精品解析：湖北省“楚天教科研协作体”2024-2025学年高一下学期2月收心考试数学试题

2024-2025学年湖北省“楚天教科研协作体”高一（下）2月收心考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，，进而可得. 【详解】集合， ， 则. 故选：A. 2. 若命题“，”是假命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知命题写出它的否定即为真命题，求得即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 则，”是真命题， 则当时，， 故选：C. 3. 如果，，那么角所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，，即可判断角所在象限. 【详解】因为，， 所以，， 故角的终边所在的象限是第二象限. 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的定义写出M的位置坐标，再由诱导公式化简. 【详解】由题意，得M的位置为，即为. 故选：B 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，， A. 18 B. 30 C. 51 D. 69 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的4倍， 则 ， 故选：D. 6. 函数在上不是单调函数，则a的范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得分段函数是单调函数时a的范围，可求不是单调函数时a的范围. 【详解】当函数在上是单调函数时， 则， 故若函数在上不是单调函数， 则a的范围是或. 故选：A. 7. 不等式，且对恒成立，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，当时，需函数的图像要恒在图像的上方，据此可求 【详解】当时，函数的图像要恒在图像的上方 如图所示： 当的图像过点时，可得， 然后它只能向右旋转，此时a在增大，但是不能大于1， 所以a的范围为. 故选：B. 8. 已知正实数m，n满足，，则（ ） A. e B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由化，由化为，构造函数，利用导数研究其单调性即可判断出正确答案. 【详解】由可得， 两边同时乘以，得到 两边取对数得 由，得， 即 设， 易知在上单调递增. 由题意可得， 所以，即 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则角终边在第三象限或第四象限 B. 与表示同一个函数 C. 函数的对称中心是， D. 的减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】求得角终边所在象限判断A；利用同一函数的定义即可判断B；利用，求得函数的对称中心判断C；求得的减区间判断D. 【详解】对于A，，角终边在第三象限或第四象限或y轴非正半轴，故A错误； 对于B，定义域为，函数表达式可变形为， 定义域为，所以与定义域相同， 对应关系相同，表示同一个函数，故B正确； 对于C，由得， 从而函数的对称中心是，，故C错误； 对于D，由， 得的减区间为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数与两个交点的横坐标分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】先画出函数与的图象可得，，由得即可判断AB选项，由可得，可得，设，构造函数利用对勾函数的单调性即可判断选项C，由可得，所以即可判断选项D. 【详解】解：函数与在同一坐标系中图象如图， 可得，， ， 从而， 所以，得，从而A错误，B正确； 由可得， ， 设，则， ，由对勾函数单调性可知在递减，在递增， 所以在处取最小值，最小值为，从而C正确； 由可得， ，而在上递增，所以无最小值，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ） A. B. 的解集为或 C. 方程有3个根 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知函数性质求参数可得，进而解函数不等式判断A、B；再应用方程法求得或或，进而求对应判断根的个数判断C；利用指数函数、基本不等式判断大小判断D. 【详解】由题意，即， 又的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，得，，故A错误； 所以， 由，得，故，即，解得或，故B正确； 由，得，解得或或 由，得，解得； 由，得，得，得，解得； 由题意无解； 综上所述，方程有3个根，故C正确； 当时，， ， 因，，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据对数和指数幂的运算法则可得. 【详解】原式 故答案为：12. 13. 若函数在上有且仅有一个零点，则的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的区间根问题可得. 【详解】当时，，所以，满足题意； 当时，，，令解得，满足题意， 时，，即且，解得； 时，，此时在上只有一个零点 时，，此时在上只有一个零点 综上所述的范围是 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的奇函数，是函数的一条对称轴，当时，，方程恰有__________个根. 【答案】50 【解析】 【分析】作出周期函数的图象，再作出的图象，根据数形结合求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以 因为是函数的一条对称轴，所以 所以，所以，所以的周期为 时，， 当时， 则，所以 当时，，则， 又，所以 当，则，所以 又，所以 作出在的图象如图所示， 由题意可得，令，解得或 由图可得方程在上有2个根，在上有2个根， 又的周期为4，所以包含25个周期， 所以方程恰有个根. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：把方程的根的问题，转化为两个函数图象的交点个数问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知函数且恒过定点，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定点为，进而得，利用诱导公式和齐次式可得； （2）由得，可判断，进而得，进而可得. 【详解】（1）因，故， 故终边过，故， （2）因，故，得， 因，故，故，，故， 故， 16. 已知集合，为非空集合， （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围; （2）求集合 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”是“”的必要不充分条件得B是A的真子集即可求解； （2）先求出集合，根据集合的交并补运算即可求解. 【小问1详解】 为非空集合，，， “”是“”的必要不充分条件， 所以B是A的真子集， 所以，等号不同时成立，解得， 所以； 【小问2详解】 ，， ， ，即 ， 17. 某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出. （1）写出单株利润元关于施肥量千克的关系式； （2）当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大?最大是多少元? 【答案】（1） （2）当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元 【解析】 【分析】（1）先求得，进而可求出单株利润元关于施肥量千克的关系式； （2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值. 小问1详解】 因为施肥量为2千克时，单株产量为12千克， 所以，解得， ， . 【小问2详解】 当时，令，则， ，时，， 当时，， ， 当且仅当，即取等号， ，当施肥量为4千克时，单株利润最大为240元. 18. 已知函数是偶函数 （1）求b的值; （2）直接指出函数的单调性不证明，并解不等式 （3）证明：方程在有唯一实根，且 【答案】（1） （2）函数在单调递减，单调递增，或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义可以求得结果. （2）由题意可得在单调递减，单调递增，进而可得，求解即可. （3）根据题意构造函数，利用复合函数单调性和单调性性质求得新函数得单调性。结合单调性、零点存在性定理即可证明. 【小问1详解】 为偶函数对恒成立， ，成立， 【小问2详解】 在单调递减，单调递增， 由且为偶函数，， 或，解得或 【小问3详解】 记 ， 在为减函数，在其定义域上为增函数， 在为减函数， 在为增函数，在为减函数， 在为减函数， 又，， 由零点存在定理和单调性知，存在唯一， 使即方程在有唯一实根， 此时，， 19. 已知是的反函数.定义：若函数对定义域内每个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“D型函数”. （1）判断是否为“D型函数”，并说明理由; （2）若函数在定义域上为“D型函数”，试证明： （3）已知函数，在为“D型函数”，若存在，，成立，求k的取值范围. 【答案】（1）不是“D型函数”；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“D型函数”的定义直接判断即可. （2）利用“D型函数”的定义，结合函数的单调性推理得理论上. （3）利用“D型函数”的定义求出函数，再利用基本不等式求出最小值，进而利用不等式能成立求出范围. 【小问1详解】 依题意，，不是“D型函数”， 当时，，此时不存在，使成立， 所以不“D型函数”. 【小问2详解】 函数在上为增函数， 又为“D型函数”，则有，， 若，则； 若，则，两者矛盾， 因此，即，， 所以. 【小问3详解】 函数开口向上，对称轴， 当时，，则有， 此时不存在，使成立，不是“D型函数”； 当时，函数在上为增函数，由（2）知，只需， 于是，即，解得，则， 当时，， 当且仅当，即取等号， 由存在，，有成立， 因此不等式在上有解，此时， 令，在上单调递增，，则， 所以k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖北省“楚天教科研协作体”高一（下）2月收心考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”是假命题，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，那么角所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ） A. B. C. D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的4倍，大约经过（ ）天参考数据：，， A. 18 B. 30 C. 51 D. 69 6. 函数在上不是单调函数，则a的范围是（ ） A. 或 B. 或 C D. 7. 不等式，且对恒成立，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数m，n满足，，则（ ） A. e B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则角终边在第三象限或第四象限 B. 与表示同一个函数 C. 函数对称中心是， D. 的减区间为 10. 已知函数与两个交点的横坐标分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 最小值为 11. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ） A. B. 的解集为或 C 方程有3个根 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若函数在上有且仅有一个零点，则的范围是__________. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，是函数的一条对称轴，当时，，方程恰有__________个根. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知函数且恒过定点，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值. 16. 已知集合，非空集合， （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围; （2）求集合 17. 某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇.经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以12元/千克全部卖于收购商，已知施肥量为2千克时，单株产量为12千克；后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本15 x元如肥料、人工、机器等，最后以15元/千克全部卖出. （1）写出单株利润元关于施肥量千克的关系式； （2）当施肥量x为多少千克时，该水果单株利润最大?最大是多少元? 18. 已知函数是偶函数 （1）求b的值; （2）直接指出函数的单调性不证明，并解不等式 （3）证明：方程在有唯一实根，且 19. 已知是反函数.定义：若函数对定义域内每个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“D型函数”. （1）判断是否为“D型函数”，并说明理由; （2）若函数在定义域上为“D型函数”，试证明： （3）已知函数，在为“D型函数”，若存在，，成立，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$