】（1）解：第4个等式：； ； （2）根据（1）中结果得：， ， 故答案为：； （3）根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 考点三、周期规律探究 23．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解． 【详解】解：∵， ∴，，，，…….； 由此可得规律为按2、、、四个数字一循环， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律． 24．（2023·四川宜宾·模拟预测）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，的值是（  ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据差倒数定义计算得出，，，进而得到，这一列数每3个数为一个循环，5，，，依次出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，这一列数每3个数为一个循环，5，，，依次出现， ∵， ∴的值是， 故选：A． 25．等边三角形纸板在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若三角形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点所对应的数为1，则翻转第2023次后，点所对应的数是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的规律探索，根据题意得到一般规律是解题关键． 由题意可知，每3次翻转为一个循环，每轮循环的第一次翻转点C表示的数为翻转次数，第二次翻转表示的数等于第一次翻转，第三次翻转点不在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：由数轴可知，翻转第1次后，点所对应的数为1， 翻转第2次后，点所对应的数为1， 翻转第3次后，点不在数轴上， 翻转第4次后，点所对应的数为4， 翻转第5次后，点所对应的数为4， 翻转第6次后，点不在数轴上， …… 观察发现，每3次翻转为一个循环，每轮循环的第一次翻转点C表示的数为翻转次数，第二次翻转表示的数等于第一次翻转表示的数，第三次翻转点不在数轴上， ∵， ∴点落在数轴上，且对应的数为； 故选：C． 26．（2024·贵州·模拟预测）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ） A．7 B．52 C．154 D．310 【答案】C 【分析】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案． 【详解】解：由题意知：； ； ； ； ； 由上可知，是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列， ∵， ∴． 故选C． 27．（2024·浙江·模拟预测）有如下数列：，满足，已知，，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，分别写出前11个数字发现规律：1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现，由此可求出第2024个数字 【详解】解：，，且， ∴， 同理，可得：， 所以，1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现， 又 ∴， 故选：D 28．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，设第2个数为，第3个数为，第4个数为，根据任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，求出，进而得到这组数每6个一组进行循环，进一步求出第2028个数即可． 【详解】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：， ∴， ∴， 进而可得第六个数为， ∴依次可得这组数据为，即：这组数以6个为一组，进行循环， ∵， ∴第2028个数是； 故答案为：． 考点四、图形规律探究 29．（2011·浙江衢州·中考真题）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由． （2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10= ； （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 【答案】（1）甲种剪法所得的正方形面积更大；（2），；（3） 【分析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可； （2）按图1中甲种剪法，探索规律解答即可； （3）探索规律可知： ，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 【详解】解：（1）解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1 如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴甲种剪法所得的正方形面积更大． （2）第1次剪取后得到正方形的边长是1，； 第2次剪取后得到正方形的边长是，； 第3次剪取后得到正方形的边长是，； …； ∴第10次剪取后得到正方形的边长是； 故答案为：，； （3）由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1=1=S1， 第二次剪取后剩余三角形面积和为， 第三次剪取后剩余三角形面积和为， …， 第十次剪取后剩余三角形面积和为． 30．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（   ）块 A．28 B．30 C．34 D．36 【答案】D 【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键． 【详解】由所给图形可知， 第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：， 所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块， 当时，（舍负）， 则（块）， 即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块． 故选：D． 31．（2022·浙江绍兴·一模）现有一个方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走．若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据题目中所给的规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走．进行推理分析即可求解． 【详解】解：如图，最少需要移动的步数是8步， 故选B 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，理解题意逐步分析是解题的关键． 32．（2022·浙江丽水·一模）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数最多是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】12块瓷砖拼成长方形，有1×12，2×6，3×4这三种情况，分类讨论即可． 【详解】解：当瓷砖拼成1×12的长方形时，一共有2×12-1=23个正方形； 当瓷砖拼成2×6的长方形时，一共有6×6-3=33个正方形； 当瓷砖拼成3×4的长方形时，一共有10×4-5=35个正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查图形拼接的分类讨论．解题的关键是穷举几种拼接的方式，并针对每种方式，从简单到一般找出正方形数量变化的规律． 33．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是（    ） A．39 B．44 C．49 D．54 【答案】D 【分析】本题考查图形的数字规律．根据前几个图形，得出后一个图形比前一个的木棍数多5根，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， ∴第n个图案用的木棍根数是； 当时，， 故选：D． 34．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 35．（2023·浙江温州·模拟预测）等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，得到等角螺线中等腰三角形顶点到中心的距离等于正六边形的边长，由此规律可得第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为即可得出结果． 【详解】解：如图，正六边形，中心为O，点分别是正六边形各边的中点， 六边形是正六边形，边长为1， ， ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， 同理得：由正六边形各边中点连接形成的正六边形，顶点到中心O点的距离为， 同理可得：第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形类规律探究，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 36．（2023·浙江衢州·模拟预测）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 【答案】 26 【分析】此题考查了立体图形，空间想象能力是解题的关键． （1）根据正方体找到规律计算求解； （2）根据（1）中的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得，（个）， 故答案为：26 （2）根据题意可得， （个） 故答案为： 考点五、函数图象规律探究 37．（2013·河北·中考真题）如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m = ． 【答案】2 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 38．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 39．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 40．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，即可得出，，，进而可得，分别求出和的值即可得答案． 【详解】解：设前2024个直角三角形的面积分别为、、……、， ∵点、、、……、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、， ∴，， ，， …… ，， ∴当时，， 当时，， ∴ ． 41．（2024·山东青岛·三模）在直角坐标系中，点在函数（k是常数，，）上，点，，，⋯⋯在x轴上，，，，⋯均为等边三角形． 【探究】 (1) ； (2) ； (3) ； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质求得点P坐标，再代入求解即可； （2）过点作轴于，设，利用等边三角形的性质和勾股定理可得，再代入求得，即可求解； （3）同（2）中的方法求得，，总结归纳求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且点的坐标为， ， ∵点P在函数（k是常数，，）上， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作轴于，如图所示： 设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点在函数上， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得，， 过点作轴于点H，设， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点在函数上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 同理可得，， ⋯， 以此类推即可猜想：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化类、等边三角形的性质、解一元二次方程、勾股定理、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标的特征，过点分别作x轴的垂线，构造直角三角形是解题的关键． 42．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别将，…代入解析式，求得与的坐标，的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把代入；中， 得到，， ∴， ∴， 同理，把代入，中， 得到，， ∴， ∴， … 代入；中 得到， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 43．（2024·黑龙江伊春·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，以x轴为对称轴作直线的轴对称图形直线，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴正半轴上，点，，，…在直线上，若，，，…，均为等边三角形，菱形，菱形，菱形……菱形的面积分别是，，，…，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据直线可得，进而得出，，得到，由轴对称图形可得，，分别求得四边形、四边形、四边形的对角线的长，求得面积，根据规律可得四边形的面积． 【详解】解：由直线：， 当时，， 当时，， 则、， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称图形可得，， 同理可得，，， 以此类推，， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律型、一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 44．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质和一次函数的性质，解题关键是通过计算线段长，发现线段长度变化规律．先求出、的长，再根据规律可得的长． 【详解】解：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， 点坐标为，点坐标为， 即， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 又以为边作正方形，点坐标为， ， ， ，， 设， 则， ， 即：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ， ， 以为边作正方形， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为， 正方形的边长为3， 按照前面的方法可得：， ， 设， 则， ， ， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ，， ， ， 同理：第三个正方形的边长是9，，，，，， ， 依此类推，，为整数）， ， 的长为． 故答案为：． 试卷第20页，共42页 44 / 44 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